高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義高考專(zhuān)題突破二-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．(2016·全國(guó)甲卷)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為( )
A．x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z) B．x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)
C．x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)(k∈Z) D．x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)(k∈Z)
答案 B
解析由題意將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移eq \f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，由2x＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，故選B.
2．在△ABC中，AC·csA＝3BC·cs B，且csC＝eq \f(\r(5),5)，則A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
答案 B
解析由題意及正弦定理得sin BcsA＝3sin AcsB，
∴tan B＝3tan A，∴0°＜A0，|φ|0)．
(1)求函數(shù)f(x)的值域；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離均為eq \f(π,2)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．
解 (1)f(x)＝eq \f(\r(3),2)sin ωx＋eq \f(1,2)csωx＋eq \f(\r(3),2)sin ωx－eq \f(1,2)csωx－(csωx＋1)
＝2(eq \f(\r(3),2)sin ωx－eq \f(1,2)csωx)－1＝2sin(ωx－eq \f(π,6))－1.
由－1≤sin(ωx－eq \f(π,6))≤1，
得－3≤2sin(ωx－eq \f(π,6))－1≤1，
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－3,1]．
(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y＝f(x)的周期為π，
所以eq \f(2π,ω)＝π，即ω＝2.
所以f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,6))－1，
再由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得kπ－eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)．
所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
[kπ－eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(π,3)](k∈Z)．
思維升華三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，通常先將三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后將t＝ωx＋φ視為一個(gè)整體，結(jié)合y＝sin t的圖象求解．
已知函數(shù)f(x)＝5sin xcsx－5eq \r(3)cs2x＋eq \f(5,2)eq \r(3)(其中x∈R)，求：
(1)函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．
解 (1)因?yàn)閒(x)＝eq \f(5,2)sin 2x－eq \f(5\r(3),2)(1＋cs 2x)＋eq \f(5\r(3),2)
＝5(eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cs 2x)＝5sin(2x－eq \f(π,3))，
所以函數(shù)的周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12) (k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ－eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(5π,12)](k∈Z)．
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
得kπ＋eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(11π,12)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為[kπ＋eq \f(5π,12)，kπ＋eq \f(11π,12)](k∈Z)．
(3)由2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程為x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
由2x－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，0)(k∈Z)．
題型二解三角形
例2 (2016·江蘇)在△ABC中，AC＝6，csB＝eq \f(4,5)，C＝eq \f(π,4).
(1)求AB的長(zhǎng)；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))的值．
解 (1)由csB＝eq \f(4,5)，0c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝eq \r(1－cs2B)
＝eq \r(1－?\f(1,3)?2)＝eq \f(2\r(2),3)，
由正弦定理，得sin C＝eq \f(c,b)sin B＝eq \f(2,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2),9).
因?yàn)閍＝b>c，所以C為銳角，
因此csC＝eq \r(1－sin2C)＝eq \r(1－?\f(4\r(2),9)?2)＝eq \f(7,9).
于是cs(B－C)＝csBcsC＋sin BsinC
＝eq \f(1,3)×eq \f(7,9)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(4\r(2),9)＝eq \f(23,27).
1．已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋eq \f(π,4))，x∈R，且f(eq \f(5π,12))＝eq \f(3,2).
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝eq \f(3,2)，θ∈(0，eq \f(π,2))，求f(eq \f(3π,4)－θ)．
解 (1)∵f(eq \f(5π,12))＝Asin(eq \f(5π,12)＋eq \f(π,4))＝Asineq \f(2π,3)
＝eq \f(\r(3),2)A＝eq \f(3,2)，∴A＝eq \r(3).
(2)由(1)知f(x)＝eq \r(3)sin(x＋eq \f(π,4))，
故f(θ)＋f(－θ)
＝eq \r(3)sin(θ＋eq \f(π,4))＋eq \r(3)sin(－θ＋eq \f(π,4))＝eq \f(3,2)，
∴eq \r(3)[eq \f(\r(2),2)(sin θ＋csθ)＋eq \f(\r(2),2)(csθ－sin θ)]＝eq \f(3,2)，
∴eq \r(6)csθ＝eq \f(3,2)，∴csθ＝eq \f(\r(6),4).
又θ∈(0，eq \f(π,2))，∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(10),4)，
∴f(eq \f(3π,4)－θ)＝eq \r(3)sin(π－θ)＝eq \r(3)sin θ＝eq \f(\r(30),4).
2．(2016·山東)設(shè)f(x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sin x－(sin x－csx)2.
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把得到的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值．
解 (1)f(x)＝2eq \r(3)sin(π－x)sin x－(sin x－csx)2
＝2eq \r(3)sin2x－(1－2sin xcsx)
＝eq \r(3)(1－cs 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＋eq \r(3)－1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)．
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))?k∈Z?)).
(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1，
把y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)．
得到y(tǒng)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋eq \r(3)－1的圖象．
再把得到的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位，
得到y(tǒng)＝2sin x＋eq \r(3)－1的圖象，
即g(x)＝2sin x＋eq \r(3)－1.
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2sin eq \f(π,6)＋eq \r(3)－1＝eq \r(3).
3．已知△ABC的面積為2，且滿足0

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