高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修41.2 任意的三角函數(shù)教案設(shè)計-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系整體設(shè)計教學(xué)分析與三角函數(shù)的定義域、符號的確定一樣,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo),緊扣了定義,是按照一切從定義出發(fā)的原則進行的,通過對基本關(guān)系的推導(dǎo),應(yīng)注意學(xué)生重視對基本概念學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣的形成,學(xué)會通過對基本概念的學(xué)習(xí),善于鉆研,從中不斷發(fā)掘更深層次的內(nèi)涵.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式將“同角”的四種不同的三角函數(shù)直接或間接地聯(lián)系起來,在使用時一要注意“同角”,至于角的表達形式是至關(guān)重要的,如sin24π+cos24π=1等,二要注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意義的值,即α≠kπ+,k∈Z. 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一個值便可以運用基本關(guān)系式求出另外的兩個,這是同角三角函數(shù)關(guān)系式的一個最基本功能,在求值時,根據(jù)已知的三角函數(shù)值,確定角的終邊的位置是關(guān)鍵和必要的,有時由于角的終邊的位置不確定,因此解的情況不止一種,解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因一是沒有確定好或不去確定終邊的位置;二是利用平方關(guān)系開方時,漏掉了負的平方根.三維目標(biāo) 1.通過三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,并能運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行三角函數(shù)的化簡與證明. 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要有三個方面的應(yīng)用:(1)求值(知一求二);(2)化簡三角函數(shù)式;(3)證明三角恒等式.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生應(yīng)明了如何進行三角函數(shù)式的化簡與三角恒等式的證明. 3.通過同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用使學(xué)生養(yǎng)成探究、分析的習(xí)慣,提高三角恒等變形的能力,樹立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.重點難點教學(xué)重點:課本的三個公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. 教學(xué)難點:課本的三個公式的推導(dǎo)及應(yīng)用.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.先請學(xué)生回憶任意角的三角函數(shù)定義,然后引導(dǎo)學(xué)生先計算后觀察以下各題的結(jié)果,并鼓勵學(xué)生大膽進行猜想,教師點撥學(xué)生能否用定義給予證明,由此展開新課.計算下列各式的值:(1)sin290°+cos290°;(2)sin230°+cos230°;(3);(4).推進新課新知探究提出問題 ①在以下兩個等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α應(yīng)受什么影響?圖1如圖1,以正弦線MP、余弦線OM和半徑OP三者的長構(gòu)成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM2+MP2=1.因此x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1(等式1).顯然,當(dāng)α的終邊與坐標(biāo)軸重合時,這個公式也成立.根據(jù)三角函數(shù)的定義,當(dāng)α≠kπ+,k∈Z時,有=tanα(等式2).這就是說,同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.②對于同一個角的正弦、余弦、正切,至少應(yīng)知道其中的幾個值才能利用基本關(guān)系式求出其他的三角函數(shù)的值. 活動:問題①先讓學(xué)生用自己的語言敘述同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,然后教師點撥學(xué)生思考這兩個公式的用處.同時啟發(fā)學(xué)生注意“同一個角”這個前提條件,及使等式分別有意義的角的取值范圍.問題②可讓學(xué)生展開討論,點撥學(xué)生從方程的角度進行探究,對思考正確的學(xué)生給予鼓勵,對沒有思路的學(xué)生教師點撥其思考的方法,最后得出結(jié)論“知一求二”.討論結(jié)果:①在上述兩個等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一個等式中,α可以是任意角,在第二個等式中α≠kπ+,k∈Z.