1.4.3  正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析    本節(jié)課的背景是:這之前我們已經(jīng)用了三節(jié)課的時(shí)間學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般來(lái)說(shuō),對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究總是先作圖象,通過(guò)觀察圖象獲得對(duì)函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí),然后再?gòu)拇鷶?shù)的角度對(duì)性質(zhì)作出嚴(yán)格表述.但對(duì)正切函數(shù),教科書(shū)換了一個(gè)新的角度,采取了先根據(jù)已有的知識(shí)(如正切函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正切線等)研究性質(zhì),然后再根據(jù)性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖象.這樣處理,主要是為了給學(xué)生提供研究數(shù)學(xué)問(wèn)題更多的視角,在性質(zhì)的指導(dǎo)下可以更加有效地作圖、研究圖象,加強(qiáng)了理性思考的成分,并使數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得更加全面.教師要在學(xué)生探究活動(dòng)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)這種解決問(wèn)題的方法.    通過(guò)多媒體教學(xué),讓學(xué)生通過(guò)對(duì)圖象的動(dòng)態(tài)觀察,對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加直觀、形象.以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高課題教學(xué)質(zhì)量.從學(xué)生的實(shí)際情況為教學(xué)出發(fā)點(diǎn),通過(guò)各種數(shù)學(xué)思想的滲透,合理運(yùn)用各種教學(xué)課件,逐步培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖象的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)的能力,學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.這樣既加強(qiáng)了類比這一重要數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng),也有利于學(xué)生綜合運(yùn)用能力的提高,有利于學(xué)生把新舊知識(shí)前后聯(lián)系,融會(huì)貫通,提高教學(xué)效果.由于學(xué)生已經(jīng)有了研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),這種經(jīng)驗(yàn)完全可以遷移到對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的研究中,因此,我們可以通過(guò)“探究”提出,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)研究正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟這種遷移與類比的學(xué)習(xí)方法.三維目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)正切函數(shù)的性質(zhì)的研究,注重培養(yǎng)學(xué)生類比思想的養(yǎng)成,以及培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用新舊知識(shí)的能力.學(xué)會(huì)通過(guò)對(duì)圖象的觀察來(lái)整理相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn),學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力.2.在學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用類比的方法,學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì),從而培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能力.3.通過(guò)正切函數(shù)圖象的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生欣賞(中心)對(duì)稱美的能力,激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)科學(xué)、努力學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn):正切函數(shù)性質(zhì)的深刻理解及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課    思路1.(直接導(dǎo)入)常見(jiàn)的三角函數(shù)還有正切函數(shù),前面我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),你能否根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn),以同樣的方法研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)？由此展開(kāi)新課.    思路2.先由圖象開(kāi)始,讓學(xué)生先畫(huà)正切線,然后類比正弦、余弦函數(shù)的幾何作圖法來(lái)畫(huà)出正切函數(shù)的圖象.這也是一種不錯(cuò)的選擇,這是傳統(tǒng)的導(dǎo)入法.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題①我們通過(guò)畫(huà)正弦、余弦函數(shù)圖象探究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).正切函數(shù)是我們高中要學(xué)習(xí)的最后一個(gè)基本初等函數(shù).你能運(yùn)用類比的方法先探究出正切函數(shù)的性質(zhì)嗎？都研究函數(shù)的哪幾個(gè)方面的性質(zhì)？②我們學(xué)習(xí)了正弦線、余弦線、正切線.你能畫(huà)出四個(gè)象限的正切線嗎？③我們知道作周期函數(shù)的圖象一般是先作出長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象,然后向左、右擴(kuò)展,這樣就可以得到它在整個(gè)定義域上的圖象.那么我們先選哪一個(gè)區(qū)間來(lái)研究正切函數(shù)呢？為什么？