課時(shí)訓(xùn)練14　數(shù)列求和一、分組求和1.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.15 B.12 C.-12 D.-15答案:A解析:∵an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+n+2n(n∈N*),則an為(　　)A.+2n-1-1 B.+2n-1C.+2n+1-1 D.+2n+1-1答案:B解析:∵an+1=an+n+2n,∴an+1-an=n+2n.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(1+2)+(2+22)+…+[(n-1)+2n-1]=1+[1+2+3+…+(n-1)]+(2+22+…+2n-1)=1++2n-1.3.(2015廣東湛江高二期末,19)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a5=5,d=1;數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,b4=16,q=2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式an,bn;(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a5=5,d=1,∴a1+4=5,解得a1=1,∴an=1+(n-1)×1=n.∵數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,b4=16,q=2,∴b1·23=16,解得b1=2,∴bn=2×2n-1=2n.(2)∵cn=an+bn=n+2n,∴Tn=(1+2+3+…+n)+(2+22+23+…+2n)=+2n+1-2.二、裂項(xiàng)相消法求和4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,則其前n項(xiàng)和Sn=(　　)A. B.C. D.答案:A解析:∵an==2,∴Sn=a1+a2+…+an=2=2.5.+…+=　　　. 答案:解析:∵,∴+…+=.6.(2015山東省濰坊四縣聯(lián)考,17)等差數(shù)列{an}中,a1=3,其前n項(xiàng)和為Sn.等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),b1=1,且b2+S2=12,a3=b3.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q,由已知可得又q>0,∴∴an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.(2)由(1)知數(shù)列{an}中,a1=3,an=3n,∴Sn=,∴,∴Tn==.三、錯(cuò)位相減法求和7.數(shù)列,…,,…前n項(xiàng)的和為　　　　. 答案:4-解析:設(shè)Sn=+…+, ①Sn=+…+, ②①-②得Sn=+…+=2-.∴Sn=4-.8.(2015湖北高考,文19)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)d>1時(shí),記cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由題意有,即解得故(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1++…+, ①Tn=+…+. ②①-②可得Tn=2++…+=3-,故Tn=6-. (建議用時(shí):30分鐘)1.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.11 B.99 C.120 D.121答案:C解析:∵an=,∴Sn=a1+a2+…+an=(-1)+()+…+()=-1,令-1=10,得n=120.2.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=,其前n項(xiàng)和Sn=,則項(xiàng)數(shù)n等于(　　)A.13 B.10 C.9 D.6答案:D解析:an==1-.∴Sn=n-=n-1+=5+,∴n=6.3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=ncos,其前n項(xiàng)和為Sn,則S2 012等于(　　)A.1 006 B.2 012 C.503 D.0答案:A解析:∵函數(shù)y=cos的周期T==4,∴可分四組求和:a1+a5+…+a2 009=0,a2+a6+…+a2 010=-2-6-…-2 010==-503×1 006,a3+a7+…+a2 011=0,a4+a8+…+a2 012=4+8+…+2 012==503×1 008.故S2 012=0-503×1 006+0+503×1 008=503×(-1 006+1 008)=1 006.4.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則+…+等于(　　)A.(2n-1)2 B.(2n-1)C.4n-1 D.(4n-1)答案:D解析:根據(jù)前n項(xiàng)和Sn=2n-1,可求出an=2n-1,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得{}仍為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為q2,∴+…+=1+22+24+…+22n-2=(4n-1).5.已知數(shù)列{an}:,…,那么數(shù)列{bn}=前n項(xiàng)的和為(　　)A.4 B.4C.1- D.答案:A解析:∵an=,∴bn==4.∴Sn=4=4.6.如果lg x+lg x2+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=　　　　. 答案:2 046解析:由已知(1+2+…+10)lg x=110,∴55lg x=110.∴lg x=2.∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.7.已知等比數(shù)列{an}中,a1=3,a4=81.若數(shù)列{bn}滿足bn=log3an,則數(shù)列的前2 013項(xiàng)的和為　　　　. 答案:解析:=q3=27,∴q=3.∴an=a1·qn-1=3×3n-1=3n.∴bn=log3an=n.∴,∴數(shù)列的前2 013項(xiàng)的和為:+…+=1-.8.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),且當(dāng)n≥3時(shí),a4·a2n-4=102n,則數(shù)列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg an的前n項(xiàng)和Sn等于　　　　　. 答案:1+(n-1)·2n解析:∵{an}是等比數(shù)列,∴a4a2n-4==102n.∴an=10n,∴2n-1lg an=n·2n-1.利用錯(cuò)位相減法求得Sn=1+(n-1)2n.9.正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足:-(2n-1)an-2n=0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;(2)令bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列,所以an=2n.(2)由an=2n,bn=,則bn=,Tn=+…+.10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N*.(1)求an,bn;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n-1.當(dāng)n=1時(shí),4×1-1=3.所以an=4n-1,n∈N*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N*.所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.  

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修5電子課本

2.5 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

版本： 人教版新課標(biāo)A

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