1．2021的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣D．
2．“綠水青山就是金山銀山”某地積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，大力推進(jìn)農(nóng)村廁所革命，已經(jīng)累計(jì)投資1.102×108元資金．?dāng)?shù)據(jù)1.012×108用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．10.12億B．1.012億C．101.2億D．1012億
3．下列圖形既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“紅”字的面的對(duì)面上的字是（ ）
A．傳B．國(guó)C．承D．基
5．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量，木條還剩余1尺；問長(zhǎng)木多少尺？如果設(shè)木條長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則下面所列方程組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
8．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，若∠P＝70°，則∠ABO＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．55°
9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx﹣k與y＝（k≠0）的大致圖象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
10．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）開口向下且過點(diǎn)A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列結(jié)論：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4ac﹣b2＜4a．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分,請(qǐng)將結(jié)果填寫在答題卡相應(yīng)位置)
11．計(jì)算：|1﹣|+（）﹣1+2cs45°+（﹣1）0＝ ．
12．把多項(xiàng)式x3+2x2﹣3x因式分解，結(jié)果為 ．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB斜邊上的高為1，∠AOB＝30°，將Rt△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，若在y＝的圖象上另有一點(diǎn)M使得∠MOC＝30°，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ．
14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為 ．
15．關(guān)于x的不等式組恰有2個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是 ．
16．如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2021是表中第 行第 列．
三、解答題(本大題共8小題,共72分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)區(qū)域作答)
17．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：?（﹣），其中x＝3﹣．
18．（8分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校擬舉辦主題為“學(xué)黨史跟黨走”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某年級(jí)在一班和二班進(jìn)行了預(yù)賽，兩個(gè)班參加比賽的人數(shù)相同，成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其等級(jí)對(duì)應(yīng)的分值分別為100分、90分、80分、70分，將這兩個(gè)班學(xué)生的最后等級(jí)成績(jī)分析整理繪制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖．
（1）這次預(yù)賽中，二班成績(jī)?cè)贐等及以上的人數(shù)是多少？
（2）分別計(jì)算這次預(yù)賽中一班成績(jī)的平均數(shù)和二班成績(jī)的中位數(shù)；
（3）已知一班成績(jī)A等的4人中有兩個(gè)男生和2個(gè)女生，二班成績(jī)A等的都是女生，年級(jí)要求從這兩個(gè)班A等的學(xué)生中隨機(jī)選2人參加學(xué)校比賽，若每個(gè)學(xué)生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1個(gè)男生的概率．
19．（8分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF＝AE，F(xiàn)H⊥BH．
（1）求證：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長(zhǎng)．
20．（8分）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上．
（1）求A，P之間的距離AP；
（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實(shí)數(shù)根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E在BC邊上，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB邊于另一點(diǎn)F，且F是的中點(diǎn)，AD是⊙O的一條直徑，連接DE并延長(zhǎng)交AB邊于M點(diǎn)．
（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)CD＝AB時(shí)，求sin∠ACF的值．
23．（10分）某公司電商平臺(tái)，在2021年五一長(zhǎng)假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)W（元）的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù)．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進(jìn)價(jià)a（元/件），售價(jià)x為多少時(shí)，周銷售利潤(rùn)W最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)；
（3）因疫情期間，該商品進(jìn)價(jià)提高了m（元/件）（m＞0），公司為回饋消費(fèi)者，規(guī)定該商品售價(jià)x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤(rùn)是4050元，求m的值．
