2.5.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1.一艘船從點(diǎn)A出發(fā),以2 km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,船實(shí)際行駛速度的大小為4 km/h,則河水的流速的大小為(　　)A.1 km/h B. km/h C.2 km/h D.2 km/h解析:設(shè)河流的速度為x km/h,河流的速度方向與河岸平行,則x2+(2)2=42,解得x=2.答案:C2.兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M,N的位移分別為sM=(4,-3),sN=(-5,-12),則sM在sN方向上的投影為(　　)A.(-1,-15) B.(-20,36)C. D.解析:sM·sN=4×(-5)+(-3)×(-12)=16,|sM|=5,|sN|=13,則sM在sN方向上的投影為.答案:C3.已知作用在點(diǎn)A的三個(gè)力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),則合力F=F1+F2+F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)解析:F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),設(shè)合力F的終點(diǎn)為P(x,y),則+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).答案:A4.已知向量a表示“向東航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,則向量a+b表示(　　)A.向東北方向航行2 kmB.向北偏東30°方向航行2 kmC.向北偏東60°方向航行2 kmD.向東北方向航行(1+) km解析:a與b的夾角為90°,則a·b=0,則|a+b|===2,a·(a+b)=|a|2+a·b=1.設(shè)a與a+b的夾角為θ,則cos θ=,∴θ=60°,即a+b表示向北偏東30°方向航行2 km.答案:B5.一條河寬為800 m,一船從A處出發(fā)垂直到達(dá)河正對(duì)岸的B處,船速為20 km/h,水速為12 km/h,則船到達(dá)B處所需時(shí)間為　　　　　min. 解析:∵v實(shí)際=v船+v水=v1+v2,|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,∴|v實(shí)際|===16(km/h).∴所需時(shí)間t==0.05(h)=3(min).∴該船到達(dá)B處所需的時(shí)間為3 min.答案:36.已知一個(gè)物體在大小為6 N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100 m,且F與s的夾角為60°,則力F所做的功W=　　　　　 J. 解析:W可以看成向量F與向量s的數(shù)量積,則W=F·s=|F||s|cos 60°=6×100×=300(J).答案:3007.用兩條成120°夾角的等長的繩子懸掛一個(gè)燈箱,如圖,已知燈箱的重為10 N,則每根繩子的拉力大小為                                          .  解析:結(jié)合圖形,由向量加法的平行四邊形法則,又繩子等長,故平行四邊形為菱形,知拉力大小為10 N.答案:10 N8.點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度向量v=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同,且每秒移動(dòng)的距離為|v|個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　　　　　　　. 解析:由題意知,=5v=(20,-15),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,-5).答案:(10,-5)9.如圖,在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體,繩子與鉛垂方向的夾角為θ,繩子所受到的拉力為F1. 求:(1)|F1|,|F2|隨θ角的變化而變化的情況;(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí),θ角的取值范圍.解:(1)由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則得-G=F1+F2,|F1|=,|F2|=|G|tan θ,當(dāng)θ從0°趨向于90°時(shí),|F1|,|F2|都逐漸增大.(2)令|F1|=,由|F1|≤2|G|得cos θ≥.又因?yàn)?/span>0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.能力提升1.速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1與v2的夾角為60°,則v1與v2的合速度的大小是(　　)A.2 m/s B.10 m/sC.12 m/s D.2 m/s解析:|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos 60°+144=364.∴|v|=2(m/s).答案:D2.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1,F2,F3(單位:N)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分別為2和4,則F3的大小為(　　)A.2 B.2 C.2 D.6解析:∵F1+F2+F3=0,∴F3=-F1-F2,∴|F3|=|-F1-F2|====2.答案:A3.一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1,F2,F3的作用,沿北偏東45°方向移動(dòng)了8 m.已知|F1|=2 N,方向?yàn)楸逼珫|30°,|F2|=4 N,方向?yàn)楸逼珫|60°,|F3|=6 N,方向?yàn)楸逼?0°,則這三個(gè)力的合力所做的功為(　　)A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J解析:如圖,建立直角坐標(biāo)系,則F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),則F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).又位移s=(4,4),故合力F所做的功為W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J),故選D.答案:D4.河水的流速為2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度沿垂直于對(duì)岸的方向行駛,則小船在靜水中的速度大小為　　　　　m/s. 解析:設(shè)河水的流速為v1,小船在靜水中的速度為v2,船的實(shí)際速度為v,則v=v1+v2,|v1|=2 m/s,|v|=10 m/s.所以|v2|=|v-v1|==2(m/s).答案:25.已知向量e1=(1,0),e2=(0,1).今有動(dòng)點(diǎn)P,從P0(1,2)開始沿著與向量e1+e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度大小為|e1+e2|;另一動(dòng)點(diǎn)Q,從Q0(-2,-1)開始沿著與向量3e1+2e2相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度大小為|3e1+2e2|.設(shè)P,Q在時(shí)刻t=0時(shí)分別在P0,Q0處,則當(dāng)時(shí),t=　　　　　. 解析:=(-3,-3),設(shè)經(jīng)過t后,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1+t,2+t),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3t-2,2t-1),所以=(2t-3,t-3).因?yàn)?/span>,所以-3(2t-3)+(-3)(t-3)=0,所以t=2.答案:26.已知兩恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0),試求:(1)F1,F2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功;(2)F1,F2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.解:=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)F1對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功F1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99,F2對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功F2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3.(2)合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功F·=(F1+F2)·=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102.7.★在風(fēng)速為75()km/h的西風(fēng)中,飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行,求沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向.解:設(shè)向量a表示風(fēng)速,b表示無風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度,c表示有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度,則c=a+b.如圖,作向量=a,=b,=c,則四邊形OACB為平行四邊形.過C,B分別作OA的垂線,交AO的延長線于D,E點(diǎn).由已知得,||=75(),||=150,∠COD=45°.在Rt△COD中,OD=OCcos 45°=75,CD=75.又ED=BC=OA=75(),∴OE=OD+ED=75.又BE=CD=75,∴在Rt△OEB中,OB==150,sin∠BOE=,∴||=150,∠BOE=30°.故沒有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150 km/h,航向?yàn)槲髌?/span>30°. 

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修4電子課本

2.5 平面向量應(yīng)用舉例

版本： 人教版新課標(biāo)A

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