
1.利用概率的加法公式和乘法公式歸納得到全概率公式;2.能用全概率公式計算較復雜的概率問題;
問題1:從有a個紅球和b個藍球的袋子中,每次隨機摸出1個球,摸出的球不再放回.顯然,第1次摸到紅球的概率為 .那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?
用 Ai表示事件“第i次摸到紅球”,Bi表示事件“第i次摸到藍球”,i=1,2.事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并,即R2=R1R2UB1R2.利用概率的加法公式和乘法公式,得
按照某種標準,將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率。
分析:第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響,可根據(jù)第1天可能去的餐廳,將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個互斥事件的并,利用全概率公式求解。
例4:某學校有A,B兩家餐廳,王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率。
解:設A1=“第1天去A餐廳用餐”, B1=“第1天去B餐廳用餐”, A2=“第2天去A餐廳用餐”,
P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1) =0.5?0.6+0.5 ?0.8 =0.7
因此,王同學第2天去A餐廳用餐得概率為0.7.
例5:有3臺車床加工同一型號的零件,第1臺加工的次品率為6%,第2,3臺加工的次品率均為5%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.(1)任取一個零件,計算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,計算它是第i(i=1,2,3)臺車床加工的概率。
(1)由全概率公式,得
P(B)=P(A1) P (B|A1)+ P(A2) P (B|A2)+ P(A3)P (B|A3) =0.25?0.06+0.3 ?0.05+0.45 ?0.05 =0.0525
(2)“如果渠道得零件是次品,計算它是第i( i =1,2,3)臺車床加工的概率”,就是計算在B發(fā)生的條件下,事件Ai發(fā)生的概率.
問題2:例5中P(Ai), P(Ai|B)得實際意義是什么?
例6:在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字0和1組成的序列。由于隨機因素的干擾,發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.9和0.1;發(fā)送信號1時,接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.
(1)分別求接收的信號為0和1的概率;
*(2)已知接收的信號為0,求發(fā)送的信號是1的概率.
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