中考沖刺：方案設(shè)計(jì)與決策型問題—知識講解（基礎(chǔ)） 【中考展望】方案設(shè)計(jì)與決策型問題對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力非常重要．如讓學(xué)生設(shè)計(jì)圖形、設(shè)計(jì)測量方案、設(shè)計(jì)最佳方案等都是近年考查的熱點(diǎn)，題目多以解答題為主．方案設(shè)計(jì)與決策型問題是近幾年的熱點(diǎn)試題，主要利用圖案設(shè)計(jì)或經(jīng)濟(jì)決策來解決實(shí)際問題．題型主要包括：1．根據(jù)實(shí)際問題拼接或分割圖形；2．利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比較等．方案設(shè)計(jì)與決策問題就是給解題者提供一個(gè)問題情境，要求解題者利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題，這類問題既考查動(dòng)手操作的實(shí)踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起高度重視．【方法點(diǎn)撥】解答決策型問題的一般思路，是通過對題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比較、判斷優(yōu)劣，從中尋找到適合題意的最佳方案．解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計(jì)模型等，依據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計(jì)方案，科學(xué)決策.  【典型例題】類型一、利用方程（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì) 1．學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動(dòng)，準(zhǔn)備租用45座大車或30座小車．若租用1輛大車2輛小車共需租車費(fèi)1000元；若租用2輛大車1輛小車共需租車費(fèi)1100元．(1)求大、小車每輛的租車費(fèi)各是多少元；(2)若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費(fèi)用不超過2300元，求最省錢的租車方案．【思路點(diǎn)撥】(1)設(shè)大小車輛租車費(fèi)用分別是x，y元，由題意，列出方程組，求解即可；(2)首先由題分析得出租車總數(shù)為6輛，再列方程組解出取值范圍，分析即可得解．【答案與解析】(1)設(shè)大、小車每輛的租車費(fèi)分別是x、y元．則解得即大、小車每輛的租車費(fèi)分別是400元、300元．(2)240名師生都有座位，租車總輛數(shù)≥6，每輛車上至少要有一名教師，租車總輛數(shù)≤6，故租車總數(shù)為6輛．設(shè)大車輛數(shù)是x輛，則租小車(6－x)輛，則可列方程組解得4≤x≤5.∵x是正整數(shù)，∴x＝4或5.于是有兩種租車方案，方案一：大車4輛，小車2輛，總租車費(fèi)用為2200元；方案二：大車5輛，小車1輛，總租車費(fèi)用為2300元．故最省錢的租車方案是租大車4輛，小車2輛．【總結(jié)升華】考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用.舉一反三：【變式】某班有學(xué)生55人，其中男生與女生的人數(shù)之比為6∶5.(1)求出該班男生與女生的人數(shù)；(2)學(xué)校要從該班選出20人參加學(xué)校的合唱團(tuán)，要求：①男生人數(shù)不少于7人；②女生人數(shù)超過男生人數(shù)2人以上．請問男、女生人數(shù)有幾種選擇方案？【答案】解：(1)設(shè)男生有6x人，則女生有5x人．依題意得：6x＋5x＝55，∴x＝5，∴6x＝30,5x＝25.答：該班男生有30人，女生有25人．(2)設(shè)選出男生y人，則選出的女生為(20－y)人．由題意得：，解得：7≤y<9，∴y的整數(shù)解為：7、8.當(dāng)y＝7時(shí)，20－y＝13，當(dāng)y＝8時(shí)，20－y＝12.答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人． 類型二、利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計(jì)2．溫州享有“中國筆都”之稱，其產(chǎn)品暢銷全球．某制筆企業(yè)欲將n件產(chǎn)品運(yùn)往A，B，C三地銷售，要求運(yùn)往C地的件數(shù)是運(yùn)往A地件數(shù)的2倍，各地的運(yùn)費(fèi)如圖所示．設(shè)安排x件產(chǎn)品運(yùn)往A地．(1)當(dāng)n＝200時(shí)，①根據(jù)信息填表： A地B地C地合計(jì)產(chǎn)品件數(shù)(件)x 2x200運(yùn)費(fèi)(元)30x   ②若運(yùn)往B地的件數(shù)不多于運(yùn)往C地的件數(shù)，總運(yùn)費(fèi)不超過4000元，則有哪幾種運(yùn)輸方案？(2)若總運(yùn)費(fèi)為5800元，求n的最小值． 