?2019年湖南省常德市中考數(shù)學試卷
一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）
1．（3分）點（﹣1，2）關(guān)于原點的對稱點坐標是（　?。?br /> A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
2．（3分）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（　?。?br /> A． B． C．3.1 D．
3．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
4．（3分）某公司全體職工的月工資如下：
月工資（元）
18000
12000
8000
6000
4000
2500
2000
1500
1200
人數(shù)
1（總經(jīng)理）
2（副總經(jīng)理）
3
4
10
20
22
12
6
該公司月工資數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2000，中位數(shù)為2250，平均數(shù)為3115，極差為16800，公司的普通員工最關(guān)注的數(shù)據(jù)是（　?。?br /> A．中位數(shù)和眾數(shù) B．平均數(shù)和眾數(shù)
C．平均數(shù)和中位數(shù) D．平均數(shù)和極差
5．（3分）如圖是由4個大小相同的小正方體擺成的幾何體，它的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
6．（3分）小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學》，同學們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少15元．”乙說：“至多12元．”丙說：“至多10元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了”．則這本書的價格x（元）所在的范圍為（　?。?br /> A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
7．（3分）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（　?。?br />
A．20 B．22 C．24 D．26
8．（3分）觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+…+72019的結(jié)果的個位數(shù)字是（　?。?br /> A．0 B．1 C．7 D．8
二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）
9．（3分）數(shù)軸上表示﹣3的點到原點的距離是　 ?。?br /> 10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解為　 ?。?br /> 11．（3分）從甲、乙、丙三人中選一人參加環(huán)保知識搶答賽，經(jīng)過兩輪初賽，他們的平均成績都是89.7，方差分別是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你認為適合參加決賽的選手是　 　．
12．（3分）國產(chǎn)手機芯片麒麟980是全球首個7納米制程芯片，已知1納米＝0.000 000 001米，將7納米用科學記數(shù)法表示為　 　米．
13．（3分）二元一次方程組的解為　 ?。?br /> 14．（3分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，點D在AC邊上，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD′，且點D′、D、B三點在同一條直線上，則∠ABD的度數(shù)是　 ?。?br />
15．（3分）若x2+x＝1，則3x4+3x3+3x+1的值為　 ?。?br /> 16．（3分）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標分別為（0，1），（0，﹣1），P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點，PQ垂直直線y＝﹣1于點Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是　 　．（填序號）
三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）
17．（5分）計算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．
18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）
19．（6分）先化簡，再選一個合適的數(shù)代入求值：（﹣）÷（﹣1）．
20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標．

五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）
21．（7分）某生態(tài)體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設入園次數(shù)為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問題
（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）請根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費比較合算．

22．（7分）如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切于點C，與AB、BC邊分別交于點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長．

六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）
23．（8分）為了扎實推進精準扶貧工作，某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施，每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施，現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、D類貧困戶．為檢査幫扶措施是否落實，隨機抽取了若干貧困戶進行調(diào)查，現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：
（1）本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶？
（2）抽查了多少戶C類貧困戶？并補全統(tǒng)計圖；
（3）若該地共有13000戶貧困戶，請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶？
（4）為更好地做好精準扶貧工作，現(xiàn)準備從D類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機選取兩戶進行重點幫扶，請用樹狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率．
24．（8分）圖1是一種淋浴噴頭，圖2是圖1的示意圖，若用支架把噴頭固定在點A處，手柄長AB＝25cm，AB與墻壁DD′的夾角∠D′AB＝37°，噴出的水流BC與AB形成的夾角∠ABC＝72°，現(xiàn)在住戶要求：當人站在E處淋浴時，水流正好噴灑在人體的C處，且使DE＝50cm，CE＝130cm．問：安裝師傅應將支架固定在離地面多高的位置？
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）
25．（10分）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；
（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于點M，BN⊥AC交AC于點N．
（1）在圖1中，求證：△BMC≌△CNB；
（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作PE∥AB交CM于點E，作PF∥AC交BN于點F，求證：PE+PF＝BM；
（3）在圖3中動點P在線段CB的延長線上，類似（2）過P作PE∥AB交CM的延長線于點E，作PF∥AC交NB的延長線于點F，求證：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．


