1．橢圓的概念
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a>c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．( √ )
(5)eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a≠b)表示焦點在y軸上的橢圓．( × )
(6)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
1．(教材改編)橢圓eq \f(x2,10－m)＋eq \f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于( )
A．4B．8C．4或8D．12
答案 C
解析 由題意知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10－m>m－2>0，,?10－m?－?m－2?＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2>10－m>0，,?m－2?－?10－m?＝4，))
解得m＝4或m＝8.
2．(2015·廣東)已知橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m等于( )
A．2B．3C．4D．9
答案 B
解析 由題意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
3．(2016·全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq \f(1,4)，則該橢圓的離心率為( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
答案 B
解析 如圖，由題意得，|BF|＝a，|OF|＝c，|OB|＝b，|OD|＝eq \f(1,4)×2b＝eq \f(1,2)b.
在Rt△FOB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·eq \f(1,2)b，解得a＝2c，故橢圓離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，故選B.
4．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,1)
解析 將橢圓方程化為eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，因為焦點在y軸上，則eq \f(2,k)>2，即k0，所以0|OF|.
∴P點的軌跡是以O，F(xiàn)為焦點的橢圓．
命題點2 利用待定系數(shù)法求橢圓方程
例2 (1)已知橢圓以坐標軸為對稱軸，且長軸長是短軸長的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為__________________________________________．
(2)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(eq \r(6)，1)，P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，則橢圓的方程為________________________________．
答案 (1)eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1
(2)eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 (1)若焦點在x軸上，設方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓過P(3,0)，∴eq \f(32,a2)＋eq \f(02,b2)＝1，即a＝3，
又2a＝3×2b，∴b＝1，方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1.
若焦點在y軸上，設方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)．
∵橢圓過點P(3,0)．∴eq \f(02,a2)＋eq \f(32,b2)＝1，即b＝3.
又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程為eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
∴所求橢圓的方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1或eq \f(y2,81)＋eq \f(x2,9)＝1.
(2)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵橢圓經(jīng)過點P1，P2，∴點P1，P2的坐標適合橢圓方程．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1， ①,3m＋2n＝1，②))
①②兩式聯(lián)立，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))
∴所求橢圓方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
命題點3 利用定義解決“焦點三角形”問題
例3 已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
答案 3
解析 設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r1＋r2＝2a，,r\\al(2,1)＋r\\al(2,2)＝4c2，))
∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2))
＝4a2－4c2＝4b2，
又∵S△PF1F2＝eq \f(1,2)r1r2
＝b2＝9，∴b＝3.
引申探究
1．在例3中增加條件“△PF1F2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程．
解 由原題得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，
所以a－c＝1，解得a＝5，
故橢圓方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1.
2．在例3中條件“eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))”、“△PF1F2的面積為9”分別改為“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3eq \r(3)”，結(jié)果如何？
解 |PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cs60°
＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝eq \f(4,3)b2，
又因為S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)b2×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3),3)b2＝3eq \r(3)，
所以b＝3.
思維升華 (1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件．
(2)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
(3)當P在橢圓上時，與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通過整體代入可求其面積等．
(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
(2)(2017·大慶質(zhì)檢)設F1、F2分別是橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點，若橢圓上存在一點P，使(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0(O為坐標原點)，則△F1PF2的面積是( )
A．4B．3C．2D．1
答案 (1)D (2)D
解析 (1)設圓M的半徑為r，
則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，
且2a＝16,2c＝8，
故所求的軌跡方程為eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1.
(2)∵(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OF2,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝(eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(F1O,\s\up6(→)))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \(F1P,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，
則m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，
∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)mn＝1.
題型二 橢圓的幾何性質(zhì)
例4 (1)已知點F1，F(xiàn)2是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|的最小值是( )
A．0B．1C．2D．2eq \r(2)
(2)(2016·全國丙卷)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為橢圓C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)C.eq \f(2,3)D.eq \f(3,4)
答案 (1)C (2)A
解析 (1)設P(x0，y0)，則eq \(PF1,\s\up6(→))＝(－1－x0，－y0)，
eq \(PF2,\s\up6(→))＝(1－x0，－y0)，∴eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝(－2x0，－2y0)，
∴|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|＝eq \r(4x\\al(2,0)＋4y\\al(2,0))
＝2eq \r(2－2y\\al(2,0)＋y\\al(2,0))
＝2eq \r(－y\\al(2,0)＋2).
∵點P在橢圓上，∴0≤yeq \\al(2,0)≤1，
∴當yeq \\al(2,0)＝1時，|eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))|取最小值2.故選C.
