1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示，定義表達(dá)式為an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)．
(2)等差中項
若三個數(shù)，a，A，b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d或Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2).
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．
微思考
1．等差數(shù)列的前n項和Sn是項數(shù)n的二次函數(shù)嗎？
提示 不一定．當(dāng)公差d＝0時，Sn＝na1，不是關(guān)于n的二次函數(shù)．
2．若數(shù)列的前n項和為Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
提示 不一定．當(dāng)C＝0時是等差數(shù)列.
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( √ )
(2)若一個數(shù)列每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．( × )
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(4)已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．( √ )
題組二 教材改編
2．已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，則a9＝________.
答案 －17
解析 d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
3．已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，則d＝________.
答案 2
解析 ∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即a1＋5d＝10，①
a7＝a1＋6d＝12，②
②－①得d＝2.
4．已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3＝2，且S6＝30，則S9＝________.
答案 126
解析 由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝2，,2a1＋5d＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－10，,d＝6.))
∴S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝－90＋36×6＝126.
題組三 易錯自糾
5．(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5S8，則下列結(jié)論正確的是( )
A．dS5
D．S6與S7均為Sn的最大值
答案 ABD
解析 S6＝S5＋a6>S5，則a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，則a7＝0，則d＝a7－a6

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