第二章檢測(B)(時(shí)間:90分鐘　滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知向量a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),則(b·c)a=(　　)A.(-2,4) B.(-10,-20)C.(2,-4) D.(10,20)解析:∵a=(1,2),b=(3,-1),c=(-2,4),∴(b·c)a=-10a=(-10,-20).答案:B2.已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),|OC|=2,且∠AOC=,設(shè)=λ(λ∈R),則λ的值為(　　)A.1 B. C. D.解析:過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E.由∠AOC=,得|OE|=|CE|=2,所以=λ,即=λ,所以(-2,0)=λ(-3,0),故λ=.答案:D3.設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上,且||=2||,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)A.(3,1) B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1) D.無數(shù)多個(gè)解析:設(shè)P(x,y),由||=2||得=2=-2.∵=(2,2),=(x-2,y),∴由=2,得(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,得P(3,1).由=-2,得(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1,得P(1,-1).答案:C4.在△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上,且滿足AP=2PM,則·()等于(　　)A.- B.- C. D.解析:由題意可知點(diǎn)P是△ABC的重心,∴=0,∴·()=-=-=-.答案:A5.已知不共線,=m=n,其中mn≠1.設(shè)點(diǎn)P是直線BN,CM的交點(diǎn),則(　　)A.B.C.D.解析:根據(jù)題中所給的條件,可知=λ+(1-λ)=λ+(1-λ)n=μ+(1-μ)=μ+(1-μ)m,根據(jù)一個(gè)向量在同一組基底下分解出的坐標(biāo)是相等的,得到解得λ=,μ=,代入可得,故選A.答案:A6.在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且=2,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1-x),則x的取值范圍是(　　)A. B. C. D.解析:由=x+(1-x),得=x(),∴=x=-2x.又點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),∴0<-2x<1,∴-<x<0.答案:C7.已知菱形ABCD的邊長為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若=1,=-,則λ+μ=(　　)A. B. C. D.解析:因?yàn)榱庑蔚倪呴L為2,所以BE=λBC=2λ,DF=μDC=2μ,從而CE=2-2λ,CF=2-2μ.由=1,得()·()==2×2×cos 120°+2·(2μ)+2λ·2+2λ·2μ·cos 120°=-2+4(λ+μ)-2λμ=1,所以4(λ+μ)-2λμ=3.由=-,得(2-2λ)·(2-2μ)·=-,所以λμ=λ+μ-,因此有4(λ+μ)-2(λ+μ)+=3,解得λ+μ=,故選C.答案:C8.在△ABC中,已知向量滿足=0,且,則△ABC為(　　)A.等邊三角形  B.直角三角形C.等腰非等邊三角形 D.三邊均不相等的三角形解析:因?yàn)?/span>分別為方向上的單位向量,故由=0可得BC⊥AM(M是∠BAC的平分線與BC的交點(diǎn)),所以△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,又,所以∠BAC=60°,所以△ABC為等邊三角形.答案:A9.若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,a與b的起點(diǎn)相同,已知a,tb,(a+b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在同一條直線上,則t=(　　)A. B. C. D.1解析:設(shè)=a,=tb,(a+b)=.∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴=1,t=.答案:B10.已知點(diǎn)A,B,C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn),點(diǎn)O不在l上,且實(shí)數(shù)x滿足x2+x=0,則由實(shí)數(shù)x組成的集合為(　　)A.? B.{-1}C. D.{-1,0}解析:由于,又,則存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,則=λ()=λ-λ,所以有λ-λ=0.因?yàn)?/span>不共線,又x2+x=0,所以由于是任意非零向量,則實(shí)數(shù)λ是任意實(shí)數(shù),則等式λ2=λ不一定成立,所以實(shí)數(shù)x滿足x2+x=0的集合為?.答案:A二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11.兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1,F2,當(dāng)它們的夾角為90°時(shí),合力的大小為20 N,則當(dāng)它們的夾角為120°時(shí),合力的大小為　　　　　N. 解析:當(dāng)兩個(gè)力的夾角為90°時(shí),合力的大小為20 N,根據(jù)平行四邊形法則,知|F1|=|F2|=10 N.(如圖①)當(dāng)兩個(gè)力的夾角為120°時(shí),如圖②,根據(jù)平行四邊形法則知,合力的大小為10 N.答案:1012.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,),C(3,0),動(dòng)點(diǎn)D滿足||=1,則||的最大值是　　　　　. 解析:設(shè)動(dòng)點(diǎn)D(x,y),則由||=1,得(x-3)2+y2=1,D點(diǎn)軌跡為以(3,0)為圓心,半徑為1的圓.又=(x-1,y+),所以||=,故||的最大值為點(diǎn)(3,0)與(1,-)之間的距離與1的和,即+1=1+.答案:1+13.如圖,直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E,F兩點(diǎn),且與對角線AC交于點(diǎn)K,其中,=λ,則λ的值為　　　　　. 解析:∵,∴=2.由向量加法的平行四邊形法則可知,,∴=λ=λ()=λ+2λ.