2019年湖南省常德市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）
1．（3分）點（﹣1，2）關(guān)于原點的對稱點坐標是（　?。?br /> A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
【分析】坐標系中任意一點P（x，y），關(guān)于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），即關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．
【解答】解：根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，得點（﹣1，2）關(guān)于原點的對稱點的坐標為（1，﹣2）．
故選：B．
【點評】本題考查了關(guān)于原點對稱的點的坐標，關(guān)于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù)．
2．（3分）下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（　?。?br /> A． B． C．3.1 D．
【分析】由于帶根號的要開不盡方是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，根據(jù)無理數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：∵四個選項中是無理數(shù)的只有和，而＞4，3＜＜4
∴選項中比3大比4小的無理數(shù)只有．
故選：A．
【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，解題時注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．
3．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
【分析】根據(jù)二次根式的加減法對A進行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對B、C進行判斷；根據(jù)分母有理化和二次根式的性質(zhì)對D進行判斷．
【解答】解：A、原式＝+2，所以A選項錯誤；
B、原式＝2，所以B選項錯誤；
C、原式＝2，所以C選項錯誤；
D、原式＝＝，所以D選項正確．
故選：D．
【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
4．（3分）某公司全體職工的月工資如下：
月工資（元）
18000
12000
8000
6000
4000
2500
2000
1500
1200
人數(shù)
1（總經(jīng)理）
2（副總經(jīng)理）
3
4
10
20
22
12
6
該公司月工資數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2000，中位數(shù)為2250，平均數(shù)為3115，極差為16800，公司的普通員工最關(guān)注的數(shù)據(jù)是（　?。?br /> A．中位數(shù)和眾數(shù) B．平均數(shù)和眾數(shù)
C．平均數(shù)和中位數(shù) D．平均數(shù)和極差
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)及極差的意義分別判斷后即可得到正確的選項．
【解答】解：∵數(shù)據(jù)的極差為16800，較大，
∴平均數(shù)不能反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，
∴普通員工最關(guān)注的數(shù)據(jù)是中位數(shù)及眾數(shù)，
故選：A．
【點評】本題考查了統(tǒng)計量的選擇的知識，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)統(tǒng)計量的意義，難度不大．
5．（3分）如圖是由4個大小相同的小正方體擺成的幾何體，它的左視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)左視圖即從物體的左面觀察得得到的視圖，進而得出答案．
【解答】解：如圖所示，該幾何體的左視圖是：
．
故選：C．
【點評】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握左視圖是從幾何體左面看得到的平面圖形是解決本題的關(guān)鍵．
6．（3分）小明網(wǎng)購了一本《好玩的數(shù)學》，同學們想知道書的價格，小明讓他們猜．甲說：“至少15元．”乙說：“至多12元．”丙說：“至多10元．”小明說：“你們?nèi)齻€人都說錯了”．則這本書的價格x（元）所在的范圍為（　　）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
【分析】根據(jù)題意得出不等式組解答即可．
【解答】解：根據(jù)題意可得：，
可得：12≤x≤15，
∴12＜x＜15
故選：B．
【點評】此題考查一元一次不等式組的應用，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出不等式組解答．
7．（3分）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為42，則四邊形DBCE的面積是（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
【分析】利用△AFH∽△ADE得到＝（）2＝，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，則16x﹣9x＝7，解得x＝1，從而得到S△ADE＝16，然后計算兩個三角形的面積差得到四邊形DBCE的面積．
【解答】解：如圖，
根據(jù)題意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝
設S△AFH＝9x，則S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四邊形DBCE的面積＝42﹣16＝26．
故選：D．