24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)Q為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）過點(diǎn)Q作PQ∥AC交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ面積分別為S1，S2，設(shè)S＝S1+S2，求點(diǎn)P坐標(biāo)，使得S最大，并求此最大值．
2021年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題中均給出了四個(gè)答案,其中有且只有一個(gè)正確答案,請(qǐng)將正確答案的字母代號(hào)涂在答題卡上)
1．2021的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）
A．﹣2021B．2021C．﹣D．
【分析】先求出2021的相反數(shù)，再求這個(gè)數(shù)的倒數(shù)即可．
【解答】解：2021的相反數(shù)是﹣2021，
﹣2021的倒數(shù)是﹣，
故選：C．
2．“綠水青山就是金山銀山”某地積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，大力推進(jìn)農(nóng)村廁所革命，已經(jīng)累計(jì)投資1.102×108元資金．?dāng)?shù)據(jù)1.012×108用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．10.12億B．1.012億C．101.2億D．1012億
【分析】確定出原數(shù)中整數(shù)位數(shù)，然后再確定其中0的個(gè)數(shù)即可．
【解答】解：數(shù)據(jù)1.102×108用科學(xué)記數(shù)法可表示為：1.102×108＝110200000＝1.012億，
故選：B．
3．下列圖形既是中心對(duì)稱又是軸對(duì)稱的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
C．是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)符合題意；
D．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
4．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，把展開圖折疊成正方體后，“紅”字的面的對(duì)面上的字是（ ）
A．傳B．國(guó)C．承D．基
【分析】正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)作答．
【解答】解：正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，
“傳”與“因”是相對(duì)面，
“承”與“色”是相對(duì)面，
“紅”與“基”是相對(duì)面．
故選：D．
5．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5B．＝x
C．（﹣x）2+x＝x3D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
【分析】根據(jù)有理數(shù)乘方，二次根式化簡(jiǎn)及整式乘法分別計(jì)算求解．
【解答】解：A．（﹣x3）2＝x6，錯(cuò)誤，不滿足題意．
B.＝|x|，錯(cuò)誤，不滿足題意．
C．（﹣x）2+x＝x2+x，錯(cuò)誤，不滿足題意．
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1，正確，滿足題意．
故選：D．
6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量，木條還剩余1尺；問長(zhǎng)木多少尺？如果設(shè)木條長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則下面所列方程組正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用“繩長(zhǎng)＝木條+4.5；繩子＝木條﹣1”分別得出等式求出答案．
【解答】解：設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，那么可列方程組為：．
故選：A．
7．如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設(shè)∠1＝30°，那么∠2＝（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠HNB＝105°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出CD∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2+∠HNB＝180°，帶哦求出答案即可．
【解答】解：延長(zhǎng)EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠2+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故選：C．
8．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，若∠P＝70°，則∠ABO＝（ ）
A．30°B．35°C．45°D．55°
【分析】連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PBO＝∠PAO＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°得到∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接OA，
∵PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∵∠P＝70°，
∴∠BOA＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO﹣∠P＝110°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠BOA）＝（180°﹣110°）＝35°，
故選：B．
9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝kx﹣k與y＝（k≠0）的大致圖象是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】根據(jù)k的取值范圍，分別討論k＞0和k＜0時(shí)的情況，然后根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)進(jìn)行選擇正確答案．
【解答】解：當(dāng)k＞0時(shí)，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過一、三、四象限，
函數(shù)的y＝（k≠0）的圖象在一、二象限，
故選項(xiàng)②的圖象符合要求．
當(dāng)k＜0時(shí)，
一次函數(shù)y＝kx﹣k經(jīng)過一、二、四象限，
函數(shù)的y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過三、四象限，
故選項(xiàng)③的圖象符合要求．
故選：B．
