1．雙曲線定義
平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)2a|F1F2|時，P點(diǎn)不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
【知識拓展】
巧設(shè)雙曲線方程
(1)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(2)過已知兩個點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．( × )
(3)雙曲線方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).( √ )
(5)若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)．( √ )
1．(教材改編)若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \r(5)B．5
C.eq \r(2)D．2
答案 A
解析 由題意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
2．等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq \r(3)，則C的實(shí)軸長為( )
A.eq \r(2)B．2eq \r(2)C．4D．8
答案 C
解析 設(shè)C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1.
∵拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線為x＝－4，聯(lián)立eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,a2)＝1和x＝－4，得A(－4，eq \r(16－a2))，B(－4，－eq \r(16－a2))，
∴|AB|＝2eq \r(16－a2)＝4eq \r(3)，
∴a＝2，∴2a＝4.
∴C的實(shí)軸長為4.
3．(2015·安徽)下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y＝±2x的是( )
A．x2－eq \f(y2,4)＝1B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(y2,4)－x2＝1D．y2－eq \f(x2,4)＝1
答案 C
解析 由雙曲線性質(zhì)知A、B項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，不合題意；C、D項(xiàng)雙曲線焦點(diǎn)均在y軸上，但D項(xiàng)漸近線為y＝±eq \f(1,2)x，只有C符合，故選C.
4．(2016·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1的焦距是________．
答案 2eq \r(10)
解析 由已知，a2＝7，b2＝3，則c2＝7＋3＝10，故焦距為2c＝2eq \r(10).
5．雙曲線eq \f(x2,4)－y2＝1的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于________．
答案 eq \f(2\r(5),5)
解析 雙曲線的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，
一條漸近線方程是y＝eq \f(1,2)x，即x－2y＝0，
則頂點(diǎn)到漸近線的距離d＝eq \f(|2－0|,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
題型一 雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
命題點(diǎn)1 利用定義求軌跡方程
例1 已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為____________________．
答案 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
解析 如圖所示，設(shè)動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.
根據(jù)兩圓外切的條件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因?yàn)閨MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.
又根據(jù)雙曲線的定義，得動點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，
其中a＝1，c＝3，則b2＝8.
故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
命題點(diǎn)2 利用待定系數(shù)法求雙曲線方程
例2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)虛軸長為12，離心率為eq \f(5,4)；
(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；
(3)經(jīng)過兩點(diǎn)P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)．
解 (1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．
由題意知，2b＝12，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4).
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，∴M(0,12)為雙曲線的一個頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,144)－eq \f(x2,25)＝1.
(3)設(shè)雙曲線方程為mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
命題點(diǎn)3 利用定義解決焦點(diǎn)三角形問題
例3 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cs∠F1PF2＝________.
答案 eq \f(3,4)
解析 ∵由雙曲線的定義有|PF1|－|PF2|
＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
則cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(?4\r(2)?2＋?2\r(2)?2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).
引申探究
1．本例中將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，則△F1PF2的面積是多少？
解 不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，
則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(1,2)，所以|PF1|·|PF2|＝8，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝2eq \r(3).
2．本例中將條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0”，則△F1PF2的面積是多少？
解 不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
由于eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→))，
所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
所以|PF1|·|PF2|＝4，
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.
思維升華 (1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；
(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯(lián)系．
(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，再由條件求出λ的值即可．
(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1的左，右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|＋|AF2|的最小值為( )
A.eq \r(37)＋4B.eq \r(37)－4
C.eq \r(37)－2eq \r(5)D.eq \r(37)＋2eq \r(5)
(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為( )
A.eq \f(4,3)B.eq \f(5,3)
C.eq \f(9,4)D．3
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由題意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，
要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，
當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時，取得最小值，
則|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝eq \r(37)，
