【答案】eq \f(π,3)
【解析】設(shè)這個(gè)扇形的半徑為r cm，則eq \f(60πr2,360)＝eq \f(π,6)，解得r＝1(負(fù)值舍去)，∴這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為eq \f(60π×1,180)＝eq \f(π,3).
【典例2】小明家有一個(gè)如圖所示的鬧鐘，他觀察發(fā)現(xiàn)圓心角∠AOB＝90°，測(cè)得eq \(ACB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為36 cm，則eq \(ADB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為________cm.
【答案】12
【解析】設(shè)⊙O的半徑為r，則可列方程：eq \f(（360－90）πr,180)＝36，解得r＝eq \f(24,π)，∴eq \(ADB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq \f(90π·\f(24,π),180)＝12 cm.
【典例3】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，以點(diǎn)C為圓心畫弧與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是( )
A. 1－eq \f(π,4) B. eq \f(π－1,4) C. 2－eq \f(π,4) D. 1＋eq \f(π,4)
【答案】A
【解析】如解圖，連接CD，∵AB是⊙C的切線，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CD＝eq \f(1,2)AB，∵∠ACB＝90°，AC＝eq \r(2)，AC＝BC，∴AB＝2，∴CD＝1，∴S陰影＝S△ABC－S扇形ECF＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)－eq \f(90π×12,360)＝1－eq \f(π,4).
【典例4】如圖，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為4，以其各邊為直徑作半圓．則圖中陰影部分的面積為( )
A. 24eq \r(3)－4π B. 12eq \r(3)＋4π
C. 24eq \r(3)＋8π D. 24eq \r(3)＋4π
【答案】A
【解析】正六邊形的面積為eq \f(1,2)×4×2eq \r(3)×6＝24eq \r(3)，六個(gè)小半圓的面積為π·22×3＝12π，中間大圓的面積為π·42＝16π，所以陰影部分的面積為24eq \r(3)＋12π－16π＝24eq \r(3)－4π.
【典例5】如圖，已知點(diǎn)C, D是以AB為直徑的半圓的三等分點(diǎn)，弧CD的長(zhǎng)為eq \f(1,3)π，則圖中陰影部分的面積為( )
A. eq \f(1,6)π B. eq \f(3,16)π
C. eq \f(1,24)π D. eq \f(1,12)π＋eq \f(\r(3),4)
【答案】A
【解析】如解圖，連接OC、OD、CD，∵點(diǎn)C、D是半圓的三等分點(diǎn)，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝60°，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△ACD，∴S陰影＝S扇形COD，∵eq \(CD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq \f(1,3)π，∴eq \f(60πr,180)＝eq \f(1,3)π，解得r＝1，∴S陰影＝S扇形COD＝eq \f(60π×12,360)＝eq \f(1,6)π.
【典例6】如圖所示，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為0、2、4，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A1，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為( )
A. 4π B. 6 C. 4eq \r(3) D. eq \f(8,3)π
【答案】D
【解析】由題意知AC＝4，BC＝4－2＝2，∠A1BC＝90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C＝AC＝4.在Rt△A1BC中，cs∠ACA1＝eq \f(BC,A1C)＝eq \f(1,2).∴∠ACA1＝60°.∴扇形ACA1的面積為eq \f(60×π×42,360)＝eq \f(8,3)π.即線段CA掃過的圖形的面積為eq \f(8,3)π.
【典例7】如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝2.以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE，則eq \(DE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為( )
A. eq \f(4π,3) B. π C. eq \f(2π,3) D. eq \f(π,3)
【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，且AD＝AE，∴AD＝BC＝AE＝2，∵AB＝eq \r(3)，∠ABE＝90°，∴cs∠BAE＝eq \f(AB,AE)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠BAE＝30°，∠EAD＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∴eq \(DE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq \f(60×π×2,180)＝eq \f(2,3)π.
