2021年上海市中考數(shù)學(xué)定心試卷（word版 含答案）

這是一份2021年上海市中考數(shù)學(xué)定心試卷（word版 含答案），共25頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．下列四個選項中的數(shù)，不是分數(shù)的是（ ）
A．B．80%C．D．
2．下列計算中，正確的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2?3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
3．下列方程中，有實數(shù)解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
4．一家鞋店對上周某品牌女鞋的銷售量統(tǒng)計如下：
這家鞋店決定本周進該品牌女鞋時多進一些尺寸為37碼的鞋，影響鞋店決策的統(tǒng)計量是（ ）
A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么這三個圓的位置關(guān)系（ ）
A．⊙A與⊙B、⊙C外切，⊙B與⊙C相交
B．⊙A與⊙B、⊙C相交，⊙B與⊙C外切
C．⊙B與⊙A、⊙C外切，⊙A與⊙C相交
D．⊙B與⊙A、⊙C相交，⊙A與⊙C外切
6．在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]
7．計算：（3a）2＝ ．
8．分解因式：x2﹣4x＝ ．
9．方程的解是 ．
10．不等式組的解集是 ．
11．如果關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 ．
12．已知點A（1，y1）、點B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是 ．
13．一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，小球除顏色不同外其它都相同．如果要設(shè)計一個游戲，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，那么n＝ ．
14．如圖，BE、AD分別是△ABC的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量表示為 ．
15．如果正六邊形的半徑是1，那么它的邊心距是 ．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以點C為圓心，r為半徑作⊙C．如果⊙C與線段BE有兩個交點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是 ．
17．當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分割成兩個等腰三角形時，我們稱這個四邊形為“等腰四邊形”，其中這條對角線稱為這個四邊形的“等腰線”．如果凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度數(shù)為 ．
18．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，將△BCM沿直線BM翻折，使得點C落在同一平面內(nèi)的點C′處，聯(lián)結(jié)DC′并延長交正方形ABCD一邊于點N．當BN＝DM時，CM的長為 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分50分）
19．（10分）計算：．
20．（10分）解方程：．
21．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的長；
（2）如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．
22．（10分）張先生準備租一處房屋開一家公司．現(xiàn)有甲、乙兩家房屋出租，甲家房屋已裝修好，每月租金3000元；乙家房屋沒有裝修，每月租金2000元，但要裝修成甲家房屋的模樣，需要花費40000元．
請你自行定義變量，建立函數(shù)，并利用與函數(shù)有關(guān)的知識幫助張先生設(shè)計一個租房方案（備注：只從最省錢的角度設(shè)計租房方案，寫出具體的解題過程）．
23．（6分）如圖，在?ABCD中，點G是邊BC延長線上一點，聯(lián)結(jié)AG分別交BD和CD于點E和F，聯(lián)結(jié)DG．
（1）求證：AE2＝EF?EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求證：四邊形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐標系xOy（如圖）中，二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常數(shù)，且a≠0）的圖象是開口向上的拋物線．
（1）求該拋物線的頂點P的坐標；
（2）我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做“整點”，將拋物線f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1與y軸的交點記為A，如果線段OA上的“整點”的個數(shù)小于4，試求a的取值范圍；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）這四個函數(shù)值中有且只有一個值大于0，試寫出符合題意的一個函數(shù)解析式；結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，點M是射線AB上一點，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點D．
（1）如圖，當MC＝AC時，求CD的長；
（2）當點D在線段AC的延長線上時，設(shè)BM＝x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果直線MD與射線BC相交于點E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長．
