類型五與平移有關(guān)的探究題-2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難題型突破-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

類型五與平移有關(guān)的探究題1. 平移的概念：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大?。?/span>【要點詮釋】（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內(nèi)的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這兩個要素是圖形平移的依據(jù)；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質(zhì)的依據(jù)．2．平移的基本性質(zhì)：由平移的概念知，經(jīng)過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質(zhì)：經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)角相等．【要點詮釋】（1）要注意正確找出“對應(yīng)線段，對應(yīng)角”，從而正確表達(dá)基本性質(zhì)的特征；（2）“對應(yīng)點所連的線段平行且相等”，這個基本性質(zhì)既可作為平移圖形之間的性質(zhì)，又可作為平移作圖的依據(jù)．【典例1】在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在直線CD上(不與點C、D重合)，連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于H，連接AH，PH.【問題發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，若點P在線段CD上，AH與PH的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；【拓展探究】(2)如圖②，若點P在線段CD的延長線上，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，否則說明理由；【解決問題】(3)若點P在線段DC的延長線上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的邊長為2，請直接寫出DP的長度．【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；【解法提示】如解圖①，連接HC，①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，又∵QH⊥BD，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD＝HQ，∠HDP＝∠HQC＝45°，由平移的性質(zhì)可知DP＝CQ，在△HDP和△HQC中，，∴△HDP≌△HQC.∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC.根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°，即AH⊥PH.∴HA＝HP，AH⊥PH.(2)(1)中的結(jié)論仍然成立，理由如下：如解圖②，連接HC，②∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，又∵QH⊥BD，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴∠HDP＝∠HQC＝135°，HD＝HQ，由平移的性質(zhì)可知DP＝CQ，在△HDP和△HQC中，，∴△HDP≌△HQC(SAS)，∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，根據(jù)正方形是軸對稱圖形得到HA＝HC，∠AHD＝∠CHD，∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°，∴HA＝HP，AH⊥PH；(3)DP＝2.【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH，∴∠HPA＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠PHQ＝120°－90°＝30°.∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°，∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°，∴∠CPH＝＝75°，∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝＝2. 【典例2】在中，，交BA的延長線于點G．特例感知：（1）將一等腰直角三角尺按圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．通過觀察、測量BF與CG的長度，得到．請給予證明．猜想論證：（2）當(dāng)三角尺沿AC方向移動到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作垂足為E．此時請你通過觀察、測量DE，DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．聯(lián)系拓展：（3）當(dāng)三角尺在圖2的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)移動到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）【答案】（1）證明見詳解；（2）DE+DF=CG，證明見詳解；（3）成立．【解析】【分析】（1）通過條件證明△BFC≌△CGB，即可得到；（2）過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，通過△BMC≌△CGB，得到BM=CG，然后由四邊形MHDF為矩形，MH=DF，最后再證明△BDH≌△DBE，得到BH=DE，即可得到結(jié)論；（3）同（2）中的方法．【詳解】（1）∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BFC和△CGB中， ∴△BFC≌△CGB，∴（2）DE+DF=CG，如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四邊形MHDF為矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG，（3）成立，如圖，過點B作BM⊥CF交CF延長線于M，過點D作DH⊥BM于H，同（2）中的方法∵，∴∠ABC=∠ACB，在△BMC和△CGB中，∴△BMC≌△CGB，∴BM=CG，由題意和輔助線可知，∠M=90°，∠MFD=90°，∠MHD=90°，∴四邊形MHDF為矩形，∴MH=DF，DH∥MF，∴∠HDB=∠MCB，∴∠HDB=∠ABC，在△BDH和△DBE中，∴△BDH≌△DBE，∴BH=DE，∵BM=CG，BM=BH+HM，∴DE+DF=CG．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，屬于幾何動態(tài)問題，能夠正確的構(gòu)造輔助線找到全等三角形是解題的關(guān)鍵．【典例3】如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）證明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，試問當(dāng)點C′在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．【答案與解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′=∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．
（2）解：當(dāng)點C′是線段AC的中點時，四邊形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′=CD=AB．
由（1）知AD′=C′B．
∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．
在Rt△ABC中，點C′是線段AC的中點，
∴BC′=AC．
而∠ACB=30°，
∴AB=AC．
∴AB=BC′．
∴四邊形ABC′D′是菱形．【典例4】如圖（1）所示，一張三角形紙片，.沿斜邊AB的中線CD把這線紙片剪成和兩個三角形如圖（2）所示.將紙片沿直線（AB）方向平移（點始終在同一條直線上），當(dāng)點與點B重合時，停止平移，在平移的過程中，與交于點E，與分別交于點F，P.（1）當(dāng)平移到如圖（3）所示的位置時，猜想圖中與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（2）設(shè)平移距離為，與重疊部分的面積為，請寫出與的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；（3）對于（2）中的結(jié)論是否存在這樣的，使得重疊部分面積等于原紙片面積的？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)D1E=D2F．
∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A
∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，∴AD2=BD1．∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5
又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x．∴C2F=C1E=x
在△BC2D2中，C2到BD2的距離就是△ABC的AB邊上的高，為．
設(shè)△BED1的BD1邊上的高為h，由探究，得△BC2D2∽△BED1，
∴．∴h=．S△BED1=×BD1×h=（5-x）2
又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90°．
又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．
∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=x2
而y=S△BC2D2-S△BED1-S△FC2P=S△ABC-（5-x）2-x2
∴y=-x2+x（0≤x≤5）．
（3）存在．
當(dāng)y=S△ABC時，即-x2+x=6，
整理得3x2-20x+25=0．解得，x1=，x2=5．
即當(dāng)x=或x=5時，重疊部分的面積等于原△ABC面積的．【典例5】如圖（1），已知的面積為3，且現(xiàn)將沿CA方向平移CA長度得到.（1）求所掃過的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若求AC的長. 【思路點撥】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，從而便可得到四邊形CEFB的面積；
（2）由已知可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關(guān)系為垂直；
（3）作BD⊥AC于D，結(jié)合三角形的面積求解．【答案與解析】（1）由平移的性質(zhì)得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四邊形AFBC為平行四邊形
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3
∴四邊形EFBC的面積為9；
（2）BE⊥AF
證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴BF∥AE且BF=AE
∴四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四邊形EFBA為菱形
∴BE⊥AF；
（3）如上圖，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
設(shè)BD=x，則AC=AB=2x
∵S△ABC=3，且S△ABC=AC?BD=?2x?x=x2∴x2=3
∵x為正數(shù)
∴x=
∴AC=2．

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