（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)41總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算（基礎(chǔ)）珍藏版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算—知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計(jì)算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；
2．結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力，運(yùn)用學(xué)過的知識解決問題的能力.
【知識網(wǎng)絡(luò)】   【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.
　　(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.
　　(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.
　　(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）
　　(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.
2、正多邊形與圓的關(guān)系：
　　(1)將一個圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.
　　(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓.
　（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.
3、正多邊形性質(zhì)：
　　(1)任何正多邊形都有一個外接圓.
　　(2) 正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.
要點(diǎn)詮釋：（1）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.
（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.
考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算
1．圓中有關(guān)計(jì)算
　　圓的面積公式：，周長.
　　圓心角為、半徑為R的弧長.
　　圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.
　　弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.
　　圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.
　　圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點(diǎn)詮釋：
　　(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；
　　(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
　　(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類似，可類比記憶；
　　(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
  【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計(jì)算 1．如圖是一個組合煙花的橫截面，其中16個圓的半徑相同，點(diǎn)A．B．C．D分別是四個角上的圓的圓心，且四邊形ABCD為正方形．若圓的半徑為r，組合煙花的高為h，則組合煙花側(cè)面包裝紙的面積至少需要（接縫面積不計(jì)）（　?。?/span> A．26πrh   B．24rh+πrh         C．12rh+2πrh       D．24rh+2πrh【思路點(diǎn)撥】截面的周長等于12個圓的直徑和1個半徑為r的圓的周長的和，用周長乘以組合煙花的高即可．【答案】D；【解析】解：由圖形知，正方形ABCD的邊長為6r，∴其周長為4×6r=24r，∴截面的周長為：24r+2πr，∴組合煙花的側(cè)面包裝紙的面積為：（24r+2πr）h=24rh+2πrh．故選D．【總結(jié)升華】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)及扇形的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是判斷組合煙花的截面. 舉一反三：【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點(diǎn)與地面的距離是______米．【答案】.      解析：如圖，以三個圓心為頂點(diǎn)等邊三角形O1O2O3的高O1C＝，所以AB＝AO1+O1C+BC＝．【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)4】【變式2】同一個圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長的比是__________.【答案】【高清課堂：正多邊形與圓的有關(guān)證明與計(jì)算自主學(xué)習(xí)2】【變式3】正n邊形的內(nèi)切圓與外接圓的面積之比是(  )A.     B. C. D. 【答案】B. 類型二、正多邊形與圓有關(guān)面積的計(jì)算2．(1)如圖(a)，扇形OAB的圓心角為90°，分別以O(shè)A，OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是( )．A．P＝Q    B．P＞Q    C．P＜Q    D．無法確定    (2)如圖(b)，△ABC為等腰直角三角形，AC＝3，以BC為直徑的半圓與斜邊AB交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是________．(3)如圖(c)，△AOB中，OA＝3cm，OB＝1cm，將△AOB繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△A′OB′，求AB掃過的區(qū)域(圖中陰影部分)的面積．(結(jié)果保留π)【思路點(diǎn)撥】直接使用公式計(jì)算陰影部分面積比較困難時，可采用和差法、轉(zhuǎn)化法、方程法等，有時也需要運(yùn)用變換的觀點(diǎn)來解決問題．【答案與解析】解：(1)陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個圖形面積的和差進(jìn)行計(jì)算：        ；    (2)(轉(zhuǎn)化法“湊整”)利用，則陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為△ACD的面積，等于△ABC面積的一半，答案為；(3)(旋轉(zhuǎn)法)將圖形ABM繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到A′B′M′位置，則．【總結(jié)升華】求陰影面積的幾種常用方 (1)公式法；(2)割補(bǔ)法；（3）旋轉(zhuǎn)法；(4)拼湊法；(5)等積變形法；(6)構(gòu)造方程法．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是(   )A．    B．    C．    D．