4-1.2.1任意角的三角函數(shù)（一）教學目的：知識目標：1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義； 2.已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值；3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導公式（一）。能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)； （3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導公式一的推導，提高學生分析、探究、解決問題的能力。    德育目標： （1）使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式； （2）學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號），以及這三種函數(shù)的第一組誘導公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。教學難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來. 教學過程： 一、復(fù)習引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？在Rt△ABC中，設(shè)A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為 ．角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。二、講解新課：   1．三角函數(shù)定義在直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，α終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么（1）比值叫做α的正弦，記作，即； （2）比值叫做α的余弦，記作，即； （3）比值叫做α的正切，記作，即； （4）比值叫做α的余切，記作，即； 說明：①α的始邊與軸的非負半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置； ②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角α，四個比值不以點在α的終邊上的位置的改變而改變大??； ③當時，α的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于，所以無意義；同理當時，無意義；④除以上兩種情況外，對于確定的值α，比值、、、分別是一個確定的實數(shù)， 正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。函   數(shù)定  義  域值  域2．三角函數(shù)的定義域、值域注意： (1)在平面直角坐標系內(nèi)研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合.(2) α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值（或是否有意義）與ox轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān). (3)sin是個整體符號，不能認為是“sin”與“α”的積.其余五個符號也是這樣. (4)任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別: 銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)共建立于相似（直角）三角形的性質(zhì)，“r”同為正值. 所不同的是，銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認識和研究過程. (5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶.3．例題分析例1．求下列各角的四個三角函數(shù)值：                （通過本例總結(jié)特殊角的三角函數(shù)值）（1）；       （2）；            （3）． 解：（1）因為當時，，，所以，    ，     ，       不存在。（2）因為當時，，，所以，      ，      ，      不存在，（3）因為當時，，，所以，      ，      不存在，      ，例2．已知角α的終邊經(jīng)過點，求α的四個函數(shù)值。解：因為，所以，于是；          ；；                    ． 例3．已知角α的終邊過點，求α的四個三角函數(shù)值。解：因為過點，所以，  當；；當；；        ．4．三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標的符號，我們可以得知：①正弦值對于第一、二象限為正（），對于第三、四象限為負（）；②余弦值對于第一、四象限為正（），對于第二、三象限為負（）；③正切值對于第一、三象限為正（同號），對于第二、四象限為負（異號）．說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。練習： 確定下列三角函數(shù)值的符號：（1）；       （2）；    （3）；      （4）．例4．求證：若且，則角是第三象限角，反之也成立。5．誘導公式由三角函數(shù)的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數(shù)值相同。即有：，，其中．，這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0～2π間角的三角函數(shù)值問題．例5．求下列三角函數(shù)的值：（1），  （2），例6．求函數(shù)的值域解： 定義域：cosx?0 ∴x的終邊不在x軸上   又∵tanx?0  ∴x的終邊不在y軸上∴當x是第Ⅰ象限角時，  cosx=|cosx|  tanx=|tanx|  ∴y=2  …………Ⅱ…………,   |cosx|=?cosx  |tanx|=?tanx ∴y=?2…………ⅢⅣ………,      |cosx|=?cosx  |tanx|=tanx ∴y=0四、小    結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：1．任意角的三角函數(shù)的定義；2．三角函數(shù)的定義域、值域；3．三角函數(shù)的符號及誘導公式。 五、鞏固與練習1、教材P15面練習； 2、作業(yè)P20面習題1．２A組第1、2、3（1）（2）（3）題及P21面第9題的（1）、（3）題。    

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1.2 任意的三角函數(shù)

版本： 人教版新課標A

年級： 必修4

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