10．拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)）開口向下且過點(diǎn)A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列結(jié)論：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4ac﹣b2＜4a．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)題意得出x＝﹣2時(shí)函數(shù)值的符號(hào)和x＝1時(shí)函數(shù)的值，以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)公即可得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正確，
由2a+c＜0，得﹣2a﹣c＞0，
∴2（﹣a﹣c）+c＞0，
∴2b+c＞0，
∴①正確，
由a（m+1）﹣b+c＞0得a﹣b+c＞﹣am，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a﹣b+c＞0，而a＜0，m＜0，
∴﹣am＜0＜a﹣b+c，
∴③正確，
若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
∴4ac﹣b2＜4a，
∴④正確，
故選：A．
二、填空題(本大題共6小題,每小題3分,共18分,請(qǐng)將結(jié)果填寫在答題卡相應(yīng)位置)
11．計(jì)算：|1﹣|+（）﹣1+2cs45°+（﹣1）0＝ 2+2 ．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+2+2×+1
＝﹣1+2++1
＝2+2．
12．把多項(xiàng)式x3+2x2﹣3x因式分解，結(jié)果為 x（x+3）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），
故答案為：x（x+3）（x﹣1）．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB斜邊上的高為1，∠AOB＝30°，將Rt△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，若在y＝的圖象上另有一點(diǎn)M使得∠MOC＝30°，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （，1） ．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，則AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求的反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得結(jié)果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x軸于F，則AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
將Rt△OAB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OCD，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C為（1，），
∵點(diǎn)C在函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
設(shè)MF＝n，則OF＝n，
∴M（n，n），
∵點(diǎn)M在函數(shù)y＝的圖象上，
∴n＝，
∴n＝1（負(fù)數(shù)舍去），
∴M（，1），
故答案為（，1）．
14．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為 2﹣ ．
【分析】連接PB、PC，作PF⊥BC于F，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC為等邊三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB?cs60°＝PB＝1，PF＝PB?sin60°＝，
則圖中陰影部分的面積＝[扇形ABP的面積﹣（扇形BPC的面積﹣△BPC的面積）]×2
＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，
故答案為：2﹣．
15．關(guān)于x的不等式組恰有2個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是 5≤a＜6 ．
【分析】求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出關(guān)于a的不等式，解之可得答案．
【解答】解：解不等式﹣（x+a）＜3，得：x＞a﹣3，
解不等式≥x﹣1，得：x≤4，
∵不等式組有2個(gè)整數(shù)解，
∴2＜a﹣3≤3，
解得5≤a＜6．
故答案為：5≤a＜6．
16．如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2021是表中第 64 行第 5 列．
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾行的數(shù)字個(gè)數(shù)，然后即可寫出前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)，從而可以得到2021在圖中的位置．
【解答】解：由圖可知，
第一行1個(gè)數(shù)字，
第二行2個(gè)數(shù)字，
第三行3個(gè)數(shù)字，
…，
則第n行n個(gè)數(shù)字，
前n行一共有個(gè)數(shù)字，
∵＜2021＜，2021﹣＝2021﹣2016＝5，
∴2021是表中第64行第5個(gè)列，
故答案為：64，5．
三、解答題(本大題共8小題,共72分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡相應(yīng)區(qū)域作答)
17．（8分）先化簡(jiǎn)，再求值：?（﹣），其中x＝3﹣．
【分析】先將括號(hào)內(nèi)通分化簡(jiǎn)，然后約分代入x的值求解．
【解答】解：（﹣）
＝[﹣]
＝[﹣]
＝?
＝，
把x＝3﹣代入原式得：
＝＝＝3+2．
18．（8分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校擬舉辦主題為“學(xué)黨史跟黨走”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．某年級(jí)在一班和二班進(jìn)行了預(yù)賽，兩個(gè)班參加比賽的人數(shù)相同，成績(jī)分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí)，其等級(jí)對(duì)應(yīng)的分值分別為100分、90分、80分、70分，將這兩個(gè)班學(xué)生的最后等級(jí)成績(jī)分析整理繪制成了如圖的統(tǒng)計(jì)圖．
（1）這次預(yù)賽中，二班成績(jī)?cè)贐等及以上的人數(shù)是多少？
（2）分別計(jì)算這次預(yù)賽中一班成績(jī)的平均數(shù)和二班成績(jī)的中位數(shù)；
（3）已知一班成績(jī)A等的4人中有兩個(gè)男生和2個(gè)女生，二班成績(jī)A等的都是女生，年級(jí)要求從這兩個(gè)班A等的學(xué)生中隨機(jī)選2人參加學(xué)校比賽，若每個(gè)學(xué)生被抽取的可能性相等，求抽取的2人中至少有1個(gè)男生的概率．
【分析】（1）由條形圖得出一班比賽的人數(shù)為20人，則二班參賽人數(shù)為20人，即可解決問題；
（2）由加權(quán)平均數(shù)定義和中位數(shù)定義分別求解即可；
