2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：（1）兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說明：（1）當(dāng)θ＝０時，ａ與ｂ同向；（2）當(dāng)θ＝π時，ａ與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝時，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0?≤?≤180?（2）兩向量共線的判定（3）練習(xí)    1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（  C  ）A.6            B.5            C.7            D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（  B  ）A.-3           B.-1           C.1            D.3（4）力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F與s的夾角.二、講解新課：1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.?探究：1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量？它的符號什么時候為正？什么時候為負(fù)？2、兩個向量的數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別？（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos?的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a?b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0.因為其中cos?有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b?0)，則ab=bc ? a=c.但是a?b = b?c a = c    如右圖：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|，b?c = |b||c|cos? = |b||OA|? a?b = b?c  但a ? c (5)在實數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c)                顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.2．“投影”的概念：作圖                     定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時投影為正值；   當(dāng)?為鈍角時投影為負(fù)值；     當(dāng)?為直角時投影為0；當(dāng)? = 0?時投影為 |b|；      當(dāng)? = 180?時投影為 ?|b|.3．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.探究：兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，1、a?b ? a?b = 02、當(dāng)a與b同向時，a?b = |a||b|；      當(dāng)a與b反向時，a?b = ?|a||b|.  特別的a?a = |a|2或       |a?b| ≤ |a||b|       cos? =     探究：平面向量數(shù)量積的運算律1．交換律：a ? b = b ? a證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?        ∴a ? b = b ? a2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(a)?b =(a?b) = a?(b)證：若> 0，(a)?b =|a||b|cos?， (a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos?，若< 0，(a)?b =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?，(a?b) =|a||b|cos?，a?(b) =|a||b|cos(???) = ?|a||b|(?cos?) =|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c  在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c，  ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即   |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2  ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2， ∴c?(a + b) = c?a + c?b     即：(a + b)?c = a?c + b?c說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ三、講解范例：例1．證明：(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２例2．已知|a|=12， |b|=9，，求與的夾角。例3．已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求：（1）(a+2b)·(a-3b).  （2）|a+b|與|a-b|.   （ 利用   ）    例4．已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 四、課堂練習(xí)：1．P106面1、2、3題。  2．下列敘述不正確的是（   ）A. 向量的數(shù)量積滿足交換律     B. 向量的數(shù)量積滿足分配律C. 向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律     D. a·b是一個實數(shù)3．|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（    ）A.平行         B.垂直       C.夾角為  D.不平行也不垂直  4．已知|a|=8， |b|=10， |a+b|=16，求a與b的夾角.五、小結(jié)：1．平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3．向量垂直的條件.六、作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)二十三。    

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A必修4電子課本

2.1 平面向量的實際背景及基本概念

版本： 人教版新課標(biāo)A

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