類(lèi)型一 非動(dòng)態(tài)探究題【典例1】綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）如圖①，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形是正方形，理由詳見(jiàn)解析；（2），證明詳見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，,再說(shuō)明可得四邊形是矩形，再結(jié)合即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再證可得，再結(jié)合、即可解答；（3）過(guò)E作EG⊥AD，先說(shuō)明∠1=∠2，再設(shè)EF=x、則BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中運(yùn)用勾股定理求得x，進(jìn)一步求得BE和AE的長(zhǎng)，然后運(yùn)用三角函數(shù)和線段的和差求得DG和EG的長(zhǎng)，最后在Rt△DEG中運(yùn)用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形是正方形理由：由旋轉(zhuǎn)可知：，，又，四邊形是矩形．∵．四邊形是正方形；（2）．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，．四邊形是正方形，，．，．．∵，；【典例2】數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，P為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，E為DP的中點(diǎn)，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長(zhǎng)線于N.當(dāng)CP=6時(shí)，EM與EN的比值是多少？經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：過(guò)E作直線平行于BC交DC，分別于F，G，如圖，則可得：，因?yàn)?/span>，所以.可求出和的值，進(jìn)而可求得EM與EN的比值.(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫(xiě)出求解過(guò)程.(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由.         【答案】（1）解：過(guò)作直線平行于交，分別于點(diǎn)，， 則，，.∵，∴. ∴，.∴. （2）證明：作∥交于點(diǎn)，則，.∵，∴.∵，，∴.∴.∴.                 【典例3】已知：在△AOB與△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°．（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是　          　，位置關(guān)系是　           　；（2）如圖2，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°）．連結(jié)AD、BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連結(jié)OM．請(qǐng)你判斷（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，將圖1中的△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到使△COD的一邊OD恰好與△AOB的邊OA在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)C落在OB上，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)．請(qǐng)你判斷（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．【思路點(diǎn)撥】（1）AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系為AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；（2）（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，利用中位線定理得到FC=2OM，利用SAS得到三角形AOD與三角形FOC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FC=AD，等量代換得到AD=2OM；由OM為三角形BCF的中位線，利用中位線定理得到OM與CF平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠BOM=∠F，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠F=∠OAD，等量代換得到∠BOM=∠OAD，根據(jù)∠BOM與∠AOM互余，得到∠OAD與∠AOM互余，即可確定出OM與AD垂直，得證；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，理由為：如圖3所示，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于N，由三角形COD與三角形AOB都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到四個(gè)角為45度，進(jìn)而得到三角形MCE與三角形AED為等腰直角三角形，根據(jù)EN為直角三角形ADE斜邊上的中線得到AD=2EN，再利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形OMEN為矩形，可得出EN=OM，等量代換得到AD=2OM．【答案與解析】       解：（1）線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系是AD=2OM，位置關(guān)系是AD⊥OM；（2）（1）的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由為：證明：如圖2，延長(zhǎng)BO到F，使FO=BO，連結(jié)CF，∵M為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，∴MO為△BCF的中位線，∴FC=2OM，∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，∴∠AOB+∠BOD=∠AOF+∠AOC，即∠AOD=∠FOC，在△AOD和△FOC中，，∴△AOD≌△FOC（SAS），∴FC=AD，∴AD=2OM，∵MO為△BCF的中位線，∴MO∥CF，∴∠MOB=∠F，又∵△AOD≌△FOC，∴∠DAO=∠F，∵∠MOB+∠AOM=90°，∴∠DAO+∠AOM=90°，即AD⊥OM；（3）（1）中線段AD與OM之間的數(shù)量關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，理由為：證明：如圖3，延長(zhǎng)DC交AB于E，連結(jié)ME，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AD于N，∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°，∴AE=DE，BE=CE，∠AED=90°，∴DN=AN，∴AD=2NE，∵M為BC的中點(diǎn)，∴EM⊥BC，∴四邊形ONEM是矩形．∴NE=OM，∴AD=2OM．故答案為：AD=2OM；AD⊥OM． （3）如圖：過(guò)E作EG⊥AD∴GE//AB∴∠1=∠2設(shè)EF=x，則BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9∴BE=9,AE=12∴sin∠1= ,cos∠1=∴sin∠2= ,cos∠2=∴AG=7.2,GE=9.6∴DG=15-7.2=7.8∴DE=．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、解三角形等知識(shí)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【典例4】正方形ABCD中，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，一條直角邊與邊BC交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），另一條直角邊與邊CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．（1）如圖①，求證：AE=AF；（2）如圖②，此直角三角板有一個(gè)角是45°，它的斜邊MN與邊CD交于G，且點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，連接EG，求證：EG=BE+DG； （3）在（2）的條件下，如果=，那么點(diǎn)G是否一定是邊CD的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明你的理由． 【答案與解析】解：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（ASA）∴AE=AF；（2）如圖②，連接AG，∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．∵點(diǎn)G是斜邊MN的中點(diǎn)，∴∠EAG=∠NAG=45°．∴∠EAB+∠DAG=45°．∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AE=AF，∴∠DAF+∠DAG=45°，即∠GAF=45°，∴∠EAG=∠FAG．在△AGE和AGF中，，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．∵GF=GD+DF，∴GF=GD+BE，∴EG=BE+DG；（3）G不一定是邊CD的中點(diǎn)．理由：設(shè)AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x，在Rt△ECG中，由勾股定理，得（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k．