中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—知識講解（基礎(chǔ)） 【考綱要求】1. 圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會有下降趨勢，不會有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問題中考查圓的定義及點與圓的位置關(guān)系，對應(yīng)用、創(chuàng)新、開放探究型題目，會根據(jù)當(dāng)前的政治形勢、新聞背景和實際生活去命題，進一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活． 【知識網(wǎng)絡(luò)】   【考點梳理】考點一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念 圓、圓心、半徑、等圓；    弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；    三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點詮釋：等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?/span>2．圓的對稱性    圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；    圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形；    圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定    不在同一直線上的三個點確定一個圓．要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小．4．垂直于弦的直徑    垂徑定理  垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．    推論  平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/span>要點詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個條件有2個成立，則另外3個也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．    注意：(1)(3)作條件時，應(yīng)限制AB不能為直徑．    5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系    定理  在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．    推論  在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角    圓周角定理  在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．    推論1  在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．推論2  半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑．要點詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中． 考點二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點和圓的位置關(guān)系    設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：點P在圓外d＞r；點P在圓上d＝r；    點P在圓內(nèi)d＜r．要點詮釋：圓的確定：①過一點的圓有無數(shù)個，如圖所示．②過兩點A、B的圓有無數(shù)個，如圖所示．③經(jīng)過在同一直線上的三點不能作圓．④不在同一直線上的三點確定一個圓．如圖所示．2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定    切線的判定定理  經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．    (會過圓上一點畫圓的切線)（2）切線的性質(zhì)    切線的性質(zhì)定理  圓的切線垂直于過切點的半徑．（3）切線長和切線長定理    切線長  經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．切線長定理  從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點詮釋：直線是⊙O的切線，必須符合兩個條件：①直線經(jīng)過⊙O上的一點A；②OA⊥．3．圓和圓的位置關(guān)系    (1)基本概念    兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請看下表：要點詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點．    ②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．    ③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個圓的相對運動來理解．    ④“R-r”時，要特別注意，R＞r． 【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系  ID:412074   經(jīng)典例題1】1．已知：如圖所示，在⊙O中，弦AB的中點為C，過點C的半徑為OD．(1)若AB＝，OC＝1，求CD的長；    (2)若半徑OD＝R，∠AOB＝120°，求CD的長. 【思路點撥】      如圖所示，一般的，若∠AOB＝2n°，OD⊥AB于C，OA＝R，OC＝h，則AB＝2R·sin n°＝2n·tan n°＝；CD＝R－h(huán)；的長．【答案與解析】解：∵半徑OD經(jīng)過弦AB的中點C，∴半徑OD⊥AB．(1)∵AB＝，AC＝BC＝．∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝，∴．【總結(jié)升華】 圓的半徑、弦長的一半、弦心距三條線段組成一個直角三角形，其中一個銳角為弦所對圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計算問題．舉一反三：【變式】在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T進攻，當(dāng)甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點(如圖所示)，此時甲是自己直接射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢?(不考慮其他因素)【答案】    解：過M、N、B三點作圓，顯然A點在圓外，    設(shè)MA交圓于C，則∠MAN＜∠MCN．    而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．    因此在B點射門較好．    即甲應(yīng)迅速將球回傳給乙，讓乙射門． 2．如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，弦CM⊥AB，CN是直徑，F(xiàn)是的中點．    (1)求證：CF平分∠NCM；(2)求證：．                                                     【思路點撥】CN為⊙O的直徑．連接AN，可知∠CAN＝90°．∵∠N＝∠B，∴△CAN∽△CHB，則兩個問題均可證．【答案與解析】證明：(1)連接AN．    ∵CN為⊙O的直徑，∴∠CAN＝90°．    ∵∠CHB＝90°，∴∠CAN＝∠CHB．    又∵∠N＝∠B，∴△CAN∽△CHB，∴∠3＝∠4．又∵F是中點，∴∠ACF＝∠BCF，    ∴∠1＝∠2，即CF平分∠NCM．   (2)由(1)得∠3＝∠4，∴．【總結(jié)升華】本題綜合運用了垂徑定理及圓周角定理的相關(guān)知識，由本題要細心領(lǐng)會遇直徑，找90°的圓周角的思想方法．舉一反三：【變式】如圖所示，⊙O是△ABC的外接圓，∠C＝30°，AB＝2 cm，則⊙O的半徑為________cm．  【答案】解：如圖所示，作直徑AD，連接DB，    ∵ AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°．又∵∠D＝∠C＝∠30°，∴AB＝AD．∵AB＝2cm，∴⊙O的半徑為2cm．答案：2 類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用3．如圖所示，AB＝AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，求證：AC與⊙O相切．【思路點撥】AC與⊙O有無公共點在已知條件中沒有說明，因此只能過點O向AC作垂線段OE，長等于⊙O的半徑，則垂足E必在⊙O上，從而AC與⊙O相切．【答案與解析】證明：連接OD，作OE⊥AC，垂足為E，連結(jié)OA．∵AB與⊙O相切于點D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD為⊙O半徑，∴AC與⊙O相切． 【總結(jié)升華】如果已知直線經(jīng)過圓上一點，那么連半徑，證垂直；如果已知直線與圓是否有公共點在條件中并沒有給出，那么作垂直，證半徑．舉一反三：【變式】如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的內(nèi)切圓的半徑．【答案】    解：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為D、E、F，根據(jù)切線長定理可得：    AE＝AF，BF＝BD，CD＝CE，    而AE+CE＝b，CD+BD＝a，AF+BF＝c，    可求．    連接OE、OD，易證OE＝CE．即直角三角形的內(nèi)切圓半徑．      4．如圖所示，已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在OC的延長線上，，∠D＝30°．(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若AC＝6，求AD的長．       【思路點撥】    （1）連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠O的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）得出等邊三角形AOC，求出OA，根據(jù)勾股定理求出AD的長即可．【答案與解析】(1)證明：連接OA，∵，∴∠B＝30°．∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°．∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°．∴AD是⊙O的切線．  (2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝AO＝．【總結(jié)升華】證明直線是圓的切線的方法：①有半徑，證垂直；②有垂直，證半徑． 舉一反三：【變式】如圖所示，半徑OA⊥OB，P是OB延長線上一點，PA交⊙O于D，過D作⊙O的切線交PO于C點，求證：PC＝CD．【答案】證明：連接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．     類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運用5．已知AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過P作⊙O的切線，切點為C，∠APC的平分線交AC于點D，求∠CDP的度數(shù).【思路點撥】連接OC，根據(jù)題意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案與解析】解：連接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC為⊙O的切線，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【總結(jié)升華】本題主要考查切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于做好輔助線構(gòu)建直角三角形，求證∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系  ID:412074   經(jīng)典例題3】6．如圖所示，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于點E，過點E作直線ED⊥AF于點D，交AB的延長線于點C．    (1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若DE＝4，sinC＝，求AE的長．    【思路點撥】      構(gòu)造半徑、半弦、弦心距的直角三角形．【答案與解析】解：(1)證明：連接OE，BF，交于點G，則BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD為⊙O的切線．    (2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四邊形DEGF為矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE＝．【總結(jié)升華】 (1)通過挖掘圖形的性質(zhì)，將分散的條件sinC＝，DE＝4，集中到一個直角三角形中，使問題最終得到解決；    (2)本題第(2)問還可以適當(dāng)改變后進行變式訓(xùn)練，如改為：若DF＝2，sinC＝，求AE的長；    (3)第(2)問還可以過O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝加以解決.

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