1．不等式證明的方法
(1)比較法：
①作差比較法：
知道a>b?a－b>0，a0即可，這種方法稱為作差比較法．
②作商比較法：
由a>b>0?eq \f(a,b)>1且a>0，b>0，因此當a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明eq \f(a,b)>1即可，這種方法稱為作商比較法．
(2)綜合法：
從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關性質或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法．即“由因導果”的方法．
(3)分析法：
從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法．即“執(zhí)果索因”的方法．
(4)反證法和放縮法：
①先假設要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法．
②在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法．
(5)數(shù)學歸納法：
一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：
①證明當n＝n0時命題成立；
②假設當n＝k (k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立．
在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學歸納法．
2．幾個常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代數(shù)形式：設a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當且僅當ad＝bc時，等號成立)．
②柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立．
③柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＋eq \r(?x2－x3?2＋?y2－y3?2)≥eq \r(?x1－x3?2＋?y1－y3?2).
④柯西不等式的一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0 (i＝1,2，…，n)或存在一個數(shù)k，使得ai＝kbi (i＝1,2，…，n)時，等號成立．
(2)算術—幾何平均不等式
若a1，a2，…，an為正數(shù)，則eq \f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq \r(n,a1a2…an)，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立．
1．設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求eq \r(m2＋n2)的最小值．
解 根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，eq \r(m2＋n2)的最小值為eq \r(5).
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)的最大值．
解 (eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2＝(1×eq \r(a)＋1×eq \r(b)＋1×eq \r(c))2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
當且僅當a＝b＝c＝eq \f(1,3)時，等號成立．
∴(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))2≤3.
故eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)的最大值為eq \r(3).
3．設x>0，y>0，若不等式eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(λ,x＋y)≥0恒成立，求實數(shù)λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，
∴原不等式可化為－λ≤(eq \f(1,x)＋eq \f(1,y))(x＋y)＝2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y).
∵2＋eq \f(y,x)＋eq \f(x,y)≥2＋2eq \r(\f(y,x)·\f(x,y))＝4，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立．
∴eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(?\f(1,x)＋\f(1,y)??x＋y?))min＝4，即－λ≤4，λ≥－4.
題型一 用綜合法與分析法證明不等式
例1 (1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3；
(2)設a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥eq \r(3).
證明 (1)因為x>0，y>0，x－y>0，
2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)－2y＝2(x－y)＋eq \f(1,?x－y?2)
＝(x－y)＋(x－y)＋eq \f(1,?x－y?2)
≥3eq \r(3,?x－y?2\f(1,?x－y?2))＝3，
所以2x＋eq \f(1,x2－2xy＋y2)≥2y＋3.
(2)因為a，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥eq \r(3)，
只需證明(a＋b＋c)2≥3.
即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤eq \f(a2＋b2,2)＋eq \f(b2＋c2,2)＋eq \f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等號成立)成立．
所以原不等式成立．
思維升華 用綜合法證明不等式是“由因導果”，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以增加解題思路，開闊視野．
設a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：
(1)ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)；(2)eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
證明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq \f(1,3).
(2)因為eq \f(a2,b)＋b≥2a，eq \f(b2,c)＋c≥2b，eq \f(c2,a)＋a≥2c，
故eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥a＋b＋c.
所以eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)≥1.
題型二 放縮法證明不等式
例2 若a，b∈R，求證：eq \f(|a＋b|,1＋|a＋b|)≤eq \f(|a|,1＋|a|)＋eq \f(|b|,1＋|b|).
證明 當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．
當|a＋b|≠0時，
由01；
②利用函數(shù)的單調性；
③真分數(shù)性質“若0

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