②在上述兩個等式中,只要知道其中任意一個,就可以求出其余的兩個.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;進而用第二個等式2求出正切.應(yīng)用示例思路1例1 已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值. 活動:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)生應(yīng)熟練掌握,先讓學(xué)生接觸比較簡單的應(yīng)用問題,明確和正確地應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系.可以引導(dǎo)學(xué)生觀察與題設(shè)條件最接近的關(guān)系式是sin2α+cos2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα?xí)r需要進行開平方運算,因此應(yīng)根據(jù)角α所在的象限確定cosα的符號,在此基礎(chǔ)上教師指導(dǎo)學(xué)生獨立地完成此題.解:因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1-sin2α=1-()2=.又因為α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα==,從而tanα==×()=.點評:本題是直接應(yīng)用關(guān)系求解三角函數(shù)值的問題,屬于比較簡單和直接的問題,讓學(xué)生體會關(guān)系式的用法.應(yīng)使學(xué)生清楚tanα=中的負號來自α是第二象限角,這也是根據(jù)商數(shù)關(guān)系直接運算后的結(jié)果,它不同于在選用平方關(guān)系式的三角函數(shù)符號的確定.例2 已知cosα=,求sinα,tanα的值. 活動:教師先引導(dǎo)學(xué)生比較例1、例2題設(shè)條件的相異處,根據(jù)題設(shè)條件得出角的終邊只能在第二或第三象限. 啟發(fā)學(xué)生思考僅有cosα<0是不能確定角α的終邊所在的象限,它可能在x軸的負半軸上(這時cosα=-1). 解:因為cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么sinα===,tanα==×()=, 如果α是第三象限角,那么sinα=,tanα=. 點評:在已知角的一個三角函數(shù)值但是不知道角所在的象限的時候,應(yīng)先根據(jù)題目條件討論角的終邊所在的象限,分類討論所有的情況,得出所有的解.思路2例1 已知tanα為非零實數(shù),用tanα表示sinα、cosα. 活動:引導(dǎo)學(xué)生思考討論:角的終邊在什么位置;能否直接利用基本關(guān)系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能確定α的終邊不在坐標(biāo)軸上.關(guān)于sinα、cosα、tanα的關(guān)系式只有tanα=,在這個式子中必須知道其中兩個三角函數(shù)值,才能求出第三個,因此像這類問題的求解,不能一步到位,需要公式的綜合應(yīng)用.其步驟是:先根據(jù)條件判斷角的終邊的位置,討論出現(xiàn)的所有情況.然后根據(jù)討論的結(jié)果,利用基本關(guān)系式求解.分情況求出cosα,進而求出sinα.解:因為sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α.又因為tanα=,所以tan2α==.于是=1+tan2α,cos2α=.由tanα為非零實數(shù),可知角α的終邊不在坐標(biāo)軸上,從而cosα=sinα=cosαtanα= 點評:要求學(xué)生靈活運用三角函數(shù)公式進行變形、化簡、求解.需要學(xué)生認(rèn)真細致分析題目的條件,靈活運用公式,需要較高的思維層次.變式訓(xùn)練已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.解:本題仿照上題可以比較順利完成.sinα=tanα=例2 求證: 活動:先讓學(xué)生討論探究證明方法,教師引導(dǎo)思考方向.教材中介紹了兩種證明方法:證法一是從算式一邊到另一邊的證法,算式右邊的非零因式1+sinα,在左邊沒有出現(xiàn),可考慮左邊式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化簡;在證法二中可以這樣分析,要讓算式成立,需證cos2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos2x=1-sin2x,也就是sin2x+cos2x=1,由平方關(guān)系可知這個等式成立,將上述分析過程逆推便可以證得原式成立.證法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是左邊=所以原式成立.證法二:因為(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以教師啟發(fā)學(xué)生進一步探究:除了證法一和證法二外你可否還有其他的證明方法.教師和學(xué)生一起討論,由此可探究出證法三.依據(jù)“a-b=0a=b”來證明恒等式是常用的證明方法,由學(xué)生自己獨立完成.證法三:因為所以點評:這是一道很有訓(xùn)練價值的經(jīng)典例題,教師要充分利用好這個題目.