類型七 與面積有關(guān)的探究題【典例1】已知，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)P是射線CB上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點(diǎn)M.(1)如圖①，當(dāng)AC＝BC，點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，線段PB，CM的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖②，當(dāng)AC＝BC，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖③，若＝，點(diǎn)P在線段CB的延長(zhǎng)線上，CM＝2，AP＝13，求△ABP的面積．第1題圖【答案】解：(1)PB＝2CM；【解法提示】如解圖①，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥AC于點(diǎn)D，第1題解圖①QE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°，∴∠QAD＝∠APC，∴△ACP≌△QDA(AAS)，∴AC＝QD＝CE，又∵△ABC為等腰直角三角形，∴AC＝BC＝EC，即點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∴CM＝QE，即QE＝2CM，連接AE，∵AC＝CE＝BC，∴△ABE為等腰直角三角形，∴AE＝AB，∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ，又∵AP＝AQ，∴△APB≌△AQE(SAS)，∴BP＝QE＝2CM，∴PB＝2CM；(2)(1)中的結(jié)論PB＝2CM仍然成立； 證明：如解圖②所示，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥QG交QG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.第1題解圖②∵AQ是由AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°，∴∠PAC＝∠QAF，∴△PAC≌△QAF(AAS)，∴AC＝AF，∴四邊形AFGC為正方形，∴CG＝AC＝BC，即C為BG的中點(diǎn)，∴QG＝2CM，連接AG可得，△ABG為等腰直角三角形，∴AB＝AG，∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°，∴∠PAB＝∠QAG，∴△PAB≌△QAG(SAS)，∴PB＝QG＝2CM，∴PB＝2CM；(3)    如解圖③所示，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.第1題解圖③由題知，＝，設(shè)AC＝5a，BC＝2a，由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a，又∵△BCM∽△QHM，∴＝，∴＝，∴MH＝5，又∵AP＝AQ＝13，∴在Rt△AHQ中，根據(jù)勾股定理得：QH2＋AH2＝AQ2，∴(5a)2＋(5a＋2＋5)2＝132，化簡(jiǎn)得：5a2＋7a－12＝0，即(a－1)(5a＋12)＝0，解得：a1＝1，a2＝－(舍)，∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5，∴BP＝PC－BC＝12－2＝10，∴S△ABP＝BP·AC＝×10×5＝25.【典例2】如圖，將OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M、N以每秒１個(gè)單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．  （1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0 < t < 6）；并求t為何值時(shí)，S有最大值？（3）試探究：當(dāng)S有最大值時(shí)，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．    【答案】解：（1）（6，4）；（）.（其中寫(xiě)對(duì)B點(diǎn)得1分）（2）∵S△OMP =×OM×，∴S =×（6 -t）×=+2t．   ＝（0 < t <6）．∴當(dāng)時(shí)，S有最大值．（3）存在．由（2）得：當(dāng)S有最大值時(shí)，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：．設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：，解方程組得∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為．【典例3】如圖1，△ABC和△DCE都是等邊三角形．探究發(fā)現(xiàn)（1）△BCD與△ACE是否全等？若全等，加以證明；若不全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展運(yùn)用（2）若B、C、E三點(diǎn)不在一條直線上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的長(zhǎng)．（3）若B、C、E三點(diǎn)在一條直線上（如圖2），且△ABC和△DCE的邊長(zhǎng)分別為1和2，求△ACD的面積及AD的長(zhǎng)．【答案】（1）全等，理由見(jiàn)解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面積為，AD＝．【解析】【分析】（1）依據(jù)等式的性質(zhì)可證明∠BCD＝∠ACE，然后依據(jù)SAS可證明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理計(jì)算AE的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；（3）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，先根據(jù)平角的定義得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函數(shù)可得AF的長(zhǎng)，由三角形面積公式可得△ACD的面積，最后根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）如圖3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE都是等邊三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴，∴BD＝；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，∴AF＝AC×sin∠ACF＝，∴S△ACD＝，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，∴AD＝．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小題巧作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【典例4】閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長(zhǎng)為2的等邊的重心為點(diǎn)，求與的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知的重心為點(diǎn)，請(qǐng)判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交對(duì)角線于點(diǎn)．①若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的長(zhǎng)度；②若，求正方形的面積．【答案】（1），；（2）都是定值，，；（3）①；②12．【解析】【分析】（1）連接DE，利用相似三角形證明，運(yùn)用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，運(yùn)用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①證明△CME∽△ABM得，再運(yùn)用勾股定理求出BE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；②分別求出S△BMC和S△ABM 即可.【詳解】（1）連接DE，如圖，∵點(diǎn)O是的重心，，是，C邊上的中線，為，邊上的中點(diǎn)，為的中位線，，，，，，，，；（2）由（1）可知，是定值；是定值；（3）①∵四邊形ABCD是正方形，，，為CD的中點(diǎn)，，即；②，且∴，，，，，又∴正方形ABCD的面積為：6+6=12．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形重心的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形重心的性質(zhì)．

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