類型三 與圓有關(guān)的計(jì)算（扇形、圓錐、圓與正多邊形）【典例1】若一個(gè)扇形的圓心角為60°，面積為cm2，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_______cm(結(jié)果保留π)．【答案】　【解析】設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r  cm，則＝，解得r＝1(負(fù)值舍去)，∴這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為＝.【典例2】小明家有一個(gè)如圖所示的鬧鐘，他觀察發(fā)現(xiàn)圓心角∠AOB＝90°，測(cè)得的長(zhǎng)為36 cm，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 【答案】12　【解析】設(shè)⊙O的半徑為r，則可列方程：＝36，解得r＝，∴的長(zhǎng)為＝12 cm.【典例3】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是(　　)A. 1－  B.   C. 2－  D. 1＋【答案】A　【解析】如解圖，連接CD，∵AB是⊙C的切線，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝AB，∵∠ACB＝90°，AC＝，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S陰影＝S△ABC－S扇形ECF＝××－＝1－.【典例4】如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為4，以其各邊為直徑作半圓．則圖中陰影部分的面積為(　　)A. 24－4π  B. 12＋4πC. 24＋8π  D. 24＋4π【答案】A　【解析】正六邊形的面積為×4×2×6＝24，六個(gè)小半圓的面積為π·22×3＝12π，中間大圓的面積為π·42＝16π，所以陰影部分的面積為24＋12π－16π＝24－4π.【典例5】如圖，已知點(diǎn)C, D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，弧CD的長(zhǎng)為π，則圖中陰影部分的面積為(　　)A. π  B. πC. π  D. π＋【答案】A　【解析】如解圖，連接OC、OD、CD，∵點(diǎn)C、D是半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S陰影＝S扇形COD，∵的長(zhǎng)為π，∴＝π，解得r＝1，∴S陰影＝S扇形COD＝＝π.【典例6】如圖所示，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為0、2、4，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A1，則此時(shí)線段CA掃過(guò)的圖形的面積為(　　)A. 4π  B. 6  C. 4  D. π 【答案】D　【解析】由題意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝.∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面積為＝π.即線段CA掃過(guò)的圖形的面積為π.【典例7】如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2.以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則的長(zhǎng)為(　　)A.      B. π      C.       D. 【答案】C　【解析】∵四邊形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝，∠ABE＝90°，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴的長(zhǎng)為＝π.【典例8】如圖，公路彎道標(biāo)志表示圓弧道路所在圓的半徑為m(米)，某車在標(biāo)有R＝300處的彎道上從點(diǎn)A行駛了100π米到達(dá)點(diǎn)B，則線段AB＝________米．【答案】300　【解析】如解圖，連接AO、BO，∵100π＝＝，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．【典例9】如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，的長(zhǎng)是π，則陰影部分的面積是________．【答案】－　【解析】由題可得，∠AOB＝60°，設(shè)⊙O的半徑為r，則＝，解得r＝2，則S陰影＝S扇形OAB－S△OAB＝－×2×＝－.【典例10】如圖，在6×6的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，其中A、B、C為格點(diǎn)，作△ABC的外接圓，則的長(zhǎng)等于________．　【答案】　【解析】如解圖，連接OC，∵每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝.∴的長(zhǎng)為＝.【典例11】如圖，在菱形OABC中，OB是對(duì)角線，OA＝OB＝2，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．【答案】2－π　【解析】如解圖，連接OD，∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝，∴S△AOB＝×2×＝，∴扇形的面積為＝，∴陰影部分的面積為2×(－)＝2－π.【典例12】如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．【答案】 π－　【解析】如解圖，連接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四邊形CGDH＝S△ABC＝××2×1＝，∴S陰影＝S扇形FDE－S四邊形CGDH＝－＝π－.【典例13】如圖，在半徑為的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形(陰影部分)，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)_______；若將此扇形圍成一個(gè)無(wú)底的圓錐(不計(jì)接頭)，則圓錐底面半徑為_(kāi)_______．【答案】π；　【解析】∵S扇形＝＝，∴當(dāng)扇形半徑越大時(shí)，S扇形越大，如解圖，連接AB，當(dāng)AB為圓的直徑時(shí)，扇形半徑最大．∵圓的半徑為，∴AB＝2.∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB為等腰直角三角形．∴AC＝AB＝2.∴S扇形ACB＝＝π；設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為r，根據(jù)題意可得l＝2πr，又∵l＝＝π，∴2πr＝π，解得r＝.則圓錐底面半徑為.【典例14】如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且＝，連接AE，AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.(1)判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若AB＝4，CD＝，求圖中陰影部分的面積．【答案】解：(1)直線DC與⊙O相切．理由：如解圖①，連接OC，∵＝，∴∠EAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ACO＝∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半徑，∴直線DC與⊙O相切；(2)如解圖②，連接OC、OE、EC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，②∵CH⊥AB，CD⊥AE，∴∠ADC＝∠AHC＝90°，∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，∴△ADC≌△AHC(AAS)，∴CH＝CD＝，AH＝AD，∵AB＝4，且AB為直徑，∴OC＝OB＝2，又∵CH⊥OB，∴sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°，∴∠EOC＝∠COH＝60°，∴∠OED＝120°，∵OE＝OC，∴△OEC為等邊三角形，∴∠EOC＝60°，∴∠DAC＝30°，又∵DAC＝30°，又∵CD＝，∴AD＝3，∵＝，∴∠BOC＝∠OCE＝60°，∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.∴S陰影＝S△ADC－S扇形OEC＝×3×－＝－.【典例15】如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且．（1）求的度數(shù)；（2）若，求圓的半徑．【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．【解析】【分析】（1）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；（2）如圖（見(jiàn)解析），設(shè)圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】（1）如圖，連接OA設(shè)，AE是圓O的切線，即在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：即解得則由圓周角定理得：故的度數(shù)為；（2）如圖，連接AD設(shè)圓O的半徑為，則BD是圓O的直徑由（1）可知，則在中，在中，由勾股定理得：，即解得或（不符題意，舍去）則圓O的半徑為2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過(guò)作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．【典例16】已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，分別交AM，BN于D，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，求證：AB2＝4AD·BC；(2)如圖2，連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F，連接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明：圖1中，連接OC，OD.∵AM和BN是⊙O的兩條切線，∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.∴∠ADE＋∠BCE＝180°.∵DC與⊙O相切于點(diǎn)E，∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE.∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.∴∠AOD＋∠BOC＝90°.∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.∵∠DAO＝∠OBC＝90°，∴△AOD∽△BCO.∴＝.∵OA＝OB＝AB，∴＝AD·BC.∴AB2＝4AD·BC；(2)解：圖2中，連接OD，OC.∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC.∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，∴∠OFC＝∠FOC.∴CF＝OC.∴CD垂直平分OF.∴OD＝DF.∴∠CDO＝∠CDF.∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，∴∠ODA＝∠BOC＝60°.∴∠BOE＝120°.在Rt△DAO中，AD＝OA.在Rt△BOC中，BC＝OB.∴AD∶BC＝1∶3.∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝.∴圖中陰影部分的面積為2S△BOC－S扇形BOE＝2×××3－＝3－π.【典例17】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD.(1)求證：∠BAD＝∠CBD；(2)若∠AEB＝125°，求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π). 【答案】(1)證明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD；(2)解：連接OD.∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°.∴∠CAE＝35°.∴∠BAD＝∠CAE＝35°.∴∠BOD＝2∠BAD＝70°.∴的長(zhǎng)為＝. 

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