【點評】本題考查了相似三角形的判定：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．也考查了相似三角形的性質(zhì)．
8．（3分）觀察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得70+71+72+…+72019的結(jié)果的個位數(shù)字是（　　）
A．0 B．1 C．7 D．8
【分析】首先得出尾數(shù)變化規(guī)律，進而得出70+71+72+…+72019的結(jié)果的個位數(shù)字．
【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴個位數(shù)4個數(shù)一循環(huán)，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的結(jié)果的個位數(shù)字是：0．
故選：A．
【點評】此題主要考查了尾數(shù)特征，正確得出尾數(shù)變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題8個小題，每小題3分，滿分24分）
9．（3分）數(shù)軸上表示﹣3的點到原點的距離是　3?。?br /> 【分析】表示﹣3的點與原點的距離是﹣3的絕對值．
【解答】解：在數(shù)軸上表示﹣3的點與原點的距離是|﹣3|＝3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，熟記數(shù)軸的特點以及絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解為　x＞7?。?br /> 【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．
【解答】解：3x+1＞2（x+4），
3x+1＞2x+8，
x＞7．
故答案為：x＞7．
【點評】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．
11．（3分）從甲、乙、丙三人中選一人參加環(huán)保知識搶答賽，經(jīng)過兩輪初賽，他們的平均成績都是89.7，方差分別是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你認為適合參加決賽的選手是　乙?。?br /> 【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定即可求解．
【解答】解：∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，
而1.71＜2.83＜3.52，
∴乙的成績最穩(wěn)定，
∴派乙去參賽更好，
故答案為乙．
【點評】本題考查了方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．
12．（3分）國產(chǎn)手機芯片麒麟980是全球首個7納米制程芯片，已知1納米＝0.000 000 001米，將7納米用科學記數(shù)法表示為　7×10﹣9　米．
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【解答】解：7納米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．
故答案為：7×10﹣9．
【點評】本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
13．（3分）二元一次方程組的解為　?。?br /> 【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．
【解答】解：
②﹣①得x＝1 ③
將③代入①得y＝5
∴
故答案為：
【點評】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．
14．（3分）如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，點D在AC邊上，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD′，且點D′、D、B三點在同一條直線上，則∠ABD的度數(shù)是　22.5°?。?br />
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°，即可求∠ABD的度數(shù)．
【解答】解：∵將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案為：22.5°
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
15．（3分）若x2+x＝1，則3x4+3x3+3x+1的值為　4?。?br /> 【分析】把所求多項式進行變形，代入已知條件，即可得出答案．
【解答】解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；
故答案為：4．
【點評】本題考查了因式分解的應用；把所求多項式進行靈活變形是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形．根據(jù)規(guī)定判斷下面四個結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是廣義菱形；③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N的坐標分別為（0，1），（0，﹣1），P是二次函數(shù)y＝x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一點，PQ垂直直線y＝﹣1于點Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形．其中正確的是　①②④　．（填序號）
【分析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，①正確；
②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯誤；
③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯誤；
④設點P（m，m2），則Q（m，﹣1），由股溝定理可得PQ＝MP＝+1，MP＝PQ和MN∥PQ，所以四邊形PMNQ是廣義菱形．④正確；
【解答】解：①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，①正確；
②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯誤；
③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯誤；
④設點P（m，m2），則Q（m，﹣1），
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵點P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四邊形PMNQ是廣義菱形．
④正確；
故答案為①②③；
【點評】本題考查新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形，菱形，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，將廣義菱形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已學知識是求解的關(guān)鍵．
三、（本大題2個小題，每小題5分，滿分10分）
17．（5分）計算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．
【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可求出值．
【解答】解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．
【點評】此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
【分析】公式法的步驟：①化方程為一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
【點評】本題主要考查了解一元二次方程的解法．要會熟練運用公式法求得一元二次方程的解．此法適用于任何一元二次方程．
四、（本大題2個小題，每小題6分，滿分12分）
19．（6分）先化簡，再選一個合適的數(shù)代入求值：（﹣）÷（﹣1）．
【分析】根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子，然后選取一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【解答】解：（﹣）÷（﹣1）
＝[]÷[]
＝
＝
＝
＝，
當x＝2時，原式＝＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．
20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標．