從這個例題可以看出,證明一個三角恒等式的方法有很多.證明一個等式,可以從它的任何一邊開始,證得它等于另一邊;還可以先證得另一個等式成立,從而推出需要證明的等式成立.例3 化簡活動:引導(dǎo)學(xué)生探究:原式結(jié)果為cos440°時是不是最簡形式,還應(yīng)怎么辦?教師引導(dǎo)學(xué)生運用誘導(dǎo)公式一化簡為cos80°,由于cos80°>0,因此=｜cos80°｜=cos80°,此題不難,讓學(xué)生獨立完成.解:原式====cos80°. 點評:恰當(dāng)利用平方關(guān)系和誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式.提醒學(xué)生注意化簡后的簡單的三角函數(shù)式應(yīng)盡量滿足以下幾點:(1)所含的三角函數(shù)種類最少;(2)能求值(指準(zhǔn)確值)的盡量求值;(3)不含特殊角的三角函數(shù)值.變式訓(xùn)練化簡:答案:cos40°-sin40°.點評:提醒學(xué)生注意:1±2sinαcosα=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,這是一個很重要的結(jié)論.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1.sinα=,tanα=.2.當(dāng)φ為第二象限角時,sinφ=,cosφ=當(dāng)φ為第四象限角時,sinφ=,cosφ=.3.當(dāng)θ為第一象限角時,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.當(dāng)θ為第二象限角時,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37.4.(1)cosθtanθ=cosθ=sinθ;(2)5.(1)左=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=右;(2)左=sin2α(sin2α+cos2α)+cos2α=sin2α+cos2α=1=右.課堂小結(jié) 由學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)的方法知識:①同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及成立的條件,②根據(jù)一個任意角的正弦、余弦、正切中的一個值求出其余的兩個值(可以簡稱“知一求二”)時要注意這個角的終邊所在的位置,從而出現(xiàn)一組或兩組或四組(以兩組的形式給出). “知一求二”的解題步驟一般為:先確定角的終邊位置,再根據(jù)基本關(guān)系式求值,若已知正弦或余弦,則先用平方關(guān)系,再用其他關(guān)系求值;若已知正切或余切,則構(gòu)造方程組求值. 教師和學(xué)生一起歸納三角函數(shù)式化簡與三角恒等式的證明的一般方法及應(yīng)注意的問題,并讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)用到的思想方法.作業(yè)1.化簡(1+tan2α)cos2α;2.已知tanα=2,求的值.答案:1.1;2.3.設(shè)計感想公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)課的重點,也是本節(jié)課的難點. 公式的應(yīng)用實際上是求可化為完全平方的三角函數(shù)式的“算術(shù)平方根”的化簡題和證明題,這類問題可按下列情形分別處理: (1)如果這個三角函數(shù)式的值的符號可以確定,則可以根據(jù)算術(shù)平方根的定義直接得到結(jié)果; (2)如果這個三角函數(shù)式的值的符號不可以確定,則可根據(jù)題設(shè)條件,經(jīng)過合理的分類討論得到結(jié)果. 三角函數(shù)式的化簡,體現(xiàn)了由繁到簡的最基本的數(shù)學(xué)解題原則,它不僅需要學(xué)生能熟悉和靈活運用所學(xué)的三角公式,還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式,同時,這類問題還具有較強的綜合性,對其他非三角知識的靈活運用也具有較高的要求,在教學(xué)時要注意進行相關(guān)知識的復(fù)習(xí). 證明恒等式的過程實質(zhì)上就是分析轉(zhuǎn)化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程,證明時常用的方法一般有以下三種: (1)依據(jù)相等關(guān)系的傳遞性,從等式一邊開始,證明它等于另一邊,證明時一般遵循由繁到簡的原則. (2)依據(jù)“等于同量的兩個量相等”證明左、右兩邊等于同一個式子. (3)依據(jù)等價轉(zhuǎn)化思想,證明與原式等價的另一個式子成立,從而推出原式成立.教材上在運用這一方法時使用的是綜合法,初學(xué)恒等式的證明時,運用等價轉(zhuǎn)化的方法可以使證明的思路更清楚一些,實際上,使用綜合法時不一定要求進行等價轉(zhuǎn)化,只需證明等式成立的充分條件即可(教師知道即可),證明方法中分別運用到了分式的基本性質(zhì)和算式的基本性質(zhì).使學(xué)生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函數(shù),為了便于將算式兩邊溝通,可通過“切化弦”使兩邊的三角函數(shù)相同.

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