中考沖刺：代幾綜合問題—知識(shí)講解（提高） 【鞏固練習(xí)】一、 選擇題1. 如圖，正方形ABCD的邊長為2, 將長為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)．如果點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)A為止，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動(dòng)到點(diǎn)B為止，那么在這個(gè)過程中，線段QF的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為（   ）
　                         
   A. 2        B. 4－       C．         D．2. 如圖，夜晚，小亮從點(diǎn)A經(jīng)過路燈C的正下方沿直線走到點(diǎn)B，他的影長y隨他與點(diǎn)A之間的距離x的變化而變化，那么表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致為（   ）
　　二、填空題3.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，10)，點(diǎn)C在y軸上，且△ABC
是直角三角形，則滿足條件的C點(diǎn)的坐標(biāo)為______________．4.如圖，(n+1)個(gè)邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)△B2D1C1的面積為S1，△B3D2C2
的面積為S2，…，△Bn+1DnCn的面積為Sn，則S2=______________；Sn=__________________
(用含的式子表示）．
                      
 三、解答題5. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點(diǎn)D在BC上，且CD=3cm，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PE∥BC交AD于點(diǎn)E，連接EQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）連接DP，經(jīng)過1秒后，四邊形EQDP能夠成為平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；
（2）連接PQ，在運(yùn)動(dòng)過程中，不論t取何值時(shí)，總有線段PQ與線段AB平行．為什么？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△EDQ為直角三角形．  6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是梯形，OA∥BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)C在y軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)M在OA上運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)．兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止，設(shè)兩個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
  （1）求線段AB的長；當(dāng)t為何值時(shí)，MN∥OC？
  （2）設(shè)△CMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)解析式，并指出自變量t的取值范圍；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？                                                                                                      
    7.條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。?/span>方法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．模型應(yīng)用：（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是　　；（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值．     8.如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=15，OC=9，在AB上取一點(diǎn)M，使得△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在x軸上，記作N點(diǎn)．（1）求N點(diǎn)、M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將拋物線y=x2﹣36向右平移a（0＜a＜10）個(gè)單位后，得到拋物線l，l經(jīng)過點(diǎn)N，求拋物線l的解析式；（3）①拋物線l的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到M、N兩點(diǎn)的距離之差最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O、C重合），過點(diǎn)D作DE∥OA交CN于E，設(shè)CD的長為m，△PDE的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．      9.如圖，直線y=kx﹣1與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，tan∠OCB=．（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)和k的值；（2）若點(diǎn)A（x，y）是第一象限內(nèi)的直線y=kx﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）探索：在（2）的條件下：①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積是；②在①成立的情況下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△POA是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的所有P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．  10.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點(diǎn)A，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A的直線與x軸交于點(diǎn)D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點(diǎn)D開始，沿射線DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)長度單位/秒，在運(yùn)動(dòng)過程中腰FG與直線AD始終重合，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以M、O、H、E為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形；（3）作點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，直線HG與對(duì)稱軸交于點(diǎn)K，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？請(qǐng)直接寫出符合條件的t值．     11.如圖，已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)，△DMN也隨之整體移動(dòng)）．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)利用圖2證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．
       【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B.2.【答案】A. 三、填空題3.【答案】 （0，0），（0，10），（0，2），（0，8）
4．【答案】； ；【解析】由于各三角形為等邊三角形，且各邊長為2，過各三角形的頂點(diǎn)B1、B2、B3…向?qū)呑鞔咕€，垂足為M1、M2、M3，∵△AB1C1是等邊三角形，∴AD1=AC1?sin60°=2×=，∵△B1C1B2也是等邊三角形，∴C1B1是∠AC1B2的角平分線，∴AD1=B2D1=，故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=；作AB∥B1C1，使AB=AB1，連接BB1，則B2，B3，…Bn在一條直線上．∵Bn Cn∥AB，∴==，∴BnDn=?AD=，則DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．△BnCnBn+1是邊長是2的等邊三角形，因而面積是：．△Bn+1DnCn面積為Sn=?=?=．即第n個(gè)圖形的面積Sn=．三、解答題5．【答案與解析】解：（1）能，如圖1，∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，t=1秒，
∴AP=1，BQ=1.25，
∵AC=4，BC=5，點(diǎn)D在BC上，CD=3，
∴PC=AC-AP=4-1=3，QD=BC-BQ-CD=5-1.25-3=0.75，
