
1.掌握具有限制條件的排列、組合問題的解決方法.2.理解排列、組合中的分組、分配等問題.
二、排列、組合的綜合應用
問題1 把3個蘋果平均分成三堆共有幾種分法?為什么?
提示 共1種分法.因為三堆無差異.
問題2 若把3個不同的蘋果分給三個人,共有幾種方法?
角度1 不同元素分組、分配問題例1 有6本不同的書,按下列分配方式分配,則共有多少種不同的分配方式?(1)分成三組,每組分別有1本,2本,3本;
解 由于甲、乙、丙是不同的三個人,在(1)問的基礎上,還應考慮再分配問題.因此,分配方式共有
(2)分給甲、乙、丙三人,其中一個人1本,一個人2本,一個人3本;
(3)分成三組,每組都是2本;
(4)分給甲、乙、丙三人,每人2本.
角度2 相同元素分配問題例2 將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子,求下列方法的種數(shù).(1)每個盒子都不空;
(2)恰有一個空盒子.
延伸探究1.若將例題改為“已知不定方程x1+x2+x3+x4=12,求不定方程正整數(shù)解的組數(shù)”.
2.若求不定方程自然數(shù)解的組數(shù),如何求解?
跟蹤訓練1 (1)把9個完全相同的口罩分給6名同學,每人至少一個,不同的分法有_____種.
(2)某社區(qū)服務站將5位志愿者分成3組,其中兩組各2人,另一組1人,分別去三個不同的社區(qū)宣傳腎臟日的主題:“盡快行動,盡快預防”,則不同的分配方案有_____種(用數(shù)字作答).
角度1 相鄰、相間及特殊元素(位置)問題例3 (1)互不相同的5盆菊花,其中2盆為白色,2盆為黃色,1盆為紅色,現(xiàn)要擺成一排,要求紅色菊花擺放在正中間,白色菊花不相鄰,黃色菊花也不相鄰,共有擺放方法
(2)有五張卡片,它們的正、反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù),共可組成多少個不同的三位數(shù)?
解 方法一 (直接法)從0與1兩個特殊值著眼,可分三類:
綜上所述,共有不同的三位數(shù)
角度2 選排問題例4 有5個男生和3個女生,從中選出5人擔任5門不同學科的科代表,求分別符合下列條件的選法數(shù).(1)有女生但人數(shù)必須少于男生;
解 先選后排,5人可以是2女3男,也可以是1女4男,
(2)某女生一定擔任語文科代表;
(3)某男生必須包括在內,但不擔任語文科代表;
(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數(shù)學科代表.
跟蹤訓練2 (1)有七名同學站成一排照畢業(yè)紀念照,其中甲必須站在正中間,并且乙、丙兩位同學要站在一起,則不同的站法有A.240種 B.192種C.96種 D.48種
(2)某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,則不同的傳遞方法共有____種.(用數(shù)字作答)
1.登山運動員10人,平均分為兩組,其中熟悉道路的有4人,每組都需要2人,那么不同的分配方法種數(shù)是A.30 B.60 C.120 D.240
2.從4男3女志愿者中選1女2男分別到A,B,C三地去執(zhí)行任務,則不同的選派方法有A.36種 B.108種 C.210種 D.72種
3.中國古代的五經(jīng)是指:《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》,現(xiàn)甲、乙、丙、丁、戊5名同學各選一本書作為課外興趣研讀,若甲、乙都沒有選《詩經(jīng)》,乙也沒選《春秋》,則5名同學所有可能的選擇有A.18種 B.24種 C.36種 D.54種
4.用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有______個.(用數(shù)字作答)
故符合題意的四位數(shù)一共有960+120=1 080(個).
