第五節(jié)　解三角形的實際應(yīng)用考試要求：能用正弦定理、余弦定理解決簡單的實際問題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1))．2．方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖(2))．3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖(3))．(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分方位角與方向角(1)方位角：從正北方向起按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖(4)，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖(4)，i為坡度)．坡度又稱為坡比．5．解三角形應(yīng)用題的步驟二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＝β．????????????? ????????????? (　√　)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為． (　×　)(3)若點P在點Q的北偏東44°，則點Q在點P的東偏北46°． ????????????? ????????????? (　×　)(4)方位角大小的范圍是[0，π)，方向角大小的范圍是． ????????????? ????????????? (　×　)2．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(　　)A．北偏東10°   B．北偏西10°C．南偏東80°   D．南偏西80°D　解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°．3．如圖，設(shè)點A，B在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點C，測出A，C兩點間的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點間的距離為(　　)A． m   B．25 mC．50 m   D．50 mC　解析：在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得＝，即＝，所以AB＝50(m)．故選C．4．如圖，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點測得點A的仰角分別為60°，30°，則點A離地面的高度AB＝________．a　解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a．5．如圖，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在點C處測得塔頂A的仰角是45°，在點D處測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，則電視塔的高度為________．40 m　解析：設(shè)電視塔的高度為x m，則BC＝x，BD＝x．在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故電視塔的高度為40 m．考點1　解三角形的實際應(yīng)用——應(yīng)用性考向1　測量距離問題(2021·寧德質(zhì)檢)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞．若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點間的距離)，現(xiàn)取兩點C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________．80　解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°．由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°．由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，解得AB＝80，故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為80．測量距離問題的2個策略(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．考向2　測量高度問題如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角．小王沿河岸向前走了1 200 m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為_________m．600　解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m)．在△ACD中，因為tan∠DAC＝＝，所以DC＝600×＝600(m)．求解高度問題的基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入一個可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識求出該高度．考向3　測量角度問題如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2－2)n mile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4 n mile到達(dá)海島C．(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。?/span>解：(1)由題意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4．根據(jù)余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，所以AC＝2．即AC的長為2 n mile．(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠CAB＝＝＝，所以∠CAB＝45°．測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．[提醒]方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．1．如圖，甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛．若甲船的速度是乙船的 倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東________(填角度)的方向前進(jìn)．30°　解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝．由正弦定理，得＝＝，所以sin∠BAC＝．因為0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°．所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進(jìn)．2．如圖所示，為測量一棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60 m，則樹的高度為________m．30＋30　解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝．由正弦定理得＝，所以PB＝＝30(＋)，所以樹的高度為PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．考點2　解三角形的綜合應(yīng)用——綜合性考向1　與平面幾何相結(jié)合(2022·臨沂一模)在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝，求△ACD面積的最大值．解：因為四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，可得∠B＋∠D＝π．因為∠B＝2∠D，所以∠B＝，∠D＝．在△ABC中，因為∠ACB＝，所以∠BAC＝π－－＝．由正弦定理得＝，所以AC＝＝＝2．在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，即24＝AD2＋CD2－AD·CD≥2AD·CD－AD·CD＝AD·CD，當(dāng)且僅當(dāng)AD＝CD時，取等號，即AD·CD≤24，所以S△ACD＝AD·CDsin D＝AD·CD≤6，即△ACD面積的最大值為6．1．三角形面積計算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．2．幾何計算問題要注意(1)根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示．(2)選擇在某個三角形中運用正弦定理或余弦定理．考向2　與三角函數(shù)結(jié)合問題(2021·煙臺一模)將函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x的圖象上的所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)的圖象．(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sincos＝，c＝g，b＝2，求△ABC的面積．解：(1) f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，f(x)的圖象向右平移個單位長度得到y＝2sin的圖象，橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變)得到y＝2sin的圖象，所以g(x)＝2sin，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)．(2)由(1)知，c＝g＝2sin＝2，因為sincos＝cos2＝，所以cos＝±．又因為B∈(0，π)，所以B＋∈，當(dāng)cos＝時，B＋＝，B＝，此時由余弦定理可知，4＋a2－2×2×acos＝12，解得a＝＋(負(fù)值已舍去)，所以S△ABC＝×2×(＋)×sin＝．當(dāng)cos＝－時，B＋＝，B＝，此時由勾股定理可得，a＝＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2．綜上，△ABC的面積為或2．解三角形與三角恒等變換問題的注意點(1)熟練記憶正、余弦定理及其適用類型、三角形內(nèi)角和定理．(2)熟練使用兩角和與差的有關(guān)三角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式．1．(2022·株洲檢測)如圖所示，在四邊形ABCD中，tan∠BAD＝－3，tan∠BAC＝．(1)求∠DAC的大小；(2)若DC＝2，求△ADC周長的最大值．解：(1)因為∠DAC＝∠BAD－∠BAC，且tan∠BAD＝－3，tan∠BAC＝，所以tan∠DAC＝tan(∠BAD－∠BAC)＝＝＝．因為∠DAC∈(0，π)，所以∠DAC＝．(2)由正弦定理得＝＝＝，所以AD＝sin∠ACD，AC＝sin∠ADC，所以△ADC的周長為2＋AD＋AC＝2＋·(sin∠ACD＋sin∠ADC)＝2＋＝2＋＝2＋4sin．因為0<∠ACD<，所以<∠ACD＋<，所以<sin≤1，所以△ADC的周長的最大值為2＋4×1＝6．2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，(2a－c)cos B－bcos C＝0．(1)求角B的大??；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin xcos xcos B－cos 2x，求函數(shù)f(x)的最大值及當(dāng)f(x)取得最大值時x的值．解：(1)因為(2a－c)cos B－bcos C＝0，所以2acos B－ccos B－bcos C＝0，由正弦定理得2sin Acos B－sin Ccos B－cos Csin B＝0，即2sin Acos B－sin(C＋B)＝0．因為C＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sin A．所以sin A(2cos B－1)＝0．在△ABC中，sin A≠0，所以cos B＝．又因為B∈(0，π)，所以B＝．(2)因為B＝，所以f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin．令2x－＝2kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，即當(dāng)x＝kπ＋(k∈Z)時，f(x)取得最大值1．

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