1．﹣的倒數(shù)的平方是（ ）
A．2B．C．﹣2D．﹣
【分析】根據(jù)倒數(shù)，平方的定義以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：﹣的倒數(shù)的平方為：．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了倒數(shù)的定義、平方的定義以及二次根式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵
2．已知一天有86400秒，一年按365天計(jì)算共有31536000秒，用科學(xué)記數(shù)法表示31536000正確的是（ ）
A．3.1536×106B．3.1536×107
C．31.536×106D．0.31536×108
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將31536000用科學(xué)記數(shù)法表示為3.1536×107．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程組則x2﹣2y2的值為（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【分析】首先解方程組，求出x、y的值，然后代入所求代數(shù)式即可．
【解答】解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組解的定義．以及解二元一次方程組的基本方法．正確解關(guān)于x、y的方程組是關(guān)鍵．
4．將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放，使得它們的直角邊互相垂直，則∠1的度數(shù)是
（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【分析】根據(jù)題意求出∠2、∠4，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性質(zhì)可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
5．拋物線y＝﹣x2+4x﹣4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】先計(jì)算自變量為0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值得到拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，則拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
所以拋物線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．
6．不等式組的解集為（ ）
A．﹣＜x＜0B．﹣＜x≤0C．﹣≤x＜0D．﹣≤x≤0
【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．
【解答】解：，
解①得：x≥﹣，
解②得x＜0，
則不等式組的解集為﹣≤x＜0．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中間，比大的大比小的小無(wú)解的原則，
7．投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，向上一面的點(diǎn)數(shù)依次記為a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有36種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：
共有36種等可能的結(jié)果數(shù)，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19種，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列表法與樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再?gòu)闹羞x出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
8．欣欣服裝店某天用相同的價(jià)格a（a＞0）賣(mài)出了兩件服裝，其中一件盈利20%，另一件虧損20%，那么該服裝店賣(mài)出這兩件服裝的盈利情況是（ ）
A．盈利B．虧損
C．不盈不虧D．與售價(jià)a有關(guān)
【分析】設(shè)第一件衣服的進(jìn)價(jià)為x元，依題意得：x（1+20%）＝a，設(shè)第二件衣服的進(jìn)價(jià)為y元，依題意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y(tǒng)（1﹣20%），整理得：3x＝2y，則兩件衣服總的盈虧就可求出．
【解答】解：設(shè)第一件衣服的進(jìn)價(jià)為x元，
依題意得：x（1+20%）＝a，
設(shè)第二件衣服的進(jìn)價(jià)為y元，
依題意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y(tǒng)（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
該服裝店賣(mài)出這兩件服裝的盈利情況為：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即賠了0.1x元，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，列方程求出兩件衣服的進(jìn)價(jià)故選，進(jìn)而求出總盈虧．
9．如果函數(shù)y＝kx+b（k，b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，那么k，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（ ）
A．k≥0且b≤0B．k＞0且b≤0C．k≥0且b＜0D．k＞0且b＜0
【分析】結(jié)合題意，分k＝0和k＞0兩種情況討論，即可求解；
【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常數(shù)）的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，
當(dāng)k＝0，b＜0時(shí)成立；
當(dāng)k＞0，b≤0時(shí)成立；
綜上所述，k≥0，b≤0；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)圖象及性質(zhì)；正確理解題意中給的函數(shù)確定k＝0和k≠0有兩種情況是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，Rt△OCB的斜邊在y軸上，OC＝，含30°角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，直角頂點(diǎn)C在第二象限，將Rt△OCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，則B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)是
（ ）
A．（，﹣1）B．（1，﹣）C．（2，0）D．（，0）
【分析】如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC＝1，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征寫(xiě)出點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC＝OC＝×＝1，
∵Rt△OCB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（，﹣1）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來(lái)求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見(jiàn)的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
11．下列運(yùn)算不正確的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【分析】根據(jù)分組分解法因式分解、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，判斷即可．
【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正確，不符合題意；