（3）畫樹狀圖，共有30種等可能的結(jié)果，抽取的2人中至少有1個(gè)男生的結(jié)果有18種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由條形圖可知，一班比賽的人數(shù)為：4+9+5+2＝20（人），
∵兩個(gè)班參加比賽的人數(shù)相同，
∴二班參賽人數(shù)為20人，
∴這次預(yù)賽中，二班成績(jī)?cè)贐等及以上的人數(shù)為：20×10%+20×35%＝9（人）；
（2）一班成績(jī)的平均數(shù)為：（100×4+90×9+80×5+70×2）＝87.5（分），
由題意得：二班成績(jī)的中位數(shù)為80分；
（3）∵二班成績(jī)A等的都是女生，
∴二班成績(jī)A等的人數(shù)為：20×10%＝2（人），
把一班成績(jī)A等的2個(gè)男生分別記為A、B，其他成績(jī)A等的4個(gè)女生分別記為C、D、E、F，
畫樹狀圖如圖：
共有30種等可能的結(jié)果，抽取的2人中至少有1個(gè)男生的結(jié)果有18種，
∴抽取的2人中至少有1個(gè)男生的概率為＝．
19．（8分）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF＝AE，F(xiàn)H⊥BH．
（1）求證：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的長(zhǎng)．
【分析】（1）由正方形ABCD，∠AEF＝90°，F(xiàn)H⊥BH，可得∠H＝∠B，∠AEB＝∠F，從而△ABE≌△EHF，可得EH＝AB＝BC，即可證明CH＝BE；
（2）連接DF，過F作FP⊥CD于P，證明四邊形PCHF是正方形，可得PF＝CP＝BE＝x，DP＝DC﹣CP＝3﹣x，即可在Rt△DPF中，得DF＝．
【解答】（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵FH⊥BH，
∴∠H＝90°＝∠B，∠F＝90°﹣∠FEH，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠FEH，
∴∠AEB＝∠F，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AB＝BC，BE＝FH，
∴EH﹣EC＝BC﹣EC，即CH＝BE；
（2）連接DF，過F作FP⊥CD于P，如圖：
∵∠H＝∠DCH＝∠FPC＝90°，
∴四邊形PCHF是矩形，
由（1）知：BE＝FH＝CH，
∴四邊形PCHF是正方形，
∴PF＝CP＝CH＝BE＝x，
∵DC＝AB＝3，
∴DP＝DC﹣CP＝3﹣x，
Rt△DPF中，DF＝，
∴DF＝＝．
20．（8分）某海域有一小島P，在以P為圓心，半徑r為10（3+）海里的圓形海域內(nèi)有暗礁．一海監(jiān)船自西向東航行，它在A處測(cè)得小島P位于北偏東60°的方向上，當(dāng)海監(jiān)船行駛20海里后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)小島P位于B處北偏東45°方向上．
（1）求A，P之間的距離AP；
（2）若海監(jiān)船由B處繼續(xù)向東航行是否有觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．如果有觸礁危險(xiǎn)，那么海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多多少度的方向航行能安全通過這一海域？
【分析】（1）通過作垂線構(gòu)造直角三角形，求出小島P到航線AB的最低距離PC，與暗礁的半徑比較即可得出答案；
（2）規(guī)劃新航線BD，使小島P到新航線的距離PE等于暗礁的半徑，進(jìn)而求出∠PBD，進(jìn)而求出∠CBD，確定方向角．
【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PC⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，
由題意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，
設(shè)PC＝x，則BC＝x，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝20+20，
答：A，P之間的距離AP為（20+20）海里；
（2）因?yàn)镻C﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有觸礁的危險(xiǎn)；
設(shè)海監(jiān)船無觸礁危險(xiǎn)的新航線為射線BD，作PE⊥BD，垂足為E，
當(dāng)P到BD的距離PE＝10（3+）海里時(shí)，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°
即海監(jiān)船由B處開始沿南偏東至多75°的方向航行能安全通過這一海域．
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2兩實(shí)數(shù)根．
（1）若x1＝1，求x2及m的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，滿足（x1﹣1）（x2﹣1）＝？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）先利用判別式的意義得到m≤5，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，然后利用x1＝1可求出x2和m的值；
（2）利用（x1﹣1）（x2﹣1）＝得到2m﹣1﹣6＝，整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，然后利用m的范圍確定m的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得△＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0，解得m≤5，
x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，
∵x1＝1，
∴1+x2＝6，x2＝2m﹣1，
∴x2＝5，m＝3；
（2）存在．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝，
即2m﹣1﹣6＝，
整理得m2﹣8m+12＝0，解得m1＝2，m2＝6，
∵m≤5且m≠5，
∴m＝2．
22．（10分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E在BC邊上，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB邊于另一點(diǎn)F，且F是的中點(diǎn)，AD是⊙O的一條直徑，連接DE并延長(zhǎng)交AB邊于M點(diǎn)．
（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)CD＝AB時(shí)，求sin∠ACF的值．
【分析】（1）連接DF、EF，根據(jù)圓周角定理得到∠ADF＝∠EDF，進(jìn)而證明∠OFD＝∠EDF，根據(jù)平行線的判定定理得到FC∥DM，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF∥CD，根據(jù)平行四邊形的判定定理證明結(jié)論；
（2）根據(jù)題意得到CD＝2BM，證明△BEM∽△CED，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到EC＝2BE，根據(jù)勾股定理、正弦的定義計(jì)算，得到答案．
【解答】（1）證明：連接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直徑，