(2)設M(－c，m)，則Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(am,a－c)))，OE的中點為D，則Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(am,2?a－c?)))，又B，D，M三點共線，所以eq \f(m,2?a－c?)＝eq \f(m,a＋c)，a＝3c，e＝eq \f(1,3).
思維升華 (1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點及技巧
①注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關系
在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者最大值、最小值時，經(jīng)常用到橢圓標準方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關系．
②利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧
求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．
(2)求橢圓的離心率問題的一般思路
求橢圓的離心率或其范圍時，一般是依據(jù)題設得出一個關于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍．
(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝eq \f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．
答案 eq \f(\r(6),3)
解析 聯(lián)立方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C兩點坐標為
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，又F(c,0)，
則eq \(FB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a－c，\f(b,2)))，eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，
又由∠BFC＝90°，可得eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐標可得
c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(b2,4)＝0，①
又因為b2＝a2－c2.
代入①式可化簡為eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，則橢圓離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(2,3))＝eq \f(\r(6),3).
題型三 直線與橢圓
例5 (2016·天津)設橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a>eq \r(3))的右焦點為F，右頂點為A.已知eq \f(1,|OF|)＋eq \f(1,|OA|)＝eq \f(3e,|FA|)，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
(1)求橢圓的方程；
(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
解 (1)設F(c,0)，由eq \f(1,|OF|)＋eq \f(1,|OA|)＝eq \f(3e,|FA|)，
即eq \f(1,c)＋eq \f(1,a)＝eq \f(3c,a?a－c?)，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)設直線l的斜率為k(k≠0)，
則直線l的方程為y＝k(x－2)．
設B(xB，yB)，由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k?x－2?))消去y，
整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝eq \f(8k2－6,4k2＋3).
由題意得xB＝eq \f(8k2－6,4k2＋3)，從而yB＝eq \f(－12k,4k2＋3).
由(1)知，F(xiàn)(1,0)，設H(0，yH)，
有eq \(FH,\s\up6(→))＝(－1，yH)，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9－4k2,4k2＋3)，\f(12k,4k2＋3))).
由BF⊥HF，得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FH,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(4k2－9,4k2＋3)＋eq \f(12kyH,4k2＋3)＝0，
解得yH＝eq \f(9－4k2,12k).
因此直線MH的方程為y＝－eq \f(1,k)x＋eq \f(9－4k2,12k).
設M(xM，yM)，由方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－2?，,y＝－\f(1,k)x＋\f(9－4k2,12k)))消去y，
解得xM＝eq \f(20k2＋9,12?k2＋1?).
在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋yeq \\al(2,M)≤xeq \\al(2,M)＋yeq \\al(2,M)，
化簡，得xM≥1，即eq \f(20k2＋9,12?k2＋1?)≥1，
解得k≤－eq \f(\r(6),4)或k≥eq \f(\r(6),4).
所以直線l的斜率的取值范圍為
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(6),4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)，＋∞)).
思維升華 (1)解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．
(2)設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq \r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])
＝eq \r(?1＋\f(1,k2)?[?y1＋y2?2－4y1y2])(k為直線斜率)．
提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．
(2016·唐山模擬)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e＝eq \f(\r(5),5)，直線l交橢圓于M，N兩點．
(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦|MN|的長；
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式．
解 (1)由已知得b＝4，且eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),5)，
即eq \f(c2,a2)＝eq \f(1,5)，∴eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,5)，
解得a2＝20，∴橢圓方程為eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1.
則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝eq \f(40,9)，
∴所求弦長|MN|＝eq \r(1＋12)|x2－x1|
＝eq \f(40\r(2),9).
(2)橢圓右焦點F的坐標為(2,0)，
設線段MN的中點為Q(x0，y0)，
由三角形重心的性質(zhì)知
eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FQ,\s\up6(→))，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐標為(3，－2)．
設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且eq \f(x\\al(2,1),20)＋eq \f(y\\al(2,1),16)＝1，eq \f(x\\al(2,2),20)＋eq \f(y\\al(2,2),16)＝1，
以上兩式相減得eq \f(?x1＋x2??x1－x2?,20)＋eq \f(?y1＋y2??y1－y2?,16)＝0，
∴kMN＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(4,5)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)
＝－eq \f(4,5)×eq \f(6,－4)＝eq \f(6,5)，
故直線MN的方程為y＋2＝eq \f(6,5)(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
8．高考中求橢圓的離心率問題
考點分析 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點，這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無論是哪類問題，其難點都是建立關于a，b，c的關系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關于離心率e的關系式，這是化解有關橢圓的離心率問題難點的根本方法．
典例1 (2015·福建)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于eq \f(4,5)，則橢圓E的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析 左焦點F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
設M(0，b)，則eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，∴1≤b＜2.