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝ [（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B錯(cuò)誤，符合題意；
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正確，不符合題意；
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正確，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握它們的一般步驟、運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，△ABC內(nèi)心為I，連接AI并延長(zhǎng)交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是（ ）
A．DI＝DBB．DI＞DBC．DI＜DBD．不確定
【分析】連接BI，如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根據(jù)圓周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性質(zhì)和角度的代換證明∠4＝∠DBI，從而可判斷DI＝DB．
【解答】解：連接BI，如圖，
∵△ABC內(nèi)心為I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理．
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
13．計(jì)算+|sin30°﹣π0|+＝ 1﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣
＝1﹣．
故答案為：1﹣．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
14．已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，則k的值為 1 ．
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△＞0，可得出關(guān)于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進(jìn)而即可確定k值，此題得解．
【解答】解：∵x1，x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象與等邊三角形OAB的邊OA，AB分別交于點(diǎn)M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為 ．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和已知條件，可求出OM，通過(guò)做垂線，利用解直角三角形，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；點(diǎn)N在雙曲線上，而它的縱橫坐標(biāo)都不知道，因此可以用直線AB的關(guān)系式與反比例函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，解出x的值，再進(jìn)行取舍即可．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A、M分別作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足為C、D，
∵△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝OA＝，AC＝，
∴A（，），
設(shè)直線AB的關(guān)系式為y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣，b＝，
∴y＝x+；
由題意得： 解得：x＝，
∵x＞，
∴x＝，
故點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為：
【點(diǎn)評(píng)】考查等邊三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式、以及將兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系式組成方程組，通過(guò)解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，在此僅求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，也就是求出方程組中的x的值．
16．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為 +﹣ ．
【分析】過(guò)A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根據(jù)三角形的面積和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：過(guò)A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案為： +﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
17．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列結(jié)論：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1時(shí)，存在點(diǎn)P使△PAB為直角三角形．
其中正確結(jié)論的序號(hào)為 ②③ ．
【分析】由已知可以確定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；
①abc＜0；
②當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；
④a＝﹣1時(shí)，P（，b+1+），則△PAB為等腰直角三角形，b+1+＝+1，求出k＝﹣2不合題意；
【解答】解：將A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y(tǒng)＝ax2+bx+c，
∴對(duì)稱(chēng)軸x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；錯(cuò)誤；
②當(dāng)x＝3時(shí)，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正確；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正確；
④a＝﹣1時(shí)，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB為直角三角形，則△PAB為等腰直角三角形，
∴AP的直線解析式的k＝1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2，
∵b＞0，
∴不存在點(diǎn)P使△PAB為直角三角形．
④錯(cuò)誤；
故答案為②③；
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠熟練掌握二次函數(shù)的圖象，根據(jù)給出的點(diǎn)判斷函數(shù)系數(shù)a，b，c的取值情況是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：共69分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
18．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：（）2?﹣÷，其中a＝，b＝．
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)、b的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當(dāng)a＝，b＝時(shí)，
原式＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡(jiǎn)分式或整式．
19．（9分）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四邊形ABCD的面積；
（2）求證：BD⊥BC．
【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，設(shè)BE＝x，由勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程求出平行四邊形的高，進(jìn)而即可求出其面積；