2021年上海市中考數(shù)學(xué)定心試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上．】
1．下列四個選項中的數(shù)，不是分數(shù)的是（ ）
A．B．80%C．D．
【分析】有理數(shù)包括分數(shù)和整數(shù)，無理數(shù)一定不是分數(shù)．
【解答】解：∵是無理數(shù)，無理數(shù)一定不是分數(shù)，
∴不是分數(shù)，
故選：A．
2．下列計算中，正確的是（ ）
A．2a2+3a＝5a3B．2a2?3a＝5a3C．2a2÷3a＝aD．（2a2）3＝8a5
【分析】直接利用整式的混合運算以及合并同類項法則分別計算得出答案．
【解答】解：A、2a2+3a，無法計算，故此選項錯誤；
B、2a2?3a＝6a3，故此選項錯誤；
C、2a2÷3a＝a，故此選項正確；
D、（2a2）3＝8a6，故此選項錯誤；
故選：C．
3．下列方程中，有實數(shù)解的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x2+1＝0
C．D．
【分析】解各個方程，根據(jù)解的情況得結(jié)論．
【解答】解：方程x2﹣x+1＝0的根的判別式△＝1﹣4＝﹣3＜0，
所以方程A沒有實數(shù)解；
方程x2+1＝0的根的判別式△＝0﹣4＝﹣4＜0，
故方程B沒有實數(shù)解；
方程＝可變形為x2﹣1＝2x﹣2，整理得x2﹣2x+1＝0．
解得x＝1，當x＝1時，分式方程無解．故方程C沒有實數(shù)解；
方程＝1﹣x的解為x＝1，故方程D有實數(shù)解．
故選：D．
4．一家鞋店對上周某品牌女鞋的銷售量統(tǒng)計如下：
這家鞋店決定本周進該品牌女鞋時多進一些尺寸為37碼的鞋，影響鞋店決策的統(tǒng)計量是（ ）
A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差
【分析】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量；方差、標準差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量．銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．
【解答】解：鞋店最關(guān)心的應(yīng)該是某一尺碼鞋子的銷售量最多，在統(tǒng)計量中也就是眾數(shù)，
所以影響鞋店決策的統(tǒng)計量是眾數(shù)，
故選：B．
5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么這三個圓的位置關(guān)系（ ）
A．⊙A與⊙B、⊙C外切，⊙B與⊙C相交
B．⊙A與⊙B、⊙C相交，⊙B與⊙C外切
C．⊙B與⊙A、⊙C外切，⊙A與⊙C相交
D．⊙B與⊙A、⊙C相交，⊙A與⊙C外切
【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系有：相離（d＞R+r）、相切（d＝R+r或d＝R﹣r）、相交（R﹣r＜d＜R+r）．進行逐一判斷即可．
【解答】解：∵⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為2、3、4，
AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4，
根據(jù)圓與圓之間的位置關(guān)系可知：⊙A與⊙B、⊙C外切，⊙B與⊙C相交．
故選：A．
6．在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（ ）
A．AD＝BC且AC＝BDB．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠CD．AB＝CD且∠A＝∠B
【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC＝BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝CD，故選項C符合題意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的長為AD、BC間的距離，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴選項D不符合題意；
故選：C．
二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）[請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置]
7．計算：（3a）2＝ 9a2 ．
【分析】利用積的乘方的性質(zhì)求解即可求得答案．
【解答】解：（3a）2＝9a2．
故答案為：9a2．
8．分解因式：x2﹣4x＝ x（x﹣4） ．
【分析】直接提取公因式x進而分解因式得出即可．
【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．
故答案為：x（x﹣4）．
9．方程的解是 6 ．
【分析】把方程兩邊平方去根號后求解．
【解答】解：由原方程的兩邊平方，得
x+3＝9，
移項，得
x＝6；
故答案是：6．
10．不等式組的解集是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】先求出每個不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞﹣3，
所以不等式組的解集是﹣3＜x＜1．
故答案為：﹣3＜x＜1．
11．如果關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是 k＜1 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式的意義得到△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范圍為k＜1．
故答案為：k＜1．