【典例8】如圖，公路彎道標(biāo)志eq \x(R＝m)表示圓弧道路所在圓的半徑為m(米)，某車在標(biāo)有R＝300處的彎道上從點(diǎn)A行駛了100π米到達(dá)點(diǎn)B，則線段AB＝________米．
【答案】300
【解析】如解圖，連接AO、BO，∵100π＝eq \f(nπR,180)＝eq \f(nπ·300,180)，∴n＝60°，又∵AO＝BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝300米．
【典例9】如圖，已知⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，eq \(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)是eq \f(2,3)π，則陰影部分的面積是________．
【答案】eq \f(2π,3)－eq \r(3)
【解析】由題可得，∠AOB＝60°，設(shè)⊙O的半徑為r，則eq \f(60πr,180)＝eq \f(2π,3)，解得r＝2，則S陰影＝S扇形OAB－S△OAB＝eq \f(60×22π,360)－eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \f(2π,3)－eq \r(3).
【典例10】如圖，在6×6的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，其中A、B、C為格點(diǎn)，作△ABC的外接圓，則eq \(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)等于________．

【答案】eq \f(\r(5)π,2)
【解析】如解圖，連接OC，∵每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴AB＝2eq \r(5)，AC＝eq \r(10)，BC＝eq \r(10)，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠COB＝90°，∵OB＝eq \r(5).∴eq \(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq \f(90×π×\r(5),180)＝eq \f(\r(5)π,2).
【典例11】如圖，在菱形OABC中，OB是對(duì)角線，OA＝OB＝2，⊙O與邊AB相切于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為________．
【答案】2eq \r(3)－π
【解析】如解圖，連接OD，∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB，在菱形OABC中，AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等邊三角形，∴∠AOB＝∠A＝60°，∴OD＝2×sin60°＝eq \r(3)，∴S△AOB＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，∴扇形的面積為eq \f(60°×π×（\r(3)）2,360°)＝eq \f(π,2)，∴陰影部分的面積為2×(eq \r(3)－eq \f(π,2))＝2eq \r(3)－π.
【典例12】如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為________．
【答案】 eq \f(1,4)π－eq \f(1,2)
【解析】如解圖，連接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝1，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∵∠ADG＋∠CDG＝∠CDG＋∠CDH＝∠CDH＋∠BDH，∴∠ADG＝∠CDH，∠CDG＝∠BDH，∴△ADG≌△CDH(ASA)，△CDG≌△BDH(ASA)，∴S四邊形CGDH＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×2×1＝eq \f(1,2)，∴S陰影＝S扇形FDE－S四邊形CGDH＝eq \f(90π×12,360)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)π－eq \f(1,2).
【典例13】如圖，在半徑為eq \r(2)的圓形紙片中，剪一個(gè)圓心角為90°的最大扇形(陰影部分)，則這個(gè)扇形的面積為________；若將此扇形圍成一個(gè)無底的圓錐(不計(jì)接頭)，則圓錐底面半徑為________．
【答案】π；eq \f(1,2)
【解析】∵S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝eq \f(90πR2,360)，∴當(dāng)扇形半徑越大時(shí)，S扇形越大，如解圖，連接AB，當(dāng)AB為圓的直徑時(shí)，扇形半徑最大．∵圓的半徑為eq \r(2)，∴AB＝2eq \r(2).∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB為等腰直角三角形．∴AC＝eq \f(\r(2),2)AB＝2.∴S扇形ACB＝eq \f(90π×22,360)＝π；設(shè)這個(gè)圓錐底面半徑為r，根據(jù)題意可得l＝2πr，又∵l＝eq \f(90π×2,180)＝π，∴2πr＝π，解得r＝eq \f(1,2).則圓錐底面半徑為eq \f(1,2).
【典例14】如圖，AB是⊙O的直徑，E，C是⊙O上兩點(diǎn)，且eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，連接AE，AC，過點(diǎn)C作CD⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.
(1)判定直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若AB＝4，CD＝eq \r(3)，求圖中陰影部分的面積．
【答案】解：(1)直線DC與⊙O相切．
理由：如解圖①，連接OC，
∵eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，∴∠EAC＝∠OAC，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ACO＝∠DAC，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴直線DC與⊙O相切；
(2)如解圖②，連接OC、OE、EC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，
②
∵CH⊥AB，CD⊥AE，
∴∠ADC＝∠AHC＝90°，
∵∠EAC＝∠OAC，AC＝AC，
∴△ADC≌△AHC(AAS)，
∴CH＝CD＝eq \r(3)，AH＝AD，
∵AB＝4，且AB為直徑，
∴OC＝OB＝2，
又∵CH⊥OB，
∴sin∠COH＝eq \f(CH,CO)＝eq \f(\r(3),2)，
∴∠COH＝60°，
∴∠EOC＝∠COH＝60°，
∴∠OED＝120°，
∵OE＝OC，
∴△OEC為等邊三角形，
∴∠EOC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
又∵DAC＝30°，
又∵CD＝eq \r(3)，∴AD＝3，
∵eq \(EC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，
∴∠BOC＝∠OCE＝60°，
∴EC∥BA，∴S△AEC＝S△OEC.