（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，從而求出BD的長(zhǎng)，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可證明兩直線垂直．
【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖：
設(shè)BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
聯(lián)立①②解得：x＝，h＝
∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足為F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四邊形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．
20．（10分）高爾基說(shuō)：“書(shū)，是人類(lèi)進(jìn)步的階梯．”閱讀可以豐富知識(shí)、拓展視野、充實(shí)生活等諸多益處．為了解學(xué)生的課外閱讀情況，某校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生閱讀課外書(shū)冊(cè)數(shù)的情況，并繪制出如下統(tǒng)計(jì)圖，其中條形統(tǒng)計(jì)圖因?yàn)槠茡p丟失了閱讀5冊(cè)書(shū)數(shù)的數(shù)據(jù)．
（1）求條形圖中丟失的數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出閱讀書(shū)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)；
（2）根據(jù)隨機(jī)抽查的這個(gè)結(jié)果，請(qǐng)估計(jì)該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊(cè)書(shū)的學(xué)生人數(shù)；
（3）若學(xué)校又補(bǔ)查了部分同學(xué)的課外閱讀情況，得知這部分同學(xué)中課外閱讀最少的是6冊(cè)，將補(bǔ)查的情況與之前的數(shù)據(jù)合并后發(fā)現(xiàn)中位數(shù)并沒(méi)有改變，試求最多補(bǔ)查了多少人？
【分析】（1）設(shè)閱讀5冊(cè)書(shū)的人數(shù)為x，由統(tǒng)計(jì)中的信息列式計(jì)算即可；
（2）該校1200名學(xué)生數(shù)×課外閱讀5冊(cè)書(shū)的學(xué)生人數(shù)占抽查了學(xué)生的百分比即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)補(bǔ)查了y人，根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)閱讀5冊(cè)書(shū)的人數(shù)為x，由統(tǒng)計(jì)圖可知：＝30%，
∴x＝14，
∴條形圖中丟失的數(shù)據(jù)是14，閱讀書(shū)冊(cè)數(shù)的眾數(shù)是5，中位數(shù)是5；
（2）該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊(cè)書(shū)的學(xué)生人數(shù)為1200×＝420（人），
答：該校1200名學(xué)生中課外閱讀5冊(cè)書(shū)的學(xué)生人數(shù)是420人；
（3）設(shè)補(bǔ)查了y人，
根據(jù)題意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多補(bǔ)查了3人．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
21．（10分）已知銳角△ABC的外接圓圓心為O，半徑為R．
（1）求證：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的長(zhǎng)及sinC的值．
【分析】（1）如圖1，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）由＝2R，同理可得： ＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，如圖2，過(guò)C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接CD，
則∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得： ＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R?sinA＝2sin45°＝，
如圖2，過(guò)C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC?csB＝cs60°＝，AE＝AC?cs45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR?sinC，
∴sinC＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，為了測(cè)量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先在操場(chǎng)上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測(cè)得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE．
【分析】設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，根據(jù)GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列式計(jì)算即可．
【解答】
解：設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長(zhǎng)GC、FA相交于點(diǎn)M，
連接GF并延長(zhǎng)交OE于點(diǎn)H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴，
即：，
∴，
∴OE＝32，
答：樓的高度OE為32米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．
23．（10分）為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”精神，市農(nóng)科院專(zhuān)家指導(dǎo)李大爺利用坡前空地種植優(yōu)質(zhì)草莓．根據(jù)場(chǎng)調(diào)查，在草莓上市銷(xiāo)售的30天中，其銷(xiāo)售價(jià)格m（元/公斤）與第x天之間滿(mǎn)足m＝（x為正整數(shù)），銷(xiāo)售量n（公斤）與第x天之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
如果李大爺?shù)牟葺谏鲜袖N(xiāo)售期間每天的維護(hù)費(fèi)用為80元．
（1）求銷(xiāo)售量n與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求在草莓上市銷(xiāo)售的30天中，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式；（日銷(xiāo)售利潤(rùn)＝日銷(xiāo)售額﹣日維護(hù)費(fèi)）
（3）求日銷(xiāo)售利潤(rùn)y的最大值及相應(yīng)的x．
【分析】本題是通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型解答銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題．
（1）依據(jù)題意利用待定系數(shù)法易求得銷(xiāo)售量n與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式，
（2）然后根據(jù)銷(xiāo)售利潤(rùn)＝銷(xiāo)售量×（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)），列出每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式，
（3）再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)．
【解答】解：
（1）當(dāng)1≤x≤10時(shí)，設(shè)n＝kx+b，由圖知可知
，解得
∴n＝2x+10
同理得，當(dāng)10＜x≤30時(shí)，n＝﹣1.4x+44