【分析】（1）利用點A在y＝﹣x+3上求a，進而代入反比例函數(shù)y＝（k≠0）求k即可；
（2）設P（x，0），求得C點的坐標，則PC＝|3﹣x|，然后根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）把點A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函數(shù)y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝；
（2）∵一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點C，
∴C（3，0），
設P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐標為（﹣2，0）或（8，0）．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式等知識點，能用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．
五、（本大題2個小題，每小題7分，滿分14分）
21．（7分）某生態(tài)體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設入園次數(shù)為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，解答下列問題
（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式；
（2）請根據(jù)入園次數(shù)確定選擇哪種卡消費比較合算．

【分析】（1）運用待定系數(shù)法，即可求出y與x之間的函數(shù)表達式；
（2）解方程或不等式即可解決問題，分三種情形回答即可．
【解答】解：（1）設y甲＝k1x，根據(jù)題意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；
設y乙＝k2x+100，根據(jù)題意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；

（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，當入園次數(shù)小于10次時，選擇甲消費卡比較合算；
②y甲＝y(tǒng)乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，當入園次數(shù)等于10次時，選擇兩種消費卡費用一樣；
③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，當入園次數(shù)大于10次時，選擇乙消費卡比較合算．
【點評】此題主要考查了一次函數(shù)的應用、學會利用方程組求兩個函數(shù)圖象的解得坐標，正確由圖象得出正確信息是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
22．（7分）如圖，⊙O與△ABC的AC邊相切于點C，與AB、BC邊分別交于點D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直徑．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的長．

【分析】（1）連接OD、CD，根據(jù)圓周角定理得出∠EDC＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OA⊥CD，根據(jù)垂徑定理得出OA垂直平分CD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出OD＝OC＝OE，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得出∠AOC＝∠AOD，進而證得△AOD≌△AOC（SAS），得到∠ADO＝∠ACB＝90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)切割線定理求得BE，得到BC，然后根據(jù)切線長定理和勾股定理列出關(guān)于y的方程，解方程即可．
【解答】（1）證明：連接OD、CD，
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切線，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半徑，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵BD是⊙O切線，
∴BD2＝BE?BC，
設BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切線，
∴AD＝AC，
設AD＝AC＝y(tǒng)，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y(tǒng)2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的長為6．

【點評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂徑定理，切線長定理，切割線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
六、（本大題2個小題，每小題8分，滿分16分）
23．（8分）為了扎實推進精準扶貧工作，某地出臺了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育救助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施，每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施，現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為A、B、C、D類貧困戶．為檢査幫扶措施是否落實，隨機抽取了若干貧困戶進行調(diào)查，現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請根據(jù)圖中信息回答下面的問題：
（1）本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶？
（2）抽查了多少戶C類貧困戶？并補全統(tǒng)計圖；
（3）若該地共有13000戶貧困戶，請估計至少得到4項幫扶措施的大約有多少戶？
（4）為更好地做好精準扶貧工作，現(xiàn)準備從D類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機選取兩戶進行重點幫扶，請用樹狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率．
【分析】（1）由A類別戶數(shù)及其對應百分比可得答案；
（2）總數(shù)量乘以C對應百分比可得；
（3）利用樣本估計總體思想求解可得；
（4）畫樹狀圖或列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來，利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽樣調(diào)查的總戶數(shù)為260÷52%＝500（戶）；
（2）抽查C類貧困戶為500×24%＝120（戶），
補全圖形如下：

