開放探究型問題最常見的是命題中缺少一定的條件或無明確的結(jié)論,要求添加條件或概括結(jié)論,或者是給定條件,判斷結(jié)論存在與否的問題.近幾年來出現(xiàn)了一些根據(jù)提供的材料,按自己的喜好自編問題并加以解決的試題.開放探究型問題具有較強(qiáng)的綜合性,既能充分地考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度,又能較好地考查學(xué)生觀察、分析、比較、概括的能力,發(fā)散思維能力和空間想象能力等,體現(xiàn)了學(xué)生的自主性,符合課程標(biāo)準(zhǔn)的理念,所以近幾年來此類題目成為中考命題的熱點(diǎn).開放探究型問題涉及知識(shí)面廣,要求解題者有較強(qiáng)的解題能力和思維能力,有時(shí)還需要一定的語言表達(dá)能力和說理能力.
開放探究型問題通常有條件開放、結(jié)論開放、條件結(jié)論都開放等類型;就探究而言,可歸納為探究條件型、探究結(jié)論型、探究結(jié)論存在與否型及歸納探究型四種.
探究條件型是指根據(jù)問題提供的殘缺條件添補(bǔ)若干個(gè)條件,使結(jié)論成立.解決此類問題的一般方法是:根據(jù)結(jié)論成立所需要的條件增補(bǔ)條件,此時(shí)要注意已有的條件及由已有的條件推導(dǎo)出來的條件,不可有重復(fù)條件,也不能遺漏條件.探究結(jié)論型問題是指根據(jù)題目所給的已知條件進(jìn)行分析、推斷,推導(dǎo)出一個(gè)與已知條件相關(guān)的結(jié)論.解決此類問題的關(guān)鍵是對(duì)已知的條件進(jìn)行綜合推理,導(dǎo)出新的結(jié)論.探究結(jié)論存在型問題的解法一般是先假定存在,然后結(jié)合現(xiàn)有的條件進(jìn)行推理,最后推導(dǎo)出問題的解或矛盾再加以說明.歸納探究型問題是指給出一些條件和結(jié)論,通過歸納、總結(jié)、概括,由特殊猜測(cè)一般的結(jié)論或規(guī)律,解決此類問題的一般方法是對(duì)由特殊得到的結(jié)論進(jìn)行合理猜想,并進(jìn)行驗(yàn)證.
條件開放問題主要是指問題的條件開放,即:問題的條件不完備或滿足結(jié)論的條件不唯一,解決此類問題的思路是從所給結(jié)論出發(fā),逆向探索,逐步探尋合乎要求的一些條件,從而進(jìn)行邏輯推理證明,確定滿足結(jié)論的條件.
【例1】 如圖,已知點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上,FB=CE,AC=DF.能否由上面的已知條件證明AB∥ED?如果能,請(qǐng)給出證明;如果不能,請(qǐng)從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件,添加到已知條件中,使AB∥ED成立,并給出證明.供選擇的三個(gè)條件(請(qǐng)從中選擇一個(gè)):①AB=ED;②BC=EF;③∠ACB=∠DFE.
解法一:FB=CE,AC=DF,添加①AB=ED.證明:因?yàn)镕B=CE,所以BC=EF.又AC=DF,AB=ED,所以△ABC≌△DEF.所以∠B=∠E.所以AB∥ED.解法二:FB=CE,AC=DF,添加③∠ACB=∠DFE.證明:因?yàn)镕B=CE,所以BC=EF.又∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF.所以∠B=∠E.所以AB∥ED.
結(jié)論開放問題就是給出問題的條件,根據(jù)已知條件探究問題的結(jié)論,并且將符合條件的結(jié)論一一羅列出來,或者對(duì)相應(yīng)的結(jié)論的“存在性”加以推斷,甚至探究條件變化時(shí)的結(jié)論,這些問題都是結(jié)論開放型問題.解決此類問題要求利用條件大膽而合理地猜想,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論.
條件、結(jié)論開放探究問題
條件、結(jié)論開放探索問題是指條件和結(jié)論都不唯一,此類問題沒有明確的條件和結(jié)論,并且符合條件的結(jié)論具有開放性,它要求學(xué)生通過自己的觀察和思考,將已知的信息集中進(jìn)行分析,通過這一思維活動(dòng)揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系.
【例3】 (1)如圖①,在正方形ABCD中,M是BC邊(不含端點(diǎn)B,C)上任意一點(diǎn),P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),N是∠DCP的平分線上一點(diǎn).若∠AMN=90°,求證:AM=MN.下面給出一種證明的思路,你可以按這一思路證明,也可以選擇另外的方法證明.證明:在邊AB上截取AE=MC,連接ME.∵在正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC,∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.(下面請(qǐng)你完成余下的證明過程)
(2)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”(如圖②), N是∠ACP的平分線上一點(diǎn),則當(dāng)∠AMN=60°時(shí),結(jié)論AM=MN是否還成立?請(qǐng)說明理由.(3)若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X”,請(qǐng)你作出猜想:當(dāng)∠AMN=　　　　　時(shí),結(jié)論AM=MN仍然成立.(直接寫出答案,不需要證明)?
(2)仍然成立.理由:如圖②,在邊AB上截取AE=MC,連接ME.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°,∴∠ACP=120°.∵AE=MC,∴BE=BM,∴∠BEM=∠EMB=60°,∴∠AEM=120°.∵CN平分∠ACP,∴∠PCN=60°,∴∠AEM=∠MCN=120°.∵∠CMN=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠BAM(∠B=∠AMN=60°),∴△AEM≌△MCN,∴AM=MN.
存在探索型問題是指在給定條件下,判斷某種數(shù)學(xué)現(xiàn)象是否存在、某個(gè)結(jié)論是否出現(xiàn)的問題.
【例4】 如圖,拋物線y=ax2+bx(a>0)與雙曲線 相交于點(diǎn)A,B.已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,-2),點(diǎn)A在第一象限內(nèi),且tan∠AOx=4.過點(diǎn)A作直線AC∥x軸,交拋物線于點(diǎn)C.(1)求雙曲線和拋物線的解析式.(2)計(jì)算△ABC的面積.(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使△ABD的面積等于△ABC的面積?若存在,請(qǐng)你寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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