∴|AP|＋|AF2|的最小值為|AP|＋|AF1|－2a＝eq \r(37)－2eq \r(5).
故選C.
(2)不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝eq \f(3b＋2a,2)，r2＝eq \f(3b－2a,2).
又r1·r2＝eq \f(9,4)ab，所以eq \f(3b＋2a,2)·eq \f(3b－2a,2)＝eq \f(9,4)ab，解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(負(fù)值舍去)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(?\f(b,a)?2＋1)eq \r(?\f(4,3)?2＋1)＝eq \f(5,3)，故選B.
題型二 雙曲線的幾何性質(zhì)
例4 (1)(2016·浙江)已知橢圓C1：eq \f(x2,m2)＋y2＝1(m＞1)與雙曲線C2：eq \f(x2,n2)－y2＝1(n＞0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則( )
A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e2＜1
(2)(2015·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點(diǎn)O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為________．
答案 (1)A (2)eq \f(3,2)
解析 (1)由題意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，
又∵m＞0，n＞0，故m＞n.
又∵eeq \\al(2,1)·eeq \\al(2,2)＝eq \f(m2－1,m2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n2＋1,n2＋2)·eq \f(n2＋1,n2)＝eq \f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq \f(1,n4＋2n2)＞1，∴e1·e2＞1.
(2)由題意，不妨設(shè)直線OA的方程為y＝eq \f(b,a)x，直線OB的方程為y＝－eq \f(b,a)x.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(b,a)x，,x2＝2py，))得x2＝2p·eq \f(b,a)x，
∴x＝eq \f(2pb,a)，y＝eq \f(2pb2,a2)，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2))).
設(shè)拋物線C2的焦點(diǎn)為F，則Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，
∴kAF＝eq \f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a)).
∵△OAB的垂心為F，∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
∴eq \f(\f(2pb2,a2)－\f(p,2),\f(2pb,a))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＝－1，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4).
設(shè)C1的離心率為e，則e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4).
∴e＝eq \f(3,2).
思維升華 雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k＝±eq \f(b,a)滿足關(guān)系式e2＝1＋k2.
(2016·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，則E的離心率為( )
A.eq \r(2)B.eq \f(3,2)C.eq \r(3)D．2
答案 A
解析 離心率e＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)，由正弦定理得e＝eq \f(|F1F2|,|MF2|－|MF1|)＝eq \f(sin∠F1MF2,sin∠MF1F2－sin∠MF2F1)＝eq \f(\f(2\r(2),3),1－\f(1,3))＝eq \r(2).故選A.
題型三 直線與雙曲線的綜合問題
例5 (2016·蘭州模擬)已知橢圓C1的方程為eq \f(x2,4)＋y2＝1，雙曲線C2的左，右焦點(diǎn)分別是C1的左，右頂點(diǎn)，而C2的左，右頂點(diǎn)分別是C1的左，右焦點(diǎn)．
(1)求雙曲線C2的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋eq \r(2)與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>2(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍．
解 (1)設(shè)雙曲線C2的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)將y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0.
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點(diǎn)，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3k2≠0，,Δ＝?－6\r(2)k?2＋36?1－3k2?＝36?1－k2?>0，))
∴k2≠eq \f(1,3)且k22，得x1x2＋y1y2>2，
∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)>0，
解得eq \f(1,3)1，,－\r(2)0)的一個焦點(diǎn)是F2(2,0)，且b＝eq \r(3)a.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)F2的直線l的一個法向量為(m,1)，當(dāng)直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍，并證明AB中點(diǎn)M在曲線3(x－1)2－y2＝3上；
(3)設(shè)(2)中直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
解 (1)c＝2，c2＝a2＋b2，
∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，
∴雙曲線C的方程為x2－eq \f(y2,3)＝1.
(2)l：m(x－2)＋y＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－mx＋2m，,x2－\f(y2,3)＝1，))
得(3－m2)x2＋4m2x－4m2－3＝0.
由Δ>0，得4m4＋(3－m2)(4m2＋3)>0，
12m2＋9－3m2>0，即m2＋1>0恒成立．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝eq \f(4m2,m2－3)，x1x2＝eq \f(4m2＋3,m2－3).
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2>0，,x1·x2>0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4m2,m2－3)>0，,\f(4m2＋3,m2－3)>0，))
∴m2>3，∴m∈(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)．
∵eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2m2,m2－3)，eq \f(y1＋y2,2)＝－eq \f(2m3,m2－3)＋2m＝－eq \f(6m,m2－3)，
∴AB的中點(diǎn)M(eq \f(2m2,m2－3)，－eq \f(6m,m2－3))，
∵3(eq \f(2m2,m2－3)－1)2－eq \f(36m2,?m2－3?2)
＝3×eq \f(?m2＋3?2,?m2－3?2)－eq \f(36m2,?m2－3?2)
＝3×eq \f(m4＋6m2＋9－12m2,?m2－3?2)＝3，
∴M在曲線3(x－1)2－y2＝3上．
(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使∠AOB為銳角，
則eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))>0，
∴x1x2＋y1y2>0.
∵y1y2＝(－mx1＋2m)(－mx2＋2m)
＝m2x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2，
∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2)＋4m2>0，
∴(1＋m2)(4m2＋3)－8m4＋4m2(m2－3)>0，
即7m2＋3－12m2>0，∴m23矛盾，∴不存在實(shí)數(shù)m，使得∠AOB為銳角．
標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a、b、c的關(guān)系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

相關(guān)學(xué)案

備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第八章平面解析幾何第6講雙曲線：

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