【答案】      解：如圖，由AB，AC為直徑可得AD⊥BC，則BD＝DC＝6．在Rt△ABD中，，∴ ．      答案選D.3．如圖所示，A是半徑為2的⊙O外一點(diǎn)，OA＝4，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，弦BC∥OA，連AC，求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】圖中的陰影是不規(guī)則圖形，不易直接求出，如果連接OB、OC，由BC∥OA，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBC去求解．【答案與解析】    解：如圖所示，連OB、OC    ∵ BC∥OA．    ∴ △OBC和△ABC同底等高，    ∴ S△ABC＝S△OBC，    ∴     ∵ AB為⊙O的切線，    ∴ OB⊥AB．    ∵ OA＝4，OB＝2，    ∴ ∠AOB＝60°．    ∵ BC∥OA，    ∴ ∠AOB＝∠OBC＝60°．    ∵ OB＝OC，    ∴ △OBC為正三角形．∴ ∠COB＝60°，∴ ．【總結(jié)升華】通過等積替換化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中①可根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換；②可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化．舉一反三：【變式】如圖所示，半圓的直徑AB＝10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影部分的面積等于________．      【答案】解：連接OC、OD、CD．    ∵ C、D為半圓的三等分點(diǎn)，    ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝．    又∵ OC＝OD，    ∴ ∠OCD＝∠ODC＝60°，∴ DC∥AB，    ∴ ，∴ ．       4．如圖所示，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的上，若OA＝1，∠1＝∠2，則扇形OEF的面積為（    ） A．    B．   C．    D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)弧長公式面積公式，看已知什么條件，還缺什么條件，如何求出所缺條件．【答案與解析】解：連接OB，由四邊形OABC為菱形，可得OC＝CB＝OB，∴ △OBC為等邊三角形，∴ ∠BOC＝60°，同理∠AOB＝60°，又∠1＝∠2，∴ ∠1+∠BOE＝∠2+∠BOE＝∠AOB＝60°∴ ∠EOF＝120°，∴ 扇形OEF中n＝120，R＝1．∴ ．         答案：C【總結(jié)升華】求弧長的有關(guān)計(jì)算中，常作出該弧所對的圓心角．  5．將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的量角器圓?。?/span>）對應(yīng)的中心角（∠AOB）為120°，AO的長為4cm，求圖中陰影部分的面積.【思路點(diǎn)撥】    看是否由“規(guī)則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經(jīng)過怎樣的拼湊、割補(bǔ)、疊合而成，這是解決這類題的關(guān)鍵．【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個扇形AOB和一個Rt△BOC組成，其中扇形AOB的中心角是，AO的長為4，Rt△BOC中，OB＝OA＝4，∠BOC＝60°，∴ 可求得BC長和OC長，從而可求得面積，陰影部分面積＝扇形AOB面積+△BOC面積＝．【總結(jié)升華】本題是求簡單組合圖形的面積問題，解答時，常常是尋找這些“不規(guī)則的圖形”是由哪些“可求面積的、規(guī)則的圖形”組合而成. 舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD中，AB＝1，．以AD的長為半徑的⊙A交BC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】. 解析：連接AE，易證AB＝BE＝1，∠BAE＝45°，所以∠EAD＝45°，所以．       6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是AB延長線上一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)O作AC的垂線交AC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E．已知AB﹦8，∠P=30°．
（1）求線段PC的長；
（2）求陰影部分的面積．【思路點(diǎn)撥】（1）連接OC，由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與PC垂直，可得三角形OCP為直角三角形，同時由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為∠P的對邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)∠P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長；
   （2）由直角三角形中∠P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠BOC的度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三線合一得到OD為∠BOC的平分線，可求出∠COD度數(shù)為60°，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出∠OCD度數(shù)為30°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由∠COD的度數(shù)及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE的面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形COD的面積，即可求出陰影部分的面積．【答案與解析】解：（1）連接OC，
∵PC切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PC，
∵AB=8，∴OC=AB=4，
又在直角三角形OCP中，∠P=30°，
∴tanP=tan30°=，即PC==4；
（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠COP=60°，∴∠AOC=120°，
又AC⊥OE，OA=OC，∴OD為∠AOC的平分線，
∴∠COE=∠AOC=60°，又半徑OC=4，
∴S扇形OCE=，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，∴OD=OC=2，
根據(jù)勾股定理得：CD=，
∴S△OCD=DC?OD=×2×2=2，
則S陰影=S扇形OCE-S△OCD=．【總結(jié)升華】此題考查了切線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，以及扇形的面積公式，遇到已知切線的類型題時，常常連接圓心與切點(diǎn)，利用切線的性質(zhì)得出垂直，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題．

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