【思路點(diǎn)撥】(1)①運(yùn)往B地的產(chǎn)品件數(shù)＝總件數(shù)n－運(yùn)往A地的產(chǎn)品件數(shù)－運(yùn)往C地的產(chǎn)品件數(shù)：運(yùn)費(fèi)＝相應(yīng)件數(shù)×一件產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)；②根據(jù)運(yùn)往B地的件數(shù)不多于運(yùn)往C地的件數(shù)，總運(yùn)費(fèi)不超過4000元列出不等式組，求得整數(shù)解的個(gè)數(shù)即可；(2)總運(yùn)費(fèi)＝A產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)＋B產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)＋C產(chǎn)品的運(yùn)費(fèi)，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的增減性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可． 【答案與解析】 (1)①根據(jù)信息填表： A地B地C地合計(jì)產(chǎn)品件數(shù)(件) 200－3x  運(yùn)費(fèi)(元) 1 600－24x50x56x＋1 600②由題意得解得40≤x≤42.∵x為正整數(shù)，∴x＝40或41或42，∴有3種方案，分別為：(ⅰ)A地40件，B地80件，C地80件；(ⅱ)A地41件，B地77件，C地82件；(ⅲ)A地42件，B地74件，C地84件．(2)由題意得30x＋8(n－3x)＋50x＝5800，整理得n＝725－7x.∵n－3x≥0，∴x≤72.5.又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x為正整數(shù)．∵n隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝72時(shí)，n有最小值為221.【總結(jié)升華】考查一次函數(shù)的應(yīng)用，得到總運(yùn)費(fèi)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵，注意結(jié)合自變量的取值n的最小值. 舉一反三：【高清課堂：方案設(shè)計(jì)與決策型問題   例2】【變式】為了保護(hù)環(huán)境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設(shè)備，共花費(fèi)資金54萬元，且每臺乙型設(shè)備的價(jià)格是每臺甲型設(shè)備價(jià)格的75%，實(shí)際運(yùn)行中發(fā)現(xiàn)，每臺甲型設(shè)備每月能處理污水200噸，每臺乙型設(shè)備每月能處理污水160噸，且每年用于每臺甲型設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)為1萬元，每年用于每臺乙型設(shè)備的各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)為1.5萬元.今年該廠二期工程即將完成，產(chǎn)生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩型設(shè)備共8臺用于二期工程的污水處理，要求本次購買資金不超過84萬元，預(yù)計(jì)二期工程完成后每月將產(chǎn)生不少于1300噸污水.（1）請你計(jì)算每臺甲型設(shè)備和每臺乙型設(shè)備的價(jià)格各是多少元？（2）請你求出用于二期工程的污水處理設(shè)備的所有購買方案；（3）若兩種設(shè)備的使用年限都為10年，請你說明在（2）的所有方案中，哪種購買方案的總費(fèi)用最少？（總費(fèi)用＝設(shè)備購買費(fèi)＋各種維護(hù)費(fèi)和電費(fèi)）【答案】解：（1）設(shè)一臺甲型設(shè)備的價(jià)格為x萬元，由題意3x+2×0.75x=54，解得x＝12，∵12×75%＝9，∴一臺甲型設(shè)備的價(jià)格為12萬元，一臺乙型設(shè)備的價(jià)格是9萬元
(2)設(shè)二期工程中,購買甲型設(shè)備a臺,由題意有12a+9(8-a)≤84①；200a+160(8-a)≥1300②，解得：≤a≤4，
由題意a為正整數(shù),∴a＝1,2,3,4     ∴所有購買方案有四種,分別為
方案一:甲型1臺,乙型7臺；方案二:甲型2臺,乙型6臺
方案三:甲型3臺,乙型5臺；方案四:甲型4臺,乙型4臺
(3)設(shè)二期工程10年用于治理污水的總費(fèi)用為W萬元，W=12a+9（8-a）+1×10a+1.5×10（8-a），
化簡得:W=－2a＋192,
∵W隨a的增大而減少     ∴當(dāng)a＝4時(shí),W最?。ㄖ鹨或?yàn)算也可）