∴點(diǎn)G不一定是邊CD的中點(diǎn)．【典例4】已知，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（l）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE、BC、CD三條線段之間的關(guān)系；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，且點(diǎn)A、E分別在直線BC的兩側(cè)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF、CF，其他條件不變，請(qǐng)判斷△ACF的形狀，并說(shuō)明理由．【答案與解析】（1）證明：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACB+∠ACE=90°∴∠ECB=90°，∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．（2）如圖2中，結(jié)論：CE=BC+CD，理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴CE=BC+CD．（3）如圖3中，結(jié)論：△ACF是等腰三角形．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACE=∠ABD=135°，∴∠DCE=90°，又∵點(diǎn)F是DE中點(diǎn)，∴AF=CF=DE，∴△ACF是等腰三角形．  【典例5】如圖(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形、正四邊形、正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．(1)①如圖(a)，求證：△ADC≌△ABE；  ②探究：圖(a)中，∠BOC＝________；圖(b)中，∠BOC＝________；圖(c)中，∠BOC＝________；(2)如圖(d)，已知：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊．BE，CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O．①猜想：圖(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)②根據(jù)圖(d)證明你的猜想．【答案與解析】 (1)證法一：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．∴△ADC≌△ABE．證法二：∵△ABD與△ACE均為等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．∴△ADC可由△ABE繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到．∴△ABE≌△ADC．②120°，90°，72°．(2)①．②證法一：依題意，知∠BAD和∠CAE都是正n邊形的內(nèi)角，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD＝∠CAE＝．∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ADC．∴∠ABE＝∠ADC．∵∠ADC+∠ODA＝180°，∴∠ABO+∠ODA＝180°．∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．∴∠BOC+∠DAB＝180°．∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．證法二：延長(zhǎng)BA交CO于F，證∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．證法三：連接CE．證∠BOC＝180°－∠CAE． 【典例6】如圖(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在線段BC上任取一點(diǎn)P(P不與B，C重合)，連接DP，作射線．PE⊥DP，PE與直線AB交于點(diǎn)E．    (1)試確定CP＝3時(shí)，點(diǎn)E的位置；    (2)若設(shè)CP＝x(x＞0)，BE＝y(tǒng)(y＞0)，試寫(xiě)出y關(guān)于自變量x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在線段BC上能找到不同的兩點(diǎn)P1，P2，使按上述作法得到的點(diǎn)E都與點(diǎn)A重合，試求出此時(shí)a的取值范圍．【答案與解析】   解：(1)作DF⊥BC，F(xiàn)為垂足．    當(dāng)CP＝3時(shí)，四邊形ADFB是矩形，則CF＝3．    ∴點(diǎn)P與點(diǎn)F重合．又∵BF⊥FD，∴此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合．    (2)(i)當(dāng)點(diǎn)P在BF上(不與B，F(xiàn)重合)時(shí)，(見(jiàn)圖(a))∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，∴∠DPF＝∠PEB．    ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．∴．    ①又∵ BE＝y(tǒng)，BP＝12-x，F(xiàn)P＝x-3，F(xiàn)D＝a，代入①式，得∴，整理，得    ②(ii)當(dāng)點(diǎn)P在CF上（不與C，F(xiàn)重合）時(shí)，（見(jiàn)上圖(b))同理可求得．由FP＝3-x得．∴ (3)解法一：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，y＝EB＝a，此時(shí)點(diǎn)P在線段BF上．由②式得．整理得．   ③∵在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，    ∴方程③有兩個(gè)不相等的正實(shí)根．    ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．    解得．又∵a＞0，∴．    解法二：當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，∵∠APD＝90°，∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上．設(shè)圓心為M，則M為AD的中點(diǎn)．    ∵在線段BC上能找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P1與P2滿足條件，    ∴線段BC與⊙M相交．即圓心M到BC的距離d滿足．    ④又∵AD∥BC，∴d＝a．∴由④式得．【典例7】點(diǎn)A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使BC＝k·AB．連接AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直線m于點(diǎn)F．(1)如圖(a)，當(dāng)k＝1時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說(shuō)明；說(shuō)明：①如果你經(jīng)過(guò)反復(fù)探索沒(méi)有解決問(wèn)題，請(qǐng)寫(xiě)出探索過(guò)程(要求至少寫(xiě)三步)；    ②在完成①之后，可以自己添加條件(添加的條件限定為∠ABC為特殊角)，在圖(b)中補(bǔ)全圖形，完成證明．(2)如圖(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究線段EF與EB的關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案與解析】解：(1)EF＝EB．證明：如圖(d)，以E為圓心，EA為半徑畫(huà)弧交直線m于點(diǎn)M，連接EM．∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．∴∠MAC＝∠CAB．∴∠CAB＝∠EMA．∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB．∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE．    ∴△AEB≌△MEF．    ∴EF＝EB．探索思路：如上圖(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，∴BC＝AB．∴∠CAB＝∠ACB．∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．添加條件：∠ABC＝90°．證明：如圖(e)，在直線m上截取AM＝AB，連接ME．∵  BC＝k·AB，k＝1，∴  BC＝AB．∵  ∠ABC＝90°，∴  ∠CAB＝∠ACB＝45°．∵  m∥n，∴  ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．    ∵  AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．    ∴  EM＝EB，∠AME＝∠ABE．    ∵  ∠BEF＝∠ABC＝90°，∴  ∠FAB+∠BEF＝180°．又∵  ∠ABE+∠EFA＝180°， ∴  ∠EMF＝∠EFA．∴  EM＝EF．∴  EF＝EB．    (2)EF＝EB．說(shuō)明：如圖(f)，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N．∴  ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．    ∵  m∥n，∠ABC＝90°，    ∴  ∠MAB＝90°．∴  四邊形MENA為矩形．∴  ME＝NA，∠MEN＝90°．∵∠BEF＝∠ABC＝90°．∴∠MEF＝∠NEB．∴△MEF∽△NEB．∴，∴在Rt△ANE和Rt△ABC中，，∴．  

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