∴銷(xiāo)售量n與第x天之間的函數(shù)關(guān)系式：n＝
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝
整理得，y＝
（3）當(dāng)1≤x≤10時(shí)，
∵y＝6x2+60x+70的對(duì)稱(chēng)軸x＝＝＝﹣5
∴此時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而增大
∴x＝10時(shí)，y取最大值，則y10＝1270
當(dāng)10＜x＜15時(shí)
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的對(duì)稱(chēng)軸是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5
∴x在x＝13時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＝1313.2
當(dāng)15≤x≤30時(shí)
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝＞30
∴此時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)y隨x的增大而減小
∴x＝15時(shí)，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
綜上，草莓銷(xiāo)售第13天時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)y最大，最大值是1313.2元
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷(xiāo)售利潤(rùn)的問(wèn)題常利函數(shù)的增減性來(lái)解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值），也就是說(shuō)二次函數(shù)的最值不一定在x＝時(shí)取得．
24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx+c頂點(diǎn)（2，﹣1），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），且與直線y＝x﹣1交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若在拋物線上恰好存在三點(diǎn)Q，M，N，滿(mǎn)足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之間的拋物線弧上是否存在點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB＝90°？若存在，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN＝）
【分析】（1）已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，故可設(shè)其頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣2）2﹣1，再把點(diǎn)C（0，3）代入即求得a的值，進(jìn)而得到拋物線解析式．
（2）把拋物線解析式與直線y＝x﹣1聯(lián)立方程組，解方程組求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，畫(huà)出拋物線和直線草圖．由圖可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB為公共底時(shí)，高相等才有面積相等．假設(shè)M、N在直線AB上方的拋物線上，只要MN∥AB，根據(jù)平行線間距離處處相等，則一定有S△MAB＝S△NAB＝S；當(dāng)點(diǎn)Q在直線AB下方且只有唯一的點(diǎn)Q滿(mǎn)足S△QAB＝S，則Q到AB距離取最大值．過(guò)點(diǎn)Q分別作y軸平行線QC，作直線AB垂線QD，易證△CDQ為等腰直角三角形，故CQ取得最大值時(shí)，DQ也最大．設(shè)點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為t，用t表示CQ的長(zhǎng)并配方求得最大值，進(jìn)而求得DQ最大值，再用S＝S△QAB＝AB?DQ求得S的值．
（3）由∠APB＝90°，根據(jù)勾股定理有AP2+BP2＝AB2，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為p，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式用p表示AP2、BP2，列得關(guān)于p的一元四次方程．化簡(jiǎn)并對(duì)式子進(jìn)行因式分解，由1＜p＜4可進(jìn)行兩次約公因式達(dá)到降次效果，最終得到關(guān)于p的一元二次方程，求得的解有一個(gè)滿(mǎn)足p的范圍，即存在滿(mǎn)足的點(diǎn)P．
【解答】解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，﹣1）
∴頂點(diǎn)式為y＝a（x﹣2）2﹣1
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3）
∴4a﹣1＝3
解得：a＝1
∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3
（2） 解得：，
∴A（1，0），B（4，3）
∴AB＝
設(shè)直線y＝x﹣1與y軸交于點(diǎn)E，則E（0，﹣1）
∴OA＝OE＝1
∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴點(diǎn)Q、M、N到直線AB的距離相等
如圖，假設(shè)點(diǎn)M、N在直線AB上方，點(diǎn)Q在直線AB下方
∴MN∥AB時(shí)，總有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一個(gè)點(diǎn)Q在直線AB下方滿(mǎn)足S△QAB＝S，則Q到AB距離必須最大
過(guò)點(diǎn)Q作QC∥y軸交AB于點(diǎn)C，QD⊥AB于點(diǎn)D
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°
∴△CDQ是等腰直角三角形
∴DQ＝CQ
設(shè)Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），則C（t，t﹣1）
∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+
∴t＝時(shí)，CQ最大值為
∴DQ最大值為
∴S＝S△QAB＝AB?DQ＝
（3）存在點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB＝90°．
∵∠APB＝90°，AB＝3
∴AP2+BP2＝AB2
設(shè)P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2
整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0
p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0
∵p＜4
∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0
展開(kāi)得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0
（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0
（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0
∵p＞1
∴p﹣1≠0
∴p2+p+1﹣4p＝0
解得：p1＝，p2＝（舍去）
∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)為時(shí)，滿(mǎn)足∠APB＝90°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求二次函數(shù)最值，一元二次方程的解法，平行線間距離處處相等，勾股定理，因式分解．第（2）題的解題關(guān)鍵是理解題意并轉(zhuǎn)化為求線段最值問(wèn)題；第（3）題的解題關(guān)鍵是列得關(guān)于p的一元四次方程后要有技巧地進(jìn)行因式分解，通過(guò)約去公因式達(dá)到降次的效果再解方程．

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