④我們用“五點(diǎn)法”能簡(jiǎn)捷地畫(huà)出正弦、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,你能畫(huà)出正切函數(shù)的簡(jiǎn)圖嗎？你能類比“五點(diǎn)法”也用幾個(gè)字總結(jié)出作正切簡(jiǎn)圖的方法嗎？    活動(dòng):問(wèn)題①,教師先引導(dǎo)學(xué)生回憶:正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)是從定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性這幾個(gè)方面來(lái)研究的,有了這些知識(shí)準(zhǔn)備,然后點(diǎn)撥學(xué)生也從這幾個(gè)方面來(lái)探究正切函數(shù)的性質(zhì).由于還沒(méi)有作出正切函數(shù)圖象,教師指導(dǎo)學(xué)生充分利用正切線的直觀性.(1)周期性由誘導(dǎo)公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z    可知,正切函數(shù)是周期函數(shù),周期是π.    這里可通過(guò)多媒體課件演示,讓學(xué)生觀察由角的變化引起正切線的變化的周期性,直觀理解正切函數(shù)的周期性,后面的正切函數(shù)圖象作出以后,還可從圖象上觀察正切函數(shù)的這一周期性.(2)奇偶性由誘導(dǎo)公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z    可知,正切函數(shù)是奇函數(shù),所以它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖象還能發(fā)現(xiàn)對(duì)稱點(diǎn)嗎？與正余弦函數(shù)相對(duì)照,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)也是中心對(duì)稱函數(shù),它的對(duì)稱中心是(,0)k∈Z.(3)單調(diào)性    通過(guò)多媒體課件演示,由正切線的變化規(guī)律可以得出,正切函數(shù)在(,)內(nèi)是增函數(shù),又由正切函數(shù)的周期性可知,正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間(+kπ,+kπ),k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).(4)定義域    根據(jù)正切函數(shù)的定義tanα=,顯然,當(dāng)角α的終邊落在y軸上任意一點(diǎn)時(shí),都有x=0,這時(shí)正切函數(shù)是沒(méi)有意義的；又因?yàn)榻K邊落在y軸上的所有角可表示為kπ+,k∈Z,所以正切函數(shù)的定義域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},這個(gè)問(wèn)題不少初學(xué)者很不理解,在解題時(shí)又很容易出錯(cuò),教師應(yīng)提醒學(xué)生注意這點(diǎn),深刻明了其內(nèi)涵本質(zhì).(5)值域    由多媒體課件演示正切線的變化規(guī)律,從正切線知,當(dāng)x大于且無(wú)限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的負(fù)方向無(wú)限延伸;當(dāng)x小于且無(wú)限接近時(shí),正切線AT向Oy軸的正方向無(wú)限延伸.因此,tanx在(,)內(nèi)可以取任意實(shí)數(shù),但沒(méi)有最大值、最小值.因此,正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集R.問(wèn)題②,教師引導(dǎo)學(xué)生作出正切線,并觀察它的變化規(guī)律,如圖1.圖1    問(wèn)題③,正切函數(shù)圖象選用哪個(gè)區(qū)間作為代表區(qū)間更加自然呢？教師引導(dǎo)學(xué)生在課堂上展開(kāi)充分討論,這也體現(xiàn)了“教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體”的新課改理念.有的學(xué)生可能選取了［0,π］作為正切函數(shù)的周期選取,這正是學(xué)生作圖的真實(shí)性的體現(xiàn).此時(shí),教師應(yīng)調(diào)整計(jì)劃,把課件中先作出［-,］內(nèi)的圖象,改為先作出［0,π］內(nèi)的圖象,再進(jìn)行圖象的平移,得到整個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)的圖象,讓學(xué)生觀察思考.最后由學(xué)生來(lái)判斷究竟選用哪個(gè)區(qū)間段內(nèi)的函數(shù)圖象既簡(jiǎn)單又能完全體現(xiàn)正切函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生通過(guò)分析得到先作區(qū)間(-,)的圖象為好.這時(shí)條件成熟,教師引導(dǎo)學(xué)生來(lái)作正切函數(shù)的圖象,如圖2.根據(jù)正切函數(shù)的周期性,把圖2向左、右擴(kuò)展,得到正切函數(shù)y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的圖象,我們稱正切曲線,如圖3.    圖2                   圖3    問(wèn)題④,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察正切曲線,點(diǎn)撥學(xué)生討論思考,只需確定哪些點(diǎn)或線就能畫(huà)出函數(shù)y=tanx,x∈(,)的簡(jiǎn)圖.學(xué)生可看出有三個(gè)點(diǎn)很關(guān)鍵:(,-1),(0,0),(,1),還有兩條豎線.因此,畫(huà)正切函數(shù)簡(jiǎn)圖的方法就是:先描三點(diǎn)(,-1),(0,0),(,1),再畫(huà)兩條平行線x=,x=,然后連線.教師要讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)一畫(huà),這對(duì)今后解題很有幫助.討論結(jié)果:①略.②正切線是AT.③略.④能,“三點(diǎn)兩線”法.提出問(wèn)題    ①請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察正切函數(shù)的圖象特征,由數(shù)及形從正切函數(shù)的圖象討論它的性質(zhì).    ②設(shè)問(wèn):每個(gè)區(qū)間都是增函數(shù),我們可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)嗎？請(qǐng)舉一個(gè)例子.    活動(dòng):問(wèn)題①,從圖中可以看出,正切曲線是被相互平行的直線x=+kπ,k∈Z所隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線組成的.