類型三二次函數(shù)與圖形面積問(wèn)題【典例1】已知直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象過(guò)兩點(diǎn)，交軸于另一點(diǎn)，，且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，總有．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若直線，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）為線段上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且交直線于點(diǎn)，求與面積之和的最小值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）的最小值為．【解析】【分析】（1）先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由一次函數(shù)的表達(dá)式求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)BC=4，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）利用反證法證明即可；（3）先求出q的值，利用，得出，設(shè)，然后用含t的式子表示出的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，又因?yàn)?/span>，所以或，若拋物線過(guò)，則當(dāng)時(shí)，隨的增大而減少，不符合題意，舍去．若拋物線過(guò)，則當(dāng)時(shí)，必有隨的增大而增大，符合題意．故可設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，依題意，二次函數(shù)的圖象過(guò)，兩點(diǎn)，所以，解得所求二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）當(dāng)時(shí)，直線與直線不重合，假設(shè)和不平行，則和必相交，設(shè)交點(diǎn)為，由得，解得，與已知矛盾，所以與不相交，所以．（3）如圖，因?yàn)橹本€過(guò)，所以，又因?yàn)橹本€，所以，即，所以，，所以，所以，設(shè)，則，，所以，所以所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類與整合思想的運(yùn)用．【典例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，點(diǎn)是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（，）；（3）面積的最大值是8；點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【解析】【分析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后得到點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出解析式即可；（2）由，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，代入解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先求出直線AC的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D，則，設(shè)點(diǎn)P為（，），則點(diǎn)D為（，），求出PD的長(zhǎng)度，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到面積的最大值，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）在拋物線中，令，則，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），∴OC=2，∵，∴，，∴點(diǎn)A為（，0），點(diǎn)B為（，0），則把點(diǎn)A、B代入解析式，得，解得：，∴；（2）由題意，∵，點(diǎn)C為（0，），∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，令，則，解得：，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；（3）設(shè)直線AC的解析式為，則把點(diǎn)A、C代入，得，解得：，∴直線AC的解析式為；過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D，如圖：設(shè)點(diǎn)P 為（，），則點(diǎn)D為（，），∴，∵OA=4，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取最大值8；∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題．【典例3】如圖，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積;（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）令，得   解得令，得∴ A   B   C （2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，        ∴PAB=      過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=  ∴P∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴   解得，（不合題意，舍去）
      ∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)． 假設(shè)存在∵PAB=BAC =   ∴PAAC∵MG軸于點(diǎn)G，   ∴MGA=PAC =在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=   設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M ①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則(ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=∵AG=，MG=即  解得（舍去） （舍去）(ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有=即 解得：（舍去）  ∴M ② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有=∵AG=，MG=      ∴   解得（舍去）        ∴M (ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即 解得：（舍去）   
∴M   ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，…………………………………13分【典例4】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求b,c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點(diǎn)Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ為頂點(diǎn)的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.    【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）…………………1分∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）B(4,5)∴…………………………………………………2分解得：b=-2   c=-3…………………………………………………3分（2）如２６題圖：∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）   B(4,5)∴直線AB的解析式為：y=x+1……………………………………4分∵二次函數(shù)∴設(shè)點(diǎn)E(t， t+1),則F（t，）………………………5分∴EF= ………………………………………6分    　　=∴當(dāng)時(shí)，EF的最大值=∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）………………………………7分（3）①如２６題圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形ＥＢＦＤ． 可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（，）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4） S　=　S　+　S         =         = 　………………………………………………10分②如備用圖：ⅰ)過(guò)點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P(m,)則有：      解得:, ∴,　ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于，設(shè)（n，）則有：  　　解得： ，（與點(diǎn)F重合，舍去）∴綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：，（.  能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．【典例5】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為C（1，－2）.（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；（2）作點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)D，順次連接A、C、B、D.若在拋物線上存在點(diǎn)E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得△PEF是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）∵的頂點(diǎn)為C（1，－2），∴，．（2）設(shè)直線PE對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為由題意，四邊形ACBD是菱形.    故直線PE必過(guò)菱形ACBD的對(duì)稱中心M．由P(0，－1)，M（1，0），得．從而，     設(shè)E(，)，代入，得． 解之得，，根據(jù)題意，得點(diǎn)E(3，2)    （3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F，可設(shè)F(，)．過(guò)點(diǎn)F作FG⊥軸，垂足為點(diǎn)G.在Rt△POM和Rt△FGP中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP. ∴．又OM=1，OP=1，∴GP=GF，即．解得，，根據(jù)題意，得F(1，－2)．    故點(diǎn)F(1，－2)即為所求．       ．       【典例6】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q，且與軸交于點(diǎn)C，與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），點(diǎn)P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A不重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥軸，交AC于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)△ADP是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在問(wèn)題(2)的結(jié)論下，若點(diǎn)E在軸上，點(diǎn)F在拋物線上，問(wèn)是否存在以A、P、E、F為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為Q（2，－1）∴設(shè)將C（0，3）代入上式，得∴， 即…（3分）  （2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P1為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P1與點(diǎn)B重合(如圖)令=0,  得解之得,  ∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,  ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0)   （5分）②解:當(dāng)點(diǎn)A為△APD2的直角頂點(diǎn)是(如圖)∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD2=當(dāng)∠D2AP2=時(shí), ∠OAP2=,  ∴AO平分∠D2AP2又∵P2D2∥軸,  ∴P2D2⊥AO,  ∴P2、D2關(guān)于軸對(duì)稱設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為將A(3,0), C(0,3)代入上式得,      ∴∴……………（7分）∵D2在上, P2在上,∴設(shè)D2(,), P2(,)∴()+()=0,   ∴,  (舍)∴當(dāng)=2時(shí), ==－1 ∴P2的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即為拋物線頂點(diǎn))∴P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(1,0),  P2(2,－1) (3)解: 由題(2)知,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(1,0)時(shí),不能構(gòu)成平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2(2,－1)(即頂點(diǎn)Q)時(shí),平移直線AP(如圖)交軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)F.當(dāng)AP=FE時(shí),四邊形PAFE是平行四邊形∵P(2,－1),  ∴可令F(,1)∴解之得: ,  ∴F點(diǎn)有兩點(diǎn),即F1(,1), F2(,1)  

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