離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(\f(4－b2,4))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))，故選A.
答案 A
典例2 (12分)(2016·浙江)如圖，設橢圓eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段長(用a，k表示)；
(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍．
解 (1)設直線y＝kx＋1被橢圓截得的線段為AM，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,a2)＋y2＝1，))得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，［2分］
故x1＝0，x2＝－eq \f(2a2k,1＋a2k2)，
因此|AM|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \f(2a2|k|,1＋a2k2)·eq \r(1＋k2).［4分］
(2)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側(cè)的橢圓上有兩個不同的點P，Q，滿足|AP|＝|AQ|.
記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2.［5分］
由(1)知|AP|＝eq \f(2a2|k1|\r(1＋k\\al(2,1)),1＋a2k\\al(2,1))，|AQ|＝eq \f(2a2|k2|\r(1＋k\\al(2,2)),1＋a2k\\al(2,2))，
故eq \f(2a2|k1|\r(1＋k\\al(2,1)),1＋a2k\\al(2,1))＝eq \f(2a2|k2|\r(1＋k\\al(2,2)),1＋a2k\\al(2,2))，
所以(keq \\al(2,1)－keq \\al(2,2))[1＋keq \\al(2,1)＋keq \\al(2,2)＋a2(2－a2)keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)]＝0.［7分］
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋keq \\al(2,1)＋keq \\al(2,2)＋a2(2－a2)keq \\al(2,1)keq \\al(2,2)＝0，
因此eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k\\al(2,1))＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k\\al(2,2))＋1))＝1＋a2(a2－2)，①
因為①式關于k1，k2的方程有解的充要條件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞eq \r(2).
因此，任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1＜a≤eq \r(2)，［10分］
由e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2－1),a)，得0b>0)，由已知可得拋物線的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
2．已知橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4－k)＝1的離心率為eq \f(4,5)，則k的值為( )
A．－21B．21
C．－eq \f(19,25)或21D.eq \f(19,25)或－21
答案 D
解析 當9>4－k>0，即4>k>－5時，
a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，
∴eq \f(\r(5＋k),3)＝eq \f(4,5)，解得k＝eq \f(19,25).
當90)的左，右頂點，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點，若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－eq \f(4,9)，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(4,9)B.eq \f(2,3)C.eq \f(5,9)D.eq \f(\r(5),3)
答案 D
解析 設P(x0，y0)，則eq \f(y0,x0＋a)×eq \f(y0,x0－a)＝－eq \f(4,9)，
化簡得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),\f(4a2,9))＝1，
則eq \f(b2,a2)＝eq \f(4,9)，e＝eq \r(1－?\f(b,a)?2)＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，故選D.
4.2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務已經(jīng)通過了探月工程重大專項領導小組審議通過，正式開始實施．如圖所示，假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq \f(c1,a1)a1c2.
其中正確式子的序號是( )
A．①③B．①④C．②③D．②④
答案 D
解析 觀察圖形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正確；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正確；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0，知eq \f(a1－c1,c1)eq \f(c2,a2)，即④式正確，③式不正確．故選D.
5．(2016·貴州七校聯(lián)考)以橢圓上一點和兩個焦點為頂點的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為( )
A．1B.eq \r(2)C．2D．2eq \r(2)
答案 D
解析 設a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，
依題意知，當三角形的高為b時面積最大，
所以eq \f(1,2)×2cb＝1，bc＝1，
而2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)
(當且僅當b＝c＝1時取等號)，故選D.
*6.(2016·濟南質(zhì)檢)設A1，A2為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點，若在橢圓上存在異于A1，A2的點P，使得eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，其中O為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A．(0，eq \f(1,2)) B．(0，eq \f(\r(2),2))
C．(eq \f(1,2)，1) D．(eq \f(\r(2),2)，1)
答案 D
解析 A1(－a,0)，A2(a,0)，
設P(x，y)，則eq \(PO,\s\up6(→))＝(－x，－y)，eq \(PA2,\s\up6(→))＝(a－x，－y)，
∵eq \(PO,\s\up6(→))·eq \(PA2,\s\up6(→))＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，
∴y2＝ax－x2>0，∴0

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