（3）估計至少得到4項幫扶措施的大約有13000×（24%+16%）＝5200（戶）；
（4）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知共有12種等可能結(jié)果，其中恰好選中甲和丁的有2種結(jié)果，
所以恰好選中甲和丁的概率為＝．
【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，樹狀圖等知識點，能正確畫出條形統(tǒng)計圖和樹狀圖是解此題的關(guān)鍵．
24．（8分）圖1是一種淋浴噴頭，圖2是圖1的示意圖，若用支架把噴頭固定在點A處，手柄長AB＝25cm，AB與墻壁DD′的夾角∠D′AB＝37°，噴出的水流BC與AB形成的夾角∠ABC＝72°，現(xiàn)在住戶要求：當人站在E處淋浴時，水流正好噴灑在人體的C處，且使DE＝50cm，CE＝130cm．問：安裝師傅應將支架固定在離地面多高的位置？
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

【分析】過B作BG⊥D′D于點G，延長EC、GB交于點F，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解答】解：過點B作BG⊥D′D于點G，延長EC、GB交于點F，
∵AB＝25，DE＝50，
∴sin37°＝，cos37°＝，
∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF＝50﹣15＝35，
∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，
∴∠GBA＝53°，
∴∠CBF＝55°，
∴∠BCF＝35°，
∵tan35°＝，
∴CF≈＝50，
∴FE＝50+130＝180，
∴GD＝FE＝180，
∴AD＝180﹣20＝160，
∴安裝師傅應將支架固定在離地面160cm的位置．

【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型．
七、（本大題2個小題，每小題10分，滿分20分）
25．（10分）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，4），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；
（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點P，使△PNC的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）二次函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，將點B的坐標代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，即可求解；
（3）S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，即可求解．
【解答】解：（1）二次函數(shù)表達式為：y＝a（x﹣1）2+4，
將點B的坐標代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）設點M的坐標為（x，﹣x2+2x+3），則點N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
則MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周長C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故當x＝﹣＝2，C有最大值，最大值為10，
此時x＝2，點N（0，3）與點D重合；
（3）△PNC的面積是矩形MNHG面積的，
則S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，
連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，
過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即PH＝GH，
過點P作PK∥⊥CD于點K，

將C（3，0）、D（0，3）坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：
直線CD的表達式為：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
設點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），
S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，
解得：PH＝＝HG，
則PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故點P（，），
直線n的表達式為：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
聯(lián)立①②并解得：x＝，
即點P′、P″的坐標分別為（，）、（，）；
故點P坐標為：（，）或（，）或（，）．
【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于點M，BN⊥AC交AC于點N．
（1）在圖1中，求證：△BMC≌△CNB；
（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作PE∥AB交CM于點E，作PF∥AC交BN于點F，求證：PE+PF＝BM；
（3）在圖3中動點P在線段CB的延長線上，類似（2）過P作PE∥AB交CM的延長線于點E，作PF∥AC交NB的延長線于點F，求證：AM?PF+OM?BN＝AM?PE．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理證明；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM＝NC，證明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，證明結(jié)論；
（3）根據(jù)△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，證明△AMC∽△OMB，得到＝，根據(jù)比例的性質(zhì)證明即可．
【解答】證明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CM⊥AB，BN⊥AC，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
在△BMC和△CNB中，
，
∴△BMC≌△CNB（AAS）；
（2）∵△BMC≌△CNB，
∴BM＝NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴＝，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴PE+PF＝BM；
（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，
∵△BMC≌△CNB，
∴MC＝BN，
∵∠ANB＝90°，
∴∠MAC+∠ABN＝90°，
∵∠OMB＝90°，
∴∠MOB+∠ABN＝90°，
∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，
∴△AMC∽△OMB，
∴＝，
∴AM?MB＝OM?MC，
∴AM×（PE﹣PF）＝OM?BN，
∴AM?PF+OM?BN＝AM?PE．
【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．


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