12．已知點A（1，y1）、點B（2，y2）在拋物線y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范圍是 a＞0 ．
【分析】利用A、B坐標且y1＜y2和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：由已知拋物線為y＝ax2﹣2，
∴對稱軸為x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，則在x＞0時，y隨x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范圍是：a＞0．
13．一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，小球除顏色不同外其它都相同．如果要設(shè)計一個游戲，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，那么n＝ 20 ．
【分析】直接利用紅球個數(shù)除以總數(shù)得出摸出紅球的概率，即可得出答案．
【解答】解：∵一個不透明的盒子中裝有n個小球，其中紅球有4個，從盒中任意摸出一個球，使得摸出紅球的概率是0.2，
∴＝0.2，
解得：n＝20．
故答案為：20．
14．如圖，BE、AD分別是△ABC的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量表示為 2﹣3 ．
【分析】利用三角形重心的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形法則求解即可．
【解答】解：∵AD，BE是△ABC的中線，
∴OA＝2OD，
∵＝+，
∴＝﹣，
∴＝2﹣2，
∵＝+，
∴＝2﹣2﹣＝2﹣3，
故答案為：2﹣3．
15．如果正六邊形的半徑是1，那么它的邊心距是 ．
【分析】根據(jù)正六邊形的中心角為60°以及正六邊形邊心距的性質(zhì)解直角三角形△OBG可得結(jié)論．
【解答】解：∵ABCDDEF為正六邊形，
∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC．
∴∠BOG＝∠BOC＝30°．
在Rt△BOG中，cs∠BOG＝．
∵OB＝1，
∴OG＝OB?cs∠BOG＝1×＝．
故答案為：．
16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以點C為圓心，r為半徑作⊙C．如果⊙C與線段BE有兩個交點，那么⊙C的半徑r的取值范圍是 2＜r≤2 ．
【分析】連接CE，過C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，計算得出AD，AE的長，通過說明△BFC～△ADE，得出CF的長，利用勾股定理計算CE的長，因為⊙C與線段BE有兩個交點，可以確定r的取值范圍．
【解答】解：連接CE，過C作CF⊥AB于F．
∵DE∥BC，
∴．
∵CD＝2AD，
∴＝．
∵AB＝9，BC＝6，
∴DE＝BC＝2，
AE＝AB＝3．
∵AC＝，
CD＝2AD，
∴CD＝．
∴CE＝．
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACF＝90°．
∵CF⊥AB，
∴∠CAF+∠ACF＝90°．
∴∠BCF＝∠FAC．
∵∠BFC＝∠EDA＝90°，
∴△BFC∽△EDA．
∴．
∴．
∴CF＝2．
∴當r＝2時，⊙C與線段BE相切．
∵⊙C與線段BE有兩個交點，
∴2＜r≤2．
故答案為：2＜r≤2．
17．當一個凸四邊形的一條對角線把原四邊形分割成兩個等腰三角形時，我們稱這個四邊形為“等腰四邊形”，其中這條對角線稱為這個四邊形的“等腰線”．如果凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度數(shù)為 75° ．
【分析】根據(jù)“等腰四邊形”的定義畫出圖形，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，所以△CBD和△ABD為等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分兩種情形：①AB＝BD，②AD＝BD．當AB＝BD時，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC為等邊三角形，∠ABC＝90°，則∠ABD＝30°，結(jié)論可得；當AD＝BD時，過點D作DE⊥AB，根據(jù)等腰三角形的三線合一，BE＝AB，過點D作DF⊥CB，交CB延長線于點F，根據(jù)四邊形EBFD為矩形，DF＝＝CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，從而∠BAD可求．
【解答】解：∵凸四邊形ABCD是“等腰四邊形”，對角線BD是該四邊形的“等腰線”，
∴△CBD和△ABD為等腰三角形．
由于AB≠AD，在△ABD中分兩種情形：①AB＝BD，②AD＝BD．
當①AB＝BD時，如下圖：
∵AB＝BC＝CD，AB＝BD．
∴BC＝CD＝BD．
∴△BDC為等邊三角形．
∴∠DBC＝60°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°．
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°．
當②AD＝BD時，如下圖，
過點D作DE⊥AB，過點D作DF⊥CB，交BC延長線于點F，
∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴BE＝AB．
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°，
∴四邊形EBFD為矩形．
∴DF＝BE＝AB．
∵AB＝CD，
∴DF＝CD．
在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝，
∴∠DCF＝30°．
∵BC＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝75°．
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠ABD＝75°．
綜上，∠BAD＝75°．
故答案為：75°．