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,這點(diǎn)反應(yīng)了它的哪一性質(zhì)——定義域；并且函數(shù)圖象在每個(gè)區(qū)間都無(wú)限靠近這些直線,我們可以將這些直線稱之為正切函數(shù)的什么線——漸近線；從y軸方向看,上下無(wú)限延伸,得到它的哪一性質(zhì)——值域?yàn)镽；每隔π個(gè)單位,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等,得到它的哪一性質(zhì)——周期π;在每個(gè)區(qū)間圖象都是上升趨勢(shì),得到它的哪一性質(zhì)——單調(diào)性,單調(diào)增區(qū)間是(+kπ,+kπ),k∈Z,沒(méi)有減區(qū)間.它的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,得到是哪一性質(zhì)——奇函數(shù).通過(guò)圖象我們還能發(fā)現(xiàn)是中心對(duì)稱,對(duì)稱中心是(,0),k∈Z.    問(wèn)題②,正切函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).如在區(qū)間(0,π)上就沒(méi)有單調(diào)性.討論結(jié)果:①略.②略.應(yīng)用示例例1 比較大小.(1)tan138°與tan143°；(2)tan()與tan().    活動(dòng):利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小,可以先利用誘導(dǎo)公式將已知角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角,然后再比較大小.教師可放手讓學(xué)生自己去探究完成,由學(xué)生類比正弦、余弦函數(shù)值的大小比較,學(xué)生不難解決,主要是訓(xùn)練學(xué)生鞏固本節(jié)所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),加強(qiáng)類比思想的運(yùn)用.解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上為增函數(shù),∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函數(shù),∴tan<tan.∴-tan>-tan,即tan()>tan().    點(diǎn)評(píng):不要求學(xué)生強(qiáng)記正切函數(shù)的性質(zhì),只要記住正切函數(shù)的圖象或正切線即可.例2 用圖象求函數(shù)y=的定義域.    活動(dòng):如圖4,本例的目的是讓學(xué)生熟悉運(yùn)用正切曲線來(lái)解題.不足之處在于本例可以通過(guò)三角函數(shù)線來(lái)解決,教師在引導(dǎo)學(xué)生探究活動(dòng)中,也應(yīng)以兩種方法提出解決方案,但要有側(cè)重點(diǎn),應(yīng)體現(xiàn)函數(shù)圖象應(yīng)用的重要性.     圖4                 圖5解:由tanx-≥0,得tanx≥,利用圖4知,所求定義域?yàn)椋踜π+,kπ+)(k∈Z).點(diǎn)評(píng):先在一個(gè)周期內(nèi)得出x的取值范圍,然后再加周期即可,亦可利用單位圓求解,如圖5.本節(jié)的重點(diǎn)是正切線,但在今后解題時(shí),學(xué)生哪種熟練就用哪種.變式訓(xùn)練  根據(jù)正切函數(shù)的圖象,寫(xiě)出使下列不等式成立的x的集合.  (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.  解:(1)tanx≥-1,∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;(2)x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.例3 求函數(shù)y=tan(x+)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.    活動(dòng):類比正弦、余弦函數(shù),本例應(yīng)用的是換元法,由于在研究正弦、余弦函數(shù)的類似問(wèn)題時(shí)已經(jīng)用過(guò)換元法,所以這里也就不用再介紹換元法,可以直接將x+作為一個(gè)整體.教師可讓學(xué)生自己類比地探究,只是提醒學(xué)生注意定義域.解:函數(shù)的自變量x應(yīng)滿足x+≠kπ+,k∈Z,即x≠2k+,k∈Z.所以函數(shù)的定義域是{x|x≠2k+,k∈Z}.由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),因此,函數(shù)的周期為2.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得+2k<x<+2k,k∈Z.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(+2k,+2k),k∈Z.    點(diǎn)評(píng):同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一樣,這里可引導(dǎo)學(xué)生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.變式訓(xùn)練  求函數(shù)y=tan(x+)的定義域,值域,單調(diào)區(qū)間,周期性.解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.值域?yàn)?/span>R.由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函數(shù).周期是π,也可看作由y=tanx的圖象向左平移個(gè)單位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的順序排列,并說(shuō)明理由.    活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)y=tanx的單調(diào)性探究解題方法.也可利用單位圓中的正切線探究解題方法.但要提醒學(xué)生注意本節(jié)中活動(dòng)的結(jié)論:正切函數(shù)在定義域內(nèi)的每個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù),但我們不可以說(shuō)正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù).學(xué)生可能的錯(cuò)解有:    錯(cuò)解1:∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.    錯(cuò)解2:∵2和3的終邊在第二象限,∴tan2,tan3都是負(fù)數(shù).∵1和4的終邊分別在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正數(shù).    又∵函數(shù)y=tanx是增函數(shù),且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.    教師可放手讓學(xué)生自己探究問(wèn)題的解法.發(fā)現(xiàn)錯(cuò)解后不要直接糾正,立即給出正確解法,可再讓學(xué)生討論分析找出錯(cuò)的原因.
