1．三角形【例1】(2020·牡丹江)在等腰△ABC中，AB＝BC，點D，E在射線BA上，BD＝DE，過點E作EF∥BC，交射線CA于點F.請解答下列問題：
(1)當點E在線段AB上，CD是△ACB的角平分線時，如圖①，求證：AE＋BC＝CF；(2)當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，如圖②；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，如圖③，請直接寫出線段AE，BC，CF之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；(3)在(1)、(2)的條件下，若DE＝2AE＝6，求CF的值．
【分析】(1)利用AAS證明△MED≌△CBD，得到ME＝BC，再根據(jù)角平分線和平行的性質(zhì)證明CF＝MF，AE＝EF，從而得證；(2)延長CD，EF交于點M.同(1)可通過證△MED≌△CBD進而求解；(3)先求出AE，AB，即可利用線段的和差求出答案．
(1)證明：∵AB＝BC，EF∥BC，∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，∴AE＝EF，∵MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD(AAS)，∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；
(2)解：當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的角平分線時，BC＝AE＋CF，如圖①，延長CD，EF交于點M.由(1)同理可證△MED≌△CBD(AAS)，∴ME＝BC，由(1)證明過程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；當點E在線段BA的延長線上，CD是△ACB的外角平分線時，AE＝CF＋BC.如圖②，延長CD交EF于點M，由上述證明過程易得△MED≌△CBD(AAS)，BC＝EM，又∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，∵EF∥BC，∴∠F＝∠FCB，∠FMC＝∠MCE，∴EF＝AE，CF＝FM，∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC；
(3)解：CF＝18或CF＝6，當DE＝2AE＝6時，題圖①中，由(1)得：AE＝3，BC＝AB＝BD＋DE＋AE＝15，∴CF＝AE＋BC＝3＋15＝18；題圖②中，由(2)得：AE＝AD＝3，BC＝AB＝BD＋AD＝9，∴CF＝BC－AE＝9－3＝6；題圖③中，DE小于AE，故不存在．故答案為18或6.
1．(2020·襄陽)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交邊BC于點F，連接CE.(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖①，當AD＝AF時，①求證：BD＝CF；②推斷：∠ACE＝____°；
(1)①證明：如題圖①，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF；(2)解：∠ACE的度數(shù)為定值且∠ACE＝90°.理由：∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四點共圓，∴∠ADE＋∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°；
2．(鐵嶺模擬)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC邊上一點，經(jīng)過點D的直線與射線AB和射線AC分別交于點N和點M，且BN＝CM，作ME⊥BC，垂足為點E.(1)如圖①，當∠BAC＝60°時，直接寫出DE和BC的數(shù)量關(guān)系：________________；(2)如圖②，當∠BAC≠60° 時，(1)中DE和BC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？判斷并證明；(3)若∠BAC＝30°，BC＝4, ∠MDC＝45° 時，直接寫出AN的長度．
3．(2020·泰安)小明將兩個直角三角形紙片如圖①那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖②的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：(1)當點F為線段CE的中點時，連接DF(如圖②)，小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF.你認為此結(jié)論是否成立？____；(填“是”或“否”)
拓展延伸：(2)將(1)中的條件與結(jié)論互換，即：若BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；問題解決：(3)若AB＝6，CE＝9，求AD的長．
解：(1)是；【解法提示】如題圖②，∵∠EDC＝90°，F(xiàn)D為邊E的中線，∴DF＝CF，∴∠FCD＝∠FDC，∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°，∵BA＝BD，∴∠A＝∠ADB，∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC，∴∠ADB＋∠FDC＝90°，∴∠FDB＝90°，∴BD⊥DF；
(2)結(jié)論成立：理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC＋∠CDF＝90°，∠EDF＋∠CDF＝90°，∴∠BDC＝∠EDF，∵AB＝BD，∴∠A＝∠BDC，∴∠A＝∠EDF，∵∠A＋∠ACB＝90°，∠E＋∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴∠A＝∠E，∴∠E＝∠EDF，∴EF＝FD，∵∠E＋∠ECD＝90°，∠EDF＋∠FDC＝90°，∴∠FCD＝∠FDC，∴FD＝FC，∴EF＝FC，∴點F是EC的中點；
2.四邊形【例2】(錦州模擬)已知在四邊形ABCD中，對角線的交點為O，E是OC上的一點，過點A作AG⊥BE于點G，AG，BD交于點F.(1)如圖①，若四邊形ABCD是正方形，求證：OE＝OF；(2)如圖②，若四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°.探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖③，若四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠ABC＝α，且AC⊥BD.結(jié)合上面的活動經(jīng)驗，探究線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系為________________________(直接寫出答案).
OF＝tan(α－45°)OE
1．(阜新模擬)在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，點P，E分別是直線BD，BC上的點，且PE＝PC，過點E作EF∥AC交直線BD于點F.(1)如圖①，當∠COD＝90°時，△BEF的形狀是__________________；(2)如圖②，當點P在線段BO上時，求證：OP＝BF；(3)當∠COD＝60°，CD＝3時，請直接寫出當△PEF為直角三角形時的面積．
(1)解：如圖，在BC上取一點G，使得CG＝BE，連接OB，OC，OG.∵點O為正方形ABCD的中心，∴ OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°.∴△OBE≌△OCG(SAS).∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周長等于BC的長，∴ EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS)，∴∠EOF＝∠GOF＝45°；
(2)證明：∵ 點O為正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG, ∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴ ∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴ △AOE∽△CFO；
3．(2020·昆明)如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．(1)求證：四邊形AEFD是矩形；(2)如圖②，點P是邊AD上一點，BP交EF于點O，點A關(guān)于BP的對稱點為點M，當點M落在線段EF上時，則有OB＝OM.請說明理由；(3)如圖③，若點P是射線AD上一點，點A關(guān)于BP的對稱點為點M，連接AM，DM，當△AMD是等腰三角形時，求AP的長．
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝EB，DF＝FC，∴AE＝DF，AE∥DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵∠A＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；(2)解：如圖①，連接PM，BM.∵四邊形AEFD是矩形，∴EF∥AD，∵BE＝AE，∴BO＝OP，由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，∴OM＝OB＝OP；
(1)①解：△AFG是等腰三角形．理由：如圖①，∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵DF⊥AE，∴∠AHF＝∠AHG＝90°，∵AH＝AH，∴△AHF≌△AHG(ASA)，∴AF＝AG，∴△AFG是等腰三角形；

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