如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰20000）
解：作夾角的角平分線OC，
截取OD=2.5cm ,D即為所求.
1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)定理及判定定理.
2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，并理解和掌握定理及其逆定理.
3.能夠應(yīng)用這兩個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作PD⊥OA，PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將三次數(shù)據(jù)填入下表：
觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論：_____
實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).
猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D,E.求證：PD=PE.
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.
∵OP 是∠AOB的平分線，
推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè).
PD⊥OA,PE⊥OB，
證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
思考：交換角平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論？這個(gè)新結(jié)論正確嗎？
思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？
已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，且PD=PE.求證：OP平分∠AOB.
∴OP平分∠AOB.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.
OP=OP（公共邊），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
判斷點(diǎn)是否在角平分線上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，
∴ AD平分∠BAC.
又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°，
∴ DE= AD= .
在Rt△ADE 中，∠AED=90°，AD=10，
如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE＝CF.求證：DA平分∠EDF.
證明：證法1：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.在Rt△BED和Rt△CFD中，∵BD＝CD，BE＝CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分線，即∠EAD＝∠FAD.又∵∠ADE＝90°－∠EAD，∠ADF＝90°－∠FAD，∴∠ADE＝∠ADF，即DA平分∠EDF.
證法2：同證法1，可得Rt△BED≌Rt△CFD.∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.又∵BE＝CF，∴AE＝AF.又∵AE⊥DE，AF⊥DF， ∴DA平分∠EDF.
（2020·湘潭）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA，垂足為點(diǎn)D，且PD=3，點(diǎn)M是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為 .
1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=45°,AD是∠CAB的平分線,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.?
2. 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D,AB=10,S△ABD=15,則CD的長(zhǎng)為(　 　)
A.3B.4C.5D.6
3. 如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE,BF分別是∠BAC,∠ABC的平分線, ∠BAC=50°,∠ABC=60°,則∠EAD+∠ACD= (　 　)A.75° B.80°C.85° D.90°
4.如圖所示,在△ABC中,P為BC上一點(diǎn),PR⊥AB,垂足為R,PS⊥AC,垂足為S,AQ=PQ,PR=PS.下面三個(gè)結(jié)論:①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正確的是(　 　)A.①和②B.②和③　C.①和③D.全對(duì)
1、如圖,BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,△ABC的面積是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,則DE=______cm.
2、如圖,△ABC的兩條外角平分線AP,CP相交于點(diǎn)P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,則下列結(jié)論:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是 (　 　)A.1　B.2C.3　D.4
如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4, AB=14.
(1)則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.
解：由角平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，
(2)求△APB的面積.
(3)求?PDB的周長(zhǎng).

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