1.“中國夢”的英文翻譯為“China Dream”,其中China又可以簡寫為CN,從“CN Dream”中取6個不同的字母排成一排,含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有A.360種 B.480種 C.600種 D.720種
2.安排3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的安排方式共有A.12種 B.18種 C.24種 D.36種
3.有5本不同的教科書,其中語文書2本,數(shù)學書2本,物理書1本.若將其并排擺放在書架的同一層上,則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是A.24 B.48 C.72 D.96
4.北京《財富》全球論壇期間,某高校有14名志愿者參加接待工作,若每天早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,則開幕式當天不同的排班種數(shù)為
5.某龍舟隊有9名隊員,其中3人只會劃左舷,4人只會劃右舷,2人既會劃左舷又會劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽,則不同的選派方法共有A.56種 B.68種 C.74種 D.92種
6.(多選)將四個不同的小球放入三個分別標有1,2,3號的盒子中,不允許有空盒子的放法,下列結論正確的有
解析 根據(jù)題意知,四個不同的小球放入三個分別標有1,2,3號的盒子中,且沒有空盒,則三個盒子中有1個放2個球,剩下的2個盒子中各放1個,有兩種解法:方法一 分2步進行分析:
方法二 分2步進行分析:
7.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上,若每級臺階最多站2人,同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法種數(shù)是________.(用數(shù)字作答)
8.某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有_____種.
9.平面上有9個點,其中有4個點共線,除此外無3點共線.(1)這9個點,可確定多少條不同的直線?
解 方法一 (直接法)共線的4點記為A,B,C,D.第一類:A,B,C,D確定1條直線;
(2)以這9個點中的3個點為頂點,可以確定多少個三角形?
(3)以這9個點中的4個點為頂點,可以確定多少個四邊形?
10.將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中.(1)有多少種放法?
解 每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個,將小球一個一個放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(種)放法.
(2)每盒至多1個球,有多少種放法?
(3)恰好有1個空盒,有多少種放法?
(4)每個盒內放1個球,并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同,有多少種放法?
(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球,恰有一個空盒,有多少種放法?
(6)把4個不同的小球換成20個相同的小球,要求每個盒內的球數(shù)不少于它的編號數(shù),有多少種放法?
11.若自然數(shù)n使得n+(n+1)+(n+2)不產(chǎn)生十進位現(xiàn)象,則稱n為“良數(shù)”.例如:32是“良數(shù)”,因為32+33+34不產(chǎn)生十進位現(xiàn)象;23不是“良數(shù)”,因為23+24+25產(chǎn)生十進位現(xiàn)象.那么,小于1 000的“良數(shù)”的個數(shù)為A.27 B.36 C.39 D.48
解析 如果n是良數(shù),則n的個位數(shù)字只能是0,1,2,非個位數(shù)字只能是0,1,2,3(首位不為0),而小于1 000的數(shù)至多三位,一位數(shù)的良數(shù)有0,1,2,共3個;二位數(shù)的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取1,2,3,共有3×3=9(個);三位數(shù)的良數(shù)個位可取0,1,2,十位可取0,1,2,3,百位可取1,2,3,共有3×4×3=36(個).綜上,小于1 000的“良數(shù)”的個數(shù)為3+9+36=48.
12.某企業(yè)有4個分廠,新培訓了6名技術人員,將這6名技術人員分配到各分廠,要求每個分廠至少1人,則不同的分配方案種數(shù)為________.
解析 先把6名技術人員分成4組,每組至少一人.若4個組的人數(shù)按3,1,1,1分配,
若4個組的人數(shù)為2,2,1,1,
13.用1,2,3,4這四個數(shù)字組成無重復數(shù)字的四位數(shù),其中恰有一個偶數(shù)夾在兩個奇數(shù)之間的四位數(shù)的個數(shù)為_____.
14.將8個相同的小球放入5個編號為1,2,3,4,5的盒子,每個盒子都不空的方法數(shù)為____,恰有一個空盒子的方法數(shù)為_____.
15.(多選)6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換,任意兩位同學之間最多交換一次,進行交換的兩位同學互贈一份紀念品.已知6位同學之間共進行了13次交換,則收到4份紀念品的同學人數(shù)可能為A.1 B.2 C.3 D.4
16.已知10件不同的產(chǎn)品中有4件是次品,現(xiàn)對它們進行測試,直至找出所有的次品為止.(1)若恰在第5次測試才測試到第1件次品,第10次才找到最后一件次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?
(2)若恰在第5次測試后就找出了所有次品,則這樣的不同測試方法數(shù)是多少?
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