18．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，將△BCM沿直線BM翻折，使得點C落在同一平面內(nèi)的點C′處，聯(lián)結(jié)DC′并延長交正方形ABCD一邊于點N．當BN＝DM時，CM的長為 2或8﹣4 ．
【分析】分兩種情形：如圖1中，當BN＝DM時，連接CC′交BM于J．如圖2中，當BN＝DM時，過點C′作C′T⊥CD于T．分別求解即可．
【解答】解：如圖1中，當BN＝DM時，連接CC′交BM于J．
∵BN＝DM，BN∥DM，
∴四邊形BNDM是平行四邊形，
∴BM∥DN，
∴∠BMC＝∠NDM，∠BMC′＝∠DC′M，由折疊知，MC′＝MC，∠BMC＝∠BMC′，
∴∠NDM＝∠DC′M，
∴MC′＝MD，
∴CM＝DM＝CD＝2．
如圖2中，當BN＝DM時，過點C′作C′T⊥CD于T．
∵CB＝CD，BN＝DM，
∴CN＝CM＝MC′，
在△BCM和△DCN中，
，
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴∠CDN＝∠CBM，
∵∠CBM+∠BCC′＝90°，∠BCC′+∠C′CD＝90°，
∴∠CBM＝∠C′CD，
∴∠C′CD＝∠DCC′，
∴C′D＝C′C，
∵C′T⊥CD，
∴DT＝TC＝2，
∵C′T∥CN，
∴DC′＝C′N，
∴C′T＝CN，
設(shè)C′T＝x，則CN＝CM＝MC′＝2x，TM＝x，
∴2x+x＝2，
∴x＝4﹣2，
∴CM＝8﹣4，
綜上所述，CM的值為2或8﹣4．
三、解答題（本大題共7題，滿分50分）
19．（10分）計算：．
【分析】利用絕對值，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡的方法進行計算即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣1+﹣
＝﹣1﹣1+2+2﹣
＝2．
20．（10分）解方程：．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：6+x2﹣9＝x+3，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2，
檢驗：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
把x＝﹣2代入得：（x+3）（x﹣3）＝﹣5≠0，
則x＝3是增根，分式方程的解為x＝﹣2．
21．（5分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝45°，ctB＝，BC＝10．
（1）求AB的長；
（2）如果CD為邊AB上的中線，求∠DCB的正切值．
【分析】（1）過點A作AE⊥BC，構(gòu)造兩個直角三角形，分別用特殊角和三角函數(shù)求解．
（2）過D作DF⊥BC，分別在兩個直角三角形中求解．
【解答】解：（1）過A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，
∵∠BCA＝45°，
在Rt△AEC中，AE＝EC，
∵ctB＝，
在Rt△BEA中，＝，
設(shè)BE＝3x，AE＝2x，
∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10，
∴x＝2，
∴BE＝6，EA＝EC＝4，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2．
即AB2＝36+16＝52．
∴AB＝．
（2）由（1）知AB＝2，
又∵D為AB的中點，
∴BD＝AD＝，
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴DF∥AE，
∵BD＝AD，
∴BF＝FE＝BE＝3．
∴DF＝AE＝2，
∴FC＝FE+EC＝3+4＝7．
∴tan∠DCB＝．
22．（10分）張先生準備租一處房屋開一家公司．現(xiàn)有甲、乙兩家房屋出租，甲家房屋已裝修好，每月租金3000元；乙家房屋沒有裝修，每月租金2000元，但要裝修成甲家房屋的模樣，需要花費40000元．
請你自行定義變量，建立函數(shù)，并利用與函數(shù)有關(guān)的知識幫助張先生設(shè)計一個租房方案（備注：只從最省錢的角度設(shè)計租房方案，寫出具體的解題過程）．
【分析】由租金隨租期的變化而變化，所以租期是自變量，租金是函數(shù)值，列出y與x的關(guān)系式，再根據(jù)兩家租金的多少分類討論分類討論即可．
【解答】解：設(shè)張先生組的時間為自變量x，租金為函數(shù)值y，
∴租甲家房屋y與x的關(guān)系為：y＝3000x，
租甲家房屋y與x的關(guān)系為：y＝40000+2000x，
①當甲家費用高于乙家費用時3000x＞40000+2000x，
解得：x＞40；
②當甲家費用等于乙家費用時3000x＝40000+2000x，
解得：x＝40；
③當甲家費用低于乙家費用時3000x＜40000+2000x，
解得：x＜40，
綜上所訴，①當租期超過40個月時，租乙家合適；②當租期等過40個月時，租家、乙家都可以；③當租期低于40個月，租甲家合適．
23．（6分）如圖，在?ABCD中，點G是邊BC延長線上一點，聯(lián)結(jié)AG分別交BD和CD于點E和F，聯(lián)結(jié)DG．
（1）求證：AE2＝EF?EG；
（2）如果∠ABD＝∠AGD，求證：四邊形ABGD是等腰梯形．
【分析】（1）通過說明△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式可得結(jié)論．
（2）由已知得出△DEF∽GED，可以推出DE2＝EF?EG，利用（1）的結(jié)論可得DE＝AE，進而說明△AEB≌△DEG，結(jié)論可得．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴△ABE∽△FDE．
∴．
∴ADE∽△GBE．
∴．
∴．
∴AE2＝EF?EG．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB．
∵∠ABD＝∠AGD，
∴∠CDB＝∠AGD．
∵∠DEF＝∠GED，
∴△DEF∽GED．
∴．
∴DE2＝EF?EG．