∵F是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四邊形AFDC為矩形，
∴AF∥CD，
∴四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形AFDC為矩形，四邊形CDMF為平行四邊形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
設(shè)BM＝a，則CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，F(xiàn)C＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．
23．（10分）某公司電商平臺(tái)，在2021年五一長(zhǎng)假期間，舉行了商品打折促銷活動(dòng)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價(jià)x，周銷售量y，周銷售利潤(rùn)W（元）的三組對(duì)應(yīng)值數(shù)據(jù)．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）若該商品進(jìn)價(jià)a（元/件），售價(jià)x為多少時(shí)，周銷售利潤(rùn)W最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)；
（3）因疫情期間，該商品進(jìn)價(jià)提高了m（元/件）（m＞0），公司為回饋消費(fèi)者，規(guī)定該商品售價(jià)x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤(rùn)是4050元，求m的值．
【分析】（1）設(shè)y＝kx+b，把x＝40，y＝180和x＝70，y＝90，代入可得解析式．
（2）根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，得W＝（﹣3x+300）（x﹣a），把x＝40，W＝3600，代入上式可得關(guān)系式W＝﹣3（x﹣60）2+4800，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)是有最大值．
（3）根據(jù)根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，得W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），其對(duì)稱軸x＝60+＞60，0＜x≤55時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，只有x＝55時(shí)周銷售利潤(rùn)最大，即可得m＝5．
【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，由題意有：
，
解得，
所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+300；
（2）由（1）W＝（﹣3x+300）（x﹣a），
又由表知，把x＝40，W＝3600，代入上式可得關(guān)系式
得：3600＝（﹣3×40+300）（40﹣a），
∴a＝20，
∴W＝（﹣3x+300）（x﹣20）＝﹣3x2+360x﹣6000＝﹣3（x﹣60）2+4800，
所以售價(jià)x＝60時(shí)，周銷售利潤(rùn)W最大，最大利潤(rùn)為4800；
（3）由題意W＝﹣3（x﹣100）（x﹣20﹣m）（x≤55），
其對(duì)稱軸x＝60+＞60，
∴0＜x≤55時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴只有x＝55時(shí)周銷售利潤(rùn)最大，
∴4050＝﹣3（55﹣100）（55﹣20﹣m），
∴m＝5．
24．（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)Q為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）過點(diǎn)Q作PQ∥AC交拋物線的第四象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAQ與△PBQ面積分別為S1，S2，設(shè)S＝S1+S2，求點(diǎn)P坐標(biāo)，使得S最大，并求此最大值．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入，即可求得答案；
（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′，QO′，CO′，BO′，由O、O′關(guān)于直線BC對(duì)稱，得出四邊形BOCO′是正方形，根據(jù)|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，得出答案；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC、AC、PQ的解析式，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），聯(lián)立方程組，得：，求得Q（，），再運(yùn)用三角形面積公式求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入，
得：﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接AO′，QO′，CO′，BO′，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵O、O′關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴BC垂直平分OO′，
∴OO′垂直平分BC，
∴四邊形BOCO′是正方形，
∴O′（3，﹣3），
在Rt△ABO′中，|AO′|＝＝＝5，
∵|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|＝|QO|，
∴|QO|+|QA|＝|QA|+|QO′|≥|AO′|＝5，即點(diǎn)Q位于直線AD與直線BC交點(diǎn)時(shí)，|QO|+|QA|有最小值5；
（3）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+d，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣3x﹣3，
∵PQ∥AC，
∴直線PQ的解析式可設(shè)為y＝﹣3x+b，
由（1）可設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），代入直線PQ的解析式，
得：m2﹣2m﹣3＝﹣3m+b，
解得：b＝m2+m﹣3，
∴直線PQ的解析式為y＝﹣3x+m2+m﹣3，
聯(lián)立方程組，得：，
解得：，
∴Q（，），
由題意：S＝S△PAQ+S△PBQ＝S△PAB﹣S△QAB，
∵P，Q都在第四象限，
∴P，Q的縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，
∴S＝|AB|?（﹣m2+2m+3）﹣|AB|?（﹣）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
由題意，得0＜m＜3，
∴m＝時(shí)，S最大，
即P（，﹣）時(shí)，S有最大值．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100

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