∵E,F,K三點(diǎn)共線,∴λ+2λ=1,∴λ=.答案:14.如圖,點(diǎn)A,B是圓O上的兩點(diǎn),∠AOB=60°,點(diǎn)D是圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),若=μ+λ,則μ與λ的關(guān)系是　　　　　　　　　　. 解析:設(shè)圓的半徑為r,則OA=OB=OD=r.∵=μ+λ,∴=(μ+λ)2,即r2=μ2r2+2λμr2·cos 60°+λ2r2,整理得μ2+λ2+λμ=1.答案:μ2+λ2+λμ=115.如圖,在平面斜坐標(biāo)系xOy中,∠xOy=60°,平面上任一點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若=xe1+ye2(其中e1,e2分別為與x軸、y軸正方向相同的單位向量),則點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x,y).若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(3,-4),則點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|PO|=　　　　　. 解析:||2=(3e1-4e2)2=9|e1|2-24e1·e2+16|e2|2=9-24cos 60°+16=13,所以||=,所以點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離|PO|=.答案:三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16.(8分)在四邊形ABCD(A,B,C,D為順時(shí)針排列)中,=(6,1),=(-2,-3),若,且,求的坐標(biāo).解:設(shè)=(x,y),則=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2).因?yàn)?/span>,所以y(x+4)-x(y-2)=0,整理得x=-2y.①=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=(x-2,y-3).又因?yàn)?/span>,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,整理得x2+4x+y2-2y-15=0,②由①②得所以的坐標(biāo)為(2,-1)或(-6,3).17.(8分)已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=.(1)求證:a⊥b;(2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb滿足x⊥y,試求此時(shí)的最小值.(1)證明∵a=(cos(-θ),sin(-θ))=(cos θ,-sin θ),b==(sin θ,cos θ),∴a·b=(cos θ,-sin θ)·(sin θ,cos θ)=cos θsin θ-sin θcos θ=0.∴a⊥b.(2)解由x⊥y,得x·y=0,即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0,∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0.又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t,∴=t2+t+3=.故當(dāng)t=-時(shí),有最小值.18.(9分)如圖,在△OAB中,,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b.(1)用a,b表示;(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過點(diǎn)M,設(shè)=p=q,求證:=1.(1)解設(shè)=ma+nb,則=(m-1)a+nb,=-a+b.∵點(diǎn)A,M,D共線,∴共線,∴(m-1)-(-1)×n=0,∴m+2n=1.①而a+nb,=-a+b.∵C,M,B共線,∴共線,∴-n-=0.∴4m+n=1.②聯(lián)立①②可得m=,n=,∴a+b.(2)證明a+b,=-pa+qb,∵共線,∴q-×(-p)=0.∴q+p=pq,即=1.19.(10分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=x+a與圓x2+y2=4分別交于A,B兩點(diǎn).若=-2,求實(shí)數(shù)a的值.解:由消去y,得2x2+2ax+a2-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程2x2+2ax+a2-4=0的解.由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-a,x1x2=.所以=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+a)(x2+a)=2x1x2+a(x1+x2)+a2=a2-4-a2+a2=-2,所以a2=2,即a=±.20.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)滿足.(1)求證:A,B,C三點(diǎn)共線;(2)求的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∈,f(x)=|的最小值為-,求實(shí)數(shù)m的值.(1)證明∵,∴),即.∴.又AC,AB有公共點(diǎn)A,∴A,B,C三點(diǎn)共線.(2)解由(1)得),∴,∴=2,∴=2.(3)解=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).∵x∈,∴cos x∈[0,1].∴||=|cos x|=cos x.∵=2,∴=2().∴3=2=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),∴.∴f(x)=|=1+cos x+cos2x-cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x∈[0,1].當(dāng)m<0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cos x=0時(shí),f(x)取得最小值1,與已知最小值為-相矛盾,即m<0不合題意;當(dāng)0≤m≤1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cos x=m時(shí),f(x)取得最小值1-m2.由1-m2=-,得m=±(舍去);當(dāng)m>1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時(shí),f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=>1.綜上所述,實(shí)數(shù)m的值為. 

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