（人教版）數(shù)學中考總復習57中考沖刺：方案設(shè)計與決策型問題（提高）珍藏版-試卷下載-教習網(wǎng)

中考沖刺：方案設(shè)計與決策型問題—知識講解（提高）【中考展望】方案設(shè)計與決策型問題對于考查學生的數(shù)學創(chuàng)新應(yīng)用能力非常重要．如讓學生設(shè)計圖形、設(shè)計測量方案、設(shè)計最佳方案等都是近年考查的熱點，題目多以解答題為主．方案設(shè)計與決策型問題是近幾年的熱點試題，主要利用圖案設(shè)計或經(jīng)濟決策來解決實際問題．題型主要包括：1．根據(jù)實際問題拼接或分割圖形；2．利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進行比較等．方案設(shè)計與決策問題就是給解題者提供一個問題情境，要求解題者利用所學的數(shù)學知識解決問題，這類問題既考查動手操作的實踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起高度重視．【方法點撥】解答決策型問題的一般思路，是通過對題設(shè)信息進行全面分析、綜合比較、判斷優(yōu)劣，從中尋找到適合題意的最佳方案．解題策略：建立數(shù)學模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計模型等，依據(jù)所建的數(shù)學模型求解，從而設(shè)計方案，科學決策. 【典型例題】類型一、利用方程（組）進行方案設(shè)計 1．國務(wù)院總理溫家寶2011年11月16日主持召開國務(wù)院常務(wù)會議，會議決定建立青海三江源國家生態(tài)保護綜合實驗區(qū)．現(xiàn)要把228噸物資從某地運往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如表：運往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）大貨車７２０８００小貨車５００６５０（1）求這兩種貨車各多少輛？（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，前往甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資不少于120噸，請你設(shè)計出使總運費最少的貨車調(diào)配方案，并求出最少總運費．【思路點撥】（1）設(shè)大貨車用x輛，則小貨車用18－x輛，根據(jù)運輸228噸物資，列方程求解；（2）設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為（8－a）輛，前往甲地的小貨車為（9－a）輛，前往乙地的小貨車為[10－（9－a）]輛，根據(jù)表格所給運費，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式；（3）結(jié)合已知條件，求a的取值范圍，由（2）的函數(shù)關(guān)系式求使總運費最少的貨車調(diào)配方案.【答案與解析】解：（1）設(shè)大貨車用x輛，小貨車用y輛，根據(jù)題意得，解得答：大貨車用8輛，小貨車用10輛．（2）根據(jù)題意，得w=720a+800（8-a）+500（9-a）+650[10-（9-a）]=70a+11550，∴w=70a+11550（0≤a≤8且為整數(shù)）.（3）16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且為整數(shù)，而w=70a+11550，k=70＞0，w隨a的增大而增大，∴當a=5時，w最小，最小值為W=70×5+11550=11900（元）答：使總運費最少的調(diào)配方案是：5輛大貨車，4輛小貨車前往甲地；3輛大貨車，6輛小貨車前往乙地．最少運費為11900元．【總結(jié)升華】這是一道典型的三個“一次”攜手結(jié)伴的中考試題，把一元一次方程（組）、一元一次不等式和一次函數(shù)有機地結(jié)合起來，和諧搭配，形成知識系統(tǒng)化、習題系列化，可謂“一石三鳥”. 類型二、利用不等式（組）進行方案設(shè)計【高清課堂：方案設(shè)計與決策型問題例3】2．某園林部門決定利用現(xiàn)有的349盆甲種花卉和295盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側(cè)．已知搭配一個A種造型需甲種花卉8盆，乙種花卉4盆；搭配一個B種造型需甲種花卉5盆，乙種花卉9盆．(l）某個課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設(shè)計，問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設(shè)計出來；(2）若搭配一個A種造型的成本是200元，搭配一個B種造型的成本是360元，試說明（1）中哪種方案成本最低，最低成本是多少元？【思路點撥】根據(jù)甲種花卉不超過349盆，乙種花卉不超過295盆，列出不等式組A、B兩種園藝造型，求出設(shè)計方案種類.分別結(jié)算出各種方案所需成本，選出最低成本的方案.【答案與解析】解：⑴設(shè)搭建A種園藝造型x個，則搭建B種園藝造型（50-x）個.根據(jù)題意得解得，∵x為整數(shù)，
∴x=31，32，33．
∴可設(shè)計三種搭配方案：
方案1：A種園藝造型31個，B種園藝造型19個；
方案2：A種園藝造型32個，B種園藝造型18個；
方案3：A種園藝造型33個，B種園藝造型17個．⑵∵B種造型的造價成本高于A種造型成本，