由（1）知：AE2＝EF?EG．
∴DE＝AE．
在△ABE和△DEG中，
．
∴△ABE≌△DEG（AAS）．
∴AB＝DG．
∵AD∥BG，
∴四邊形ABGD是等腰梯形．
24．在平面直角坐標系xOy（如圖）中，二次函數(shù)f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常數(shù)，且a≠0）的圖象是開口向上的拋物線．
（1）求該拋物線的頂點P的坐標；
（2）我們將橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做“整點”，將拋物線f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1與y軸的交點記為A，如果線段OA上的“整點”的個數(shù)小于4，試求a的取值范圍；
（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）這四個函數(shù)值中有且只有一個值大于0，試寫出符合題意的一個函數(shù)解析式；結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）把拋物線代入頂點式為f（x）＝a（x﹣1）2﹣1，即可求頂點坐標；
（2）拋物線與y軸的交點，橫坐標為0，即A坐標為（0，a﹣1），根據(jù)已知條件a﹣1＜3，即可求a的取值范圍為0＜a＜4；
（3）根據(jù)已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一個大于0，即其余的小于或等于0，由對稱軸為直線x＝1開口向上，可以得出f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），根據(jù)f（4）＞0，f（3）≤0可以求a的范圍，＜a≤，即可以寫出符合條件的函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）拋物線的方程為f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1＝a（x﹣1）2﹣1，
∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣1）；
（2）A為拋物線與y軸的交點，
∴A點坐標為（0，a﹣1），
線段OA上的整點個數(shù)小于4，
則可知a﹣1＜4，a＜5，
故a的取值范圍為0＜a＜5；
（3）已知f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）有且只有一個大于0，（即其余的小于或等于0）
由題可知該函數(shù)對稱軸為直線x＝1，開口方向向上，
故有f（4）＞f（3）＝f（﹣1）＞f（0），
∴f（4）＞0，
∴得16a﹣8a+a﹣1＞0，
得a＞，
f（3）≤0，
得9a﹣6a+a﹣1≤0，
得a≤，
取a＝，
f（x）＝x2﹣x﹣，
∴a的取值范圍為＜a≤．
25．（5分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanA＝，AC＝5，點M是射線AB上一點，以MC為半徑的⊙M交直線AC于點D．
（1）如圖，當MC＝AC時，求CD的長；
（2）當點D在線段AC的延長線上時，設(shè)BM＝x，四邊形CBMD的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果直線MD與射線BC相交于點E，且△ECD與△EMC相似，求線段BM的長．
【分析】（1）在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，則CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如圖1，設(shè)CD＝2m，則CM2＝BC2+MB2＝9+x2，在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），進而求解；
（3）當點M在點B的右側(cè)時，在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，則CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，則MN＝＝r，進而求解；當點M在BC的左側(cè)時，同理可解．
【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，AC＝5，設(shè)∠A＝α，
則BC＝3，AB＝4＝BM，sinA＝＝sinα，csA＝＝csα，
（1）如圖1，∵MC＝MA＝5，
過點M作MN⊥CD于點N，
∵MC＝MD，則CN＝CD，
在Rt△AMN中，MN＝AMsinA＝（4+4）×＝，
則CD＝2CN＝2＝2＝；
（2）如圖1，設(shè)CD＝2m，則CM2＝BC2+MB2＝9+x2，
則MN2＝CM2﹣m2＝x2+9﹣m2，
在Rt△AMN中，AN2+MN2＝AM2，
即（5+m）2+9+x2﹣m2＝（4+x）2，解得m＝（4x﹣9），
則MN＝＝（x+4）；
則S＝CD?MN+×AM?BC＝（8x2+39x﹣72）；
∵m＝（4x﹣9）＞0，
∴x＞；
（3）①當點M在點B的右側(cè)時，
如圖2，過點M作MN⊥CD于點N，過點P作PD⊥CM于點P，
設(shè)圓的半徑為r，
∵△ECD與△EMC相似，則∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
則CP＝r﹣MP＝r﹣r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanA＝＝，解得r＝3，
則BM＝＝＝6；
②當點M在BC的左側(cè)時，
如圖3，過點M作MN⊥CD于點N，過點P作PD⊥CM于點P，
設(shè)圓的半徑為r，
∵△ECD與△EMC相似，則∠ECD＝∠EMC＝∠ACB＝α，
在Rt△DPM中，DP＝DMsin∠EMC＝rsinα＝r，MP＝rcsα＝r，
則CP＝r﹣MP＝r+r＝r，CD＝＝r＝2CN，
∴MN＝＝r，
∵tanCAB＝＝＝，
解得r＝，
則BM＝＝；
綜上，MB為6或．
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