∴按方案四甲型購買4臺,乙型購買4臺的總費(fèi)用最少. 類型三、利用方程（組）、不等式（組）綜合知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)3．在實(shí)施“中小學(xué)校舍安全工程”之際，某縣計(jì)劃對A、B兩類學(xué)校的校舍進(jìn)行改造．根據(jù)預(yù)測，改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元．(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍所需資金分別是多少萬元？(2)該縣A、B兩類學(xué)校共有8所需要改造．改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)，若國家財(cái)政撥付資金不超過770萬元，地方財(cái)政投入的資金不少于210萬元，其中地方財(cái)政投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所20萬元和30萬元，請你通過計(jì)算求出有幾種改造方案，每個(gè)方案中A、B兩類學(xué)校各有幾所．【思路點(diǎn)撥】（1）等量關(guān)系為：改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元；改造三所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元；
（2）關(guān)系式為：地方財(cái)政投資A類學(xué)校的總錢數(shù)+地方財(cái)政投資B類學(xué)校的總錢數(shù)≥210；國家財(cái)政投資A類學(xué)校的總錢數(shù)+國家財(cái)政投資B類學(xué)校的總錢數(shù)≤770．【答案與解析】解：(1)設(shè)改造一所A類學(xué)校的校舍需資金x萬元，改造一所B類學(xué)校的校舍需資金y萬元，則，解得.答：改造一所A類學(xué)校的校舍需資金90萬元，改造一所B類學(xué)校的校舍需資金130萬元．(2)設(shè)A類學(xué)校應(yīng)該有a所，則B類學(xué)校有(8－a)所．則，解得，∴1≤a≤3，即a＝1,2,3.答：有3種改造方案：方案一：A類學(xué)校有1所，B類學(xué)校有7所；方案二：A類學(xué)校有2所，B類學(xué)校有6所；方案三：A類學(xué)校有3所，B類學(xué)校有5所．【總結(jié)升華】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．理解“國家財(cái)政撥付的改造資金不超過770萬元，地方財(cái)政投入的資金不少于210萬元”這句話中包含的不等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】為表彰在“締造完美教室”活動(dòng)中表現(xiàn)積極的同學(xué)，老師決定購買文具盒與鋼筆作為獎(jiǎng)品．已知5個(gè)文具盒、2支鋼筆共需100元；4個(gè)文具盒、7支鋼筆共需161元．(1)每個(gè)文具盒、每支鋼筆各多少元？(2)時(shí)逢“五一”，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動(dòng)，具體辦法如下：文具盒“九折”優(yōu)惠；鋼筆10支以上超出部分“八折”優(yōu)惠．若買x個(gè)文具盒需要y1元，買x支鋼筆需要y2元，求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)若購買同一種獎(jiǎng)品，并且該獎(jiǎng)品的數(shù)量超過10件，請你分析買哪種獎(jiǎng)品省錢．【答案】解：(1)設(shè)每個(gè)文具盒x元，每支鋼筆y元，由題意得，解得.答：每個(gè)文具盒14元，每支鋼筆15元．(2)由題意知，y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y1＝14×90%x，即y1＝12.6x.由題意知，買鋼筆10支以下(含10支)沒有優(yōu)惠，故此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y2＝15x.當(dāng)買10支以上時(shí)，超出部分有優(yōu)惠，故此時(shí)的函數(shù)關(guān)系式為y2＝15×10＋15×80%(x－10)，即y2＝12x＋30.(3)當(dāng)y1<y2，即12.6x<12x＋30時(shí)，解得x<50；當(dāng)y1＝y2，即12.6x＝12x＋30時(shí)，解得x＝50；當(dāng)y1>y2，即12.6x>12x＋30時(shí)，解得x>50.綜上所述，當(dāng)購買獎(jiǎng)品等于10件但少于50件時(shí)，買文具盒省錢；當(dāng)購買獎(jiǎng)品等于50件時(shí)，買文具盒和買鋼筆錢數(shù)相等；當(dāng)購買獎(jiǎng)品超過50件時(shí)，買鋼筆省錢． 類型四、利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)4．深圳某科技公司在甲、乙兩地分別生產(chǎn)了17臺、15臺同一種型號的檢測設(shè)備，全部運(yùn)往大運(yùn)賽場A、B兩館，其中運(yùn)往A館18臺、運(yùn)往B館14臺．運(yùn)往A、B兩館的運(yùn)費(fèi)如下表：出發(fā)地　目的地甲地乙地A館800元/臺700元/臺B館500元/臺600元/臺(1)設(shè)甲地運(yùn)往A館的設(shè)備有x臺，請?zhí)顚懴卤?，并求出總運(yùn)費(fèi)y(元)與x(臺)的函數(shù)關(guān)系式；出發(fā)地　目的地甲地乙地A館x(臺)______(臺)B館______(臺)______(臺)(2)要使總運(yùn)費(fèi)不高于20200元，請你幫助該公司設(shè)計(jì)調(diào)配方案，并寫出有哪幾種方案；(3)當(dāng)x為多少時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，最小值是多少？ 【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)甲地、乙地分別生產(chǎn)了17臺、15臺同一種型號的檢測設(shè)備，全部運(yùn)往大運(yùn)賽場A、B兩館，其中運(yùn)往A館18臺、運(yùn)往B館14臺，得出它們之間的等量關(guān)系；