∴S陰影＝S△ADC－S扇形OEC＝eq \f(1,2)×3×eq \r(3)－eq \f(60π×22,360)＝eq \f(3,2)eq \r(3)－eq \f(2π,3).
【典例15】如圖，圓是的外接圓，其切線與直徑的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且．
（1）求的度數(shù)；
（2）若，求圓的半徑．
【答案】（1）的度數(shù)為；（2）圓O的半徑為2．
【解析】
【分析】
（1）如圖（見解析），設(shè)，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，又根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出x的值，從而可得的度數(shù)，最后根據(jù)圓周角定理即可得；
（2）如圖（見解析），設(shè)圓O的半徑為，先根據(jù)圓周角定理得出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【詳解】
（1）如圖，連接OA
設(shè)
，
AE是圓O的切線
，即
在中，由三角形的內(nèi)角和定理得：
即
解得
則由圓周角定理得：
故的度數(shù)為；
（2）如圖，連接AD
設(shè)圓O的半徑為，則
BD是圓O的直徑
由（1）可知，
則在中，
在中，由勾股定理得：，即
解得或（不符題意，舍去）
則圓O的半徑為2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），通過作輔助線，利用圓周角定理是解題關(guān)鍵．
【典例16】已知AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，DC與⊙O相切于點(diǎn)E，分別交AM，BN于D，C兩點(diǎn)．
(1)如圖1，求證：AB2＝4AD·BC；
(2)如圖2，連接OE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F，連接CF.若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)證明：圖1中，連接OC，OD.
∵AM和BN是⊙O的兩條切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB.∴AM∥BN.
∴∠ADE＋∠BCE＝180°.
∵DC與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴∠ODE＝ eq \f(1,2) ∠ADE，∠OCE＝ eq \f(1,2) ∠BCE.
∴∠ODE＋∠OCE＝90°.∴∠DOC＝90°.
∴∠AOD＋∠BOC＝90°.
∵∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠BOC.
∵∠DAO＝∠OBC＝90°，
∴△AOD∽△BCO.∴ eq \f(AD,BO) ＝ eq \f(OA,BC) .
∵OA＝OB＝ eq \f(1,2) AB，∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AB)) eq \s\up12(2) ＝AD·BC.
∴AB2＝4AD·BC；
(2)解：圖2中，連接OD，OC.
∵∠ADE＝2∠OFC，∴∠ADO＝∠OFC.
∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC，
∴∠OFC＝∠FOC.
∴CF＝OC.∴CD垂直平分OF.∴OD＝DF.
∴∠CDO＝∠CDF.
∵∠ODA＋∠CDO＋∠CDF＝180°，
∴∠ODA＝∠BOC＝60°.∴∠BOE＝120°.
在Rt△DAO中，AD＝ eq \f(\r(3),3) OA.
在Rt△BOC中，BC＝ eq \r(3) OB.
∴AD∶BC＝1∶3.
∵AD＝1，∴BC＝3，OB＝ eq \r(3) .
∴圖中陰影部分的面積為2S△BOC－S扇形BOE＝2× eq \f(1,2) × eq \r(3) ×3－ eq \f(120π×（\r(3)）2,360) ＝3 eq \r(3) －π.
【典例17】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD.
(1)求證：∠BAD＝∠CBD；
(2)若∠AEB＝125°，求 eq \x\t(BD) 的長(zhǎng)(結(jié)果保留π).
【答案】(1)證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD；
(2)解：連接OD.
∵∠AEB＝125°，∴∠AEC＝55°.
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°.
∴∠CAE＝35°.∴∠BAD＝∠CAE＝35°.
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°.
∴ eq \x\t(BD) 的長(zhǎng)為 eq \f(70π×3,180) ＝ eq \f(7π,6) .

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