圖6解法一:∵函數(shù)y=tanx在區(qū)間(,)上是單調(diào)遞增函數(shù),且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如圖6,1,2,3,4的正切函數(shù)線分別是AT1,AT2,AT3,AT4,∴tan2<tan3<tan4<tan1.    點(diǎn)評(píng):本例重在讓學(xué)生澄清正切函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題,這屬于學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn).把正切函數(shù)y=tanx的單調(diào)性簡(jiǎn)單地說(shuō)成“在定義域內(nèi)是增函數(shù)”是不對(duì)的.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1—5.解答:1.在x軸上任取一點(diǎn)O1,以O(shè)1為圓心,單位長(zhǎng)為半徑作圓,作垂直于x軸的直徑,將⊙O1分成左右兩個(gè)半圓,過(guò)右半圓與x軸的交點(diǎn)作⊙O1的切線,然后從圓心O1引7條射線把右半圓分成8等份,并與切線相交,得到對(duì)應(yīng)于,,,0,,,等角的正切線.相應(yīng)地,再把x軸上從到這一段分成8等份.把角x的正切線向右平行移動(dòng),使它的起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合,再把這些正切線的終點(diǎn)用光滑的曲線連結(jié)起來(lái),就得到函數(shù)y=tanx,x∈(,)的圖象.點(diǎn)評(píng):可類比正弦函數(shù)圖象的作法.2.(1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x|+kπ<x<kπ,k∈Z}.點(diǎn)評(píng):只需根據(jù)正切曲線寫(xiě)出結(jié)果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x≠+,k∈Z.點(diǎn)評(píng):可用換元法.4.(1) ;(2)2π.點(diǎn)評(píng):可根據(jù)函數(shù)圖象得解,也可直接由函數(shù)y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.(2)不會(huì).因?yàn)閷?duì)于任何區(qū)間A來(lái)說(shuō),如果A不含有+kπ(k∈Z)這樣的數(shù),那么函數(shù)y=tanx,x∈A是增函數(shù);如果A至少含有一個(gè)+kπ(k∈Z)這樣的數(shù),那么在直線x=+kπ兩側(cè)的圖象都是上升的(隨自變量由小到大).點(diǎn)評(píng):理解正切函數(shù)的單調(diào)性.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)都學(xué)到了哪些知識(shí)方法,有哪些啟發(fā)、收獲.本節(jié)課我們是在研究完正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后,研究的又一個(gè)具體的三角函數(shù),與研究正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)有什么不同?研究正、余弦函數(shù),是由圖象得性質(zhì),而這節(jié)課我們從正切函數(shù)的定義出發(fā)得出一些性質(zhì),并在此基礎(chǔ)上得到圖象,最后用圖象又驗(yàn)證了函數(shù)的性質(zhì).2.(教師點(diǎn)撥)本節(jié)研究的過(guò)程是由數(shù)及形,又由形及數(shù)相結(jié)合,也是我們研究函數(shù)的基本方法,特別是又運(yùn)用了類比的方法、數(shù)形結(jié)合的方法、化歸的方法.請(qǐng)同學(xué)們課后思考總結(jié):這種多角度觀察、探究問(wèn)題的方法對(duì)我們今后學(xué)習(xí)有什么指導(dǎo)意義？作業(yè)課本習(xí)題1.4  A組6、8、9.設(shè)計(jì)感想1.本教案的設(shè)計(jì)背景剛剛學(xué)完正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).因此教案的設(shè)計(jì)主線是始終抓住類比思想這條主線,讓學(xué)生在鞏固原有知識(shí)的基礎(chǔ)上,通過(guò)類比,由學(xué)生自己來(lái)對(duì)新知識(shí)進(jìn)行分析、探究、猜想、證明,使新舊知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地結(jié)合在一起,學(xué)生對(duì)新知識(shí)也較易接受.2.本教案設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)程序是:溫故(相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備)→新的學(xué)習(xí)對(duì)象與舊知識(shí)的聯(lián)系→類比探究→解決問(wèn)題→應(yīng)用成果→歸納總結(jié)→進(jìn)一步的發(fā)散思考→探索提高.  

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修4電子課本

1.5 函數(shù)y=Asin（ωx+ψ）

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 必修4

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