（2）根據(jù)要使總運(yùn)費(fèi)不高于20200元，得出200x+19300≤20200，即可得出答案；
（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性得出一次函數(shù)的最值．【答案與解析】解：(1)出發(fā)地目的地甲地乙地A館x臺(18－x)臺B館(17－x)臺(x－3)臺 依題意，得y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3)，即y＝200x＋19300(3≤x≤17)．(2)∵要使總運(yùn)費(fèi)不高于20200元，∴200x＋19300≤20200，解得x≤.∵3≤x≤17，且設(shè)備臺數(shù)x只能取正整數(shù)，∴x只能取3或4.∴該公司的調(diào)配方案共有2種，具體方案如下：出發(fā)地目的地甲地乙地A館3臺15臺B館14臺0臺 出發(fā)地目的地甲地乙地A館4臺14臺B館13臺1臺(3)由(1)和(2)可知，總運(yùn)費(fèi)y＝200x＋19300(x＝3或x＝4)．由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝3時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最小，最小值為ymin＝200×3＋19300＝19900(元)．【總結(jié)升華】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及不等式的解法和一次函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意用x表示出運(yùn)往各地的臺數(shù)是解決問題的關(guān)鍵． 類型五、利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計(jì)【高清課堂：方案設(shè)計(jì)與決策型問題   例1】5．某區(qū)規(guī)劃修建一個(gè)文化廣場(平面圖形如圖所示),其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓,若整個(gè)廣場的周長為628米，矩形的邊長AB=y米,BC=x米.(注：取π=3.14)(1)試用含x的代數(shù)式表示y；(2)現(xiàn)計(jì)劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等,平均每平方米造價(jià)為428元,在四個(gè)半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖,平均每平方米造價(jià)為400元；①設(shè)該工程的總造價(jià)為W元，求W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計(jì)方案，若不能，請說明理由.③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形的邊BC的長不超過AB長的三分之二，且建設(shè)廣場恰好用完所有資金，問：能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計(jì)方案，若不能，請說明理由.              【思路點(diǎn)撥】（1）把組合圖形進(jìn)行分割拼湊，利用圓的周長計(jì)算公式解答整理即可；（2）①利用組合圖形的特點(diǎn)，算出種植花草和鋪設(shè)鵝卵石各自的面積，進(jìn)一步求得該工程的總造價(jià)即可解答；②利用配方法求得最小值進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論；③建立不等式與一元二次方程，求出答案結(jié)合實(shí)際即可解決問題． 【答案與解析】解：（1）由題意得，πy+πx=628，∵3.14y+3.14x=628，∴y+x=200則y=200﹣x；（2）①W=428xy+400π+400π，=428x（200﹣x）+400×3.14×+400×3.14×，=200x2﹣40000x+12560000；②僅靠政府投入的1千萬不能完成該工程的建設(shè)任務(wù)．理由如下，由①知W=200（x﹣100）2+1.056×107＞107，所以不能；③由題意可知：x≤y即x≤（200﹣x）解之得x≤80，∴0≤x≤80，又題意得：W=200（x﹣100）2+1.056×107=107+6.482×105，整理得（x﹣100）2=441，解得x1=79，x2=121（不合題意舍去），∴只能取x=79，則y=200﹣79=121；所以設(shè)計(jì)方案是：AB長為121米，BC長為79米，再分別以各邊為直徑向外作半圓．【總結(jié)升華】此題利用基本數(shù)量關(guān)系和組合圖形的面積列出二次函數(shù)，運(yùn)用配方法求得最值，進(jìn)一步結(jié)合不等式與一元二次方程解決實(shí)際問題．  

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