類型六 與圓有關的探究題【典例1】定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．             【典例2】在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點A，B的對應點），線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關系是           ；在點中，連接點A與點        的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點A的坐標為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．         【典例3】.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切,切點為N,且AN=3.將Rt△ABC順時針旋轉120°后得到Rt△ADE,點B,C的對應點分別是點D,E．(1)畫出旋轉后的Rt△ADE； (2)求出Rt△ADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；(3)判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關系,并說明理由.                       【典例4】（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點P為弧BC上一動點，求證：PA=PB+PC；（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P為弧BC上一動點，求證：；（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點P為弧BC上一動點，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關系，并給予證明．                    【典例5】（1）如圖①，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正△ABC的邊AB、BC上的點且BM=CN，連接OM、ON，求∠MON的度數(shù)；（2）圖②、③、…④中，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正方形ABCD、正五邊ABCDE、…正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON，則圖②中∠MON的度數(shù)是       ，圖③中∠MON的度數(shù)是       ；…由此可猜測在n邊形圖中∠MON的度數(shù)是           ；（3）若3≤n≤8，各自有一個正多邊形，則從中任取2個圖形，恰好都是中心對稱圖形的概率是             .                   【典例6】如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙ O相切于點A，P為⊙ O上一動點（與點A、點B不重合），PO的延長線與⊙ O相交于點C，過點C的切線與直線m相交于點D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設AP＝x，OD＝y，試用含x的代數(shù)式表示y．（3）試探索x為何值時， △ACD是一個等邊三角形．                   【典例7】 如圖①，半圓O的直徑AB=6，AM和BN是它的兩條切線，CP與半圓O相切于點P，并于AM，BN分別相交于C，D兩點．（1）請直接寫出∠COD的度數(shù)；（2）求AC?BD的值；（3）如圖②，連接OP并延長交AM于點Q，連接DQ，試判斷△PQD能否與△ACO相似？若能相似，請求AC：BD的值；若不能相似，請說明理由． 

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