∴B種造型越少，成本越低，故應(yīng)選擇方案3，成本最低．則應(yīng)該搭配A種33個，B種17個.最低成本為：33×200+17×360=12720（元）答：應(yīng)選擇方案3成本最低，最低成本為12720元．【總結(jié)升華】本題考查了一元一次不等式組的實際應(yīng)用，也可列出成本和搭配A種造型數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)的性質(zhì)求解;或直接算出三種方案的成本進行比較也可. 對于方案設(shè)計類問題，結(jié)合列方程（組）或不等式（組）解決. 舉一反三：【變式】榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售，經(jīng)與春晨運輸公司協(xié)商，計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共6輛，用這6輛汽車一次將貨物全部運走，其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸，每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸．已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元；租用2輛甲型汽車和l輛乙型汽車共需費用2450元．且同一種型號汽車每輛租車費用相同．(1)求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費用分別是多少元?(2)若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元．通過計算求出該公司有幾種租車方案?請你設(shè)計出來，并求出最低的租車費用．【答案】(1)設(shè)租用一輛甲型汽車的費用是x元，租用一輛乙型汽車的費用是y元．由題意得解得答：租用一輛甲型汽車的費用是800元，租用一輛乙型汽車的費用是850元．(2)設(shè)租用甲型汽車z輛，則租用乙型汽車(6-z)輛．由題意得解得2≤x≤4．由題意知，z為整數(shù)，∴ z＝2或z＝3或z＝4．∴ 共有3種方案，分別是：方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛．方案一的費用是800×2+850×4＝5000(元)；方案二的費用是800×3+850×3＝4950(元)；方案三的費用是800×4+850×2＝4900(元)．5000＞4950＞4900，所以最低運費是4900元．答：共有3種方案，分別是：方案一：租用甲型汽車2輛，租用乙型汽車4輛；方案二：租用甲型汽車3輛，租用乙型汽車3輛；方案三：租用甲型汽車4輛，租用乙型汽車2輛．最低運費是4900元．類型三、利用方程（組）、不等式（組）綜合知識進行方案設(shè)計3．為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機，某商店決定購進A、B兩種藝術(shù)節(jié)紀念品．若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要950元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品6件，需要800元．(1)求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？(2)若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀念品的資金不少于7500元，但不超過7650元，那么該商店共有幾種進貨方案？(3)若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第(2)問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【思路點撥】這是一道融三個“一次”為一體的綜合性應(yīng)用題，體現(xiàn)了任何數(shù)學知識不是片面、孤立存在的，而是相互依賴、相互聯(lián)系和相互作用的數(shù)學意識. 【答案與解析】解：（1）設(shè)該商店購進一件A種紀念品需要a元，購進一件B種紀念品需要b元.根據(jù)題意得方程組解方程組，得∴購進一件A種紀念品需要100元，購進一件B種紀念品需要50元.（2）設(shè)該商店購進A種紀念品x件，則購進B種紀念品有（100—x）件.∴解得50≤x≤53.∵x為正整數(shù),∴x可取50,51,52,53.∴共有4種進貨方案.（3）設(shè)所獲利潤為y元，根據(jù)題意，有y=20x+30（100-x）=-10x+3000.∵-10＜0，∴y隨x的增大而減小，∴x=50時，y最大值=-50×10+3000=2500(元).∴當購進A種紀念品50件，B種紀念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元.【總結(jié)升華】只要我們弄清了三個“一次”之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建其模型，把握題型規(guī)律，梳理相關(guān)信息，就會輕松、有效地解決這類問題. 舉一反三：【變式】為了解決農(nóng)民工子女就近入學問題，我市第一小學計劃2012年秋季學期擴大辦學規(guī)模．學校決定開支八萬元全部用于購買課桌凳、辦公桌椅和電腦，要求購買的課桌凳與辦公桌椅的數(shù)量比為20∶1，購買電腦的資金不低于16000元，但不超過24000元．已知一套辦公桌椅比一套課桌凳貴80元，用2000元恰好可以買到10套課桌凳和4套辦公桌椅(課桌凳和辦公桌椅均成套購進)．(1)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為多少元？(2)求出課桌凳和辦公桌椅的購買方案．【答案】解：(1)設(shè)一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為x元、y元，則，解得. 答：一套課桌凳和一套辦公桌椅的價格分別為120元，200元．(2)設(shè)購買辦公桌椅m套，則購買課桌凳20m套，由題意有16000≤80000－120×20m－200×m≤24000，解得，21≤m≤24，∵m為整數(shù)，∴m＝22、23、24，有三種購買方案，具體方案如下表：方案一方案二方案三課桌凳(套)440460480辦公桌椅(套)222324 類型四、利用函數(shù)知識進行方案設(shè)計4．