∵PE∥BC，解得PE=0.75，
∵PE∥BC，PE=QD，
∴四邊形EQDP是平行四邊形；
 （2）如圖2，∵點(diǎn)P以1厘米/秒的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴∴PQ∥AB；（3）分兩種情況討論：
①如圖3，當(dāng)∠EQD=90°時(shí)，顯然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC
∴，
∵BC=5，CD=3，
∴BD=2，
∴DQ=1.25t-2，
∴解得t=2.5（秒）；
②如圖4，當(dāng)∠QED=90°時(shí)，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，則EM=PC=4-t，
在Rt△ACD中，
∵AC=4，CD=3，
∴AD=，
∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴    t=3.1（秒）．
綜上所述，當(dāng)t=2.5秒或t=3.1秒時(shí)，△EDQ為直角三角形．                6.【答案與解析】解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥OA于點(diǎn)D，則四邊形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3
在Rt△ABD中，．
當(dāng)時(shí)，，
，．
∵，，∴，
即（秒）．
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，
∵，
∴，．
即，．
，
．
，
∴
．
即（）．
由，得．
當(dāng)時(shí)，S有最小值，且．7．【答案與解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC垂直平分BD，∴PB=PD，由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=；（2）作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，∵∠AOC=60°∴∠A′OC=120°作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°∵OA′=OA=2∴A′D=∴；（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，連接PR、PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，在Rt△MON中，MN===10．即△PQR周長的最小值等于10． 8.【答案與解析】解：（1）∵CN=CB=15，OC=9，∴ON==12，∴N（12，0）；又∵AN=OA﹣ON=15﹣12=3，設(shè)AM=x∴32+x2=（9﹣x）2，∴x=4，M（15，4）；（2）解法一：設(shè)拋物線l為y=（x﹣a）2﹣36則（12﹣a）2=36∴a1=6或a2=18（舍去）∴拋物線l：y=（x﹣6）2﹣36解法二：∵x2﹣36=0，∴x1=﹣6，x2=6；∴y=x2﹣36與x軸的交點(diǎn)為（﹣6，0）或（6，0）由題意知，交點(diǎn)（6，0）向右平移6個(gè)單位到N點(diǎn)，所以y=x2﹣36向右平移6個(gè)單位得到拋物線l：y=（x﹣6）2﹣36；（3）①由“三角形任意兩邊的差小于第三邊”知：P點(diǎn)是直線MN與對(duì)稱軸x=6的交點(diǎn)，設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，則 ，解得 ，∴y=x﹣16，∴P（6，﹣8）；②∵DE∥OA，∴△CDE∽△CON，∴；∴S=∵a=﹣＜0，開口向下，又m=﹣∴S有最大值，且S最大=﹣． 9.【答案與解析】   解： （1）∵y=kx﹣1與y軸相交于點(diǎn)C，∴OC=1；∵tan∠OCB=，∴OB=；∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：；把B點(diǎn)坐標(biāo)為：代入y=kx﹣1得：k=2；（2）∵S=，y=kx﹣1，∴S=×|2x﹣1|；∴S=|x﹣|；（3）①當(dāng)S=時(shí)，x﹣=，∴x=1，y=2x﹣1=1；∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，△AOB的面積為；②存在．滿足條件的所有P點(diǎn)坐標(biāo)為：P1（1，0），P2（2，0），P3（，0），P4（，0）． 10.【答案與解析】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（﹣1，0）、C（3，0），∴，解得a=﹣1，b=2，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．（2）在直角梯形EFGH運(yùn)動(dòng)的過程中：①四邊形MOHE構(gòu)成矩形的情形，如圖1所示：此時(shí)邊GH落在x軸上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合．由題意可知，EH，MO均與x軸垂直，且EH=MO=1，則此時(shí)四邊形MOHE構(gòu)成矩形．此時(shí)直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度．過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，則有FN=EH=1，F(xiàn)N∥y軸，∴，即，解得DN=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===，∴t=；②四邊形MOHE構(gòu)成正方形的情形．由圖1可知，OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣﹣1=，即OH≠M(fèi)O，所以此種情形不存在；③四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形，如圖2所示：過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，交GH于點(diǎn)T，過點(diǎn)H作HR⊥x軸于點(diǎn)R．易知FN∥y軸，RN=EF=FT=1，HR=TN．設(shè)HR=x，則FN=FT+TN=FT+HR=1+x；∵FN∥y軸，∴，即，解得DN=（1+x）．∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣（1+x）=﹣x．若四邊形MOHE構(gòu)成菱形，則OH=EH=1，在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，即：（﹣x）2+x2=12，解得x=，∴FN=1+x=，DN=（1+x）=．在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF===3．由此可見，四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形存在，此時(shí)直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度，∴t=3．綜上所述，當(dāng)t=s時(shí)，四邊形MOHE構(gòu)成矩形；當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形MOHE構(gòu)成菱形．（3）當(dāng)t=s或t=s時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．簡(jiǎn)答如下：（注：本題并無要求寫出解題過程，以下僅作參考）由題意可知，AA′=2．以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則GK∥AA′，且GK=AA′=2．①當(dāng)直角梯形位于△OAD內(nèi)部時(shí)，如圖3所示：過點(diǎn)H作HS⊥y軸于點(diǎn)S，由對(duì)稱軸為x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．由SG∥x軸，得，求得AS=，∴OS=OA﹣AS=，∴FN=FT+TN=FT+OS=，易知DN=FN=，在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=；②當(dāng)直角梯形位于△OAD外部時(shí)，如圖4所示：設(shè)GK與y軸交于點(diǎn)S，則GS=SK=1，AS=，OS=OA+AS=．過點(diǎn)F作FN⊥x軸，交GH于點(diǎn)T，則FN=FT+NT=FT+OS=．在Rt△FGT中，F(xiàn)T=1，則TG=，F(xiàn)G=．由TG∥x軸，∴，解得DF=．由于在以上兩種情形中，直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度，則綜上所述，當(dāng)t=s或t=s時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．11.【答案與解析】解：（1）判斷：EN與MF相等 （或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上.（2）成立．證明：連結(jié)DE，DF．   ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC．又∵D，E，F是三邊的中點(diǎn)， ∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE． 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE．       （3）畫出圖形（連出線段NE）， MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）．  

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