某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為3000元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價均不低于2600元．(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元?(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲的利潤為y元，求y(元)與x(件)之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元?(其它銷售條件不變)【思路點撥】（1）設(shè)件數(shù)為x，則銷售單價為3000-10（x-10）元，根據(jù)銷售單價恰好為2600元，列方程求解.（2）由利潤y=銷售單價×件數(shù)，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三種情況列出函數(shù)關(guān)系式.（3）由（2）的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求利潤的最大值，并求出最大值時x的值，確定銷售單價. 【答案與解析】解：（1）設(shè)件數(shù)為x，依題意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50.答：商家一次購買這種產(chǎn)品50件時，銷售單價恰好為2600元.（2）當0≤x≤10時，y=（3000－2400）x=600x；當10＜x≤50時，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；當x＞50時，y=（2600－2400）x=200x.∴.（3）由y=－10x2+700x可知拋物線開口向下，當時，利潤y有最大值，此時，銷售單價為3000－10（x－10）=2750元，答：公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為2750元.【總結(jié)升華】本題考查了二次函數(shù)的運用．關(guān)鍵是明確銷售單價與銷售件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，會表達單件的利潤及總利潤．類型五、利用幾何知識進行方案設(shè)計5．某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所飲水站，由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處．如圖所示，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段(村子和公路的寬均不計)，點M表示這所中學．點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的km處．為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村(線段CD某處)，甲村要求管道鋪設(shè)到A處，請你在圖①中，畫出鋪設(shè)到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村(線段AB某處)，請你在圖②中，畫出鋪設(shè)到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值．綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設(shè)的管道最短？【思路點撥】本題以緊密聯(lián)系學生生活的“將軍飲馬”問題為原型，情景設(shè)計合理，設(shè)問層次分明，可以參照“將軍飲馬”問題來解決該題.【答案與解析】解：方案一：由題意可得：MB⊥OB，∴點M到甲村的最短距離為MB．∵點M到乙村的最短距離為MD．∴將供水站建在點M處時，管道沿MD、MB線路鋪設(shè)的長度之和最?。?/span>即最小值為MB+MD＝．方案二：如答圖①，作點M關(guān)于射線OE的對稱點M′，則MM′＝2ME，連接AM′交OE于點P，則PEAM．∵AM＝2BM＝5，∴PE＝3．在Rt△DME中，∵DE＝DM·sin60°＝，．∴PE＝DE．∴P、D兩點重合．即AM′過D點．在線段CD上任取一點P′，連接P′A，P′M，P′M′，則P′M＝P′M′．∵AP′－P′M′＞AM′．∴把供水站建在乙村的D點處，管道沿DA、DM線路鋪設(shè)的長度之和最小．即最小值為AD+DM＝AM′＝．方案三：如答圖②，作點M關(guān)于射線OF的對稱點M′，連接GM，則GM′＝GM．作M′N⊥OE于點N，交OF于點G，交AM于點H，∴M′N為點M′到OE的最短距離，即M′N＝GM+GN．在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6．∴MH＝3，∴NE＝MH＝3．∵DE＝3，∴N、D兩點重合，即M′N過D點．在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝．在線段AB上任取一點G′，過G′作G′N′⊥OE于點N′，連接G′M′、G′M．顯然G′M+G′N′＝G′M′+G′N′＞M′D．∴把供水站建在甲村的G處，管道沿GM、GD線路鋪設(shè)的長度之和最小．即最小值為GM+GD＝M′D＝．綜上，∵，∴供水站建在M處，所需鋪設(shè)的管道長度最短．【總結(jié)升華】考查了學生的類比思想、操作、猜想論證和嚴密的數(shù)學思維能力，體現(xiàn)了對過程性目標的考查．舉一反三：【高清課堂：方案設(shè)計與決策型問題例4】【變式】在△ABC中，BC＝a，BC邊上的高h＝2a，沿圖中線段DE、CF將△ABC剪開，分成的三塊圖形恰能拼成正方形CFHG，如圖所示．請你解決如下問題：已知：在銳角△ABC中，BC＝a，BC邊上的高h＝．請你設(shè)計兩種不同的分割方法，將△ABC沿分割線剪開后，所得的三塊圖形恰能拼成一個正方形，畫出分割線及拼接后的圖形．【答案】

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