（人教版）數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)40總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系（提高）珍藏版-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

中考總復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)與圓有關(guān)的位置關(guān)系—知識(shí)講解（提高）【考綱要求】1. 圓的基本性質(zhì)和位置關(guān)系是中考考查的重點(diǎn)，但圓中復(fù)雜證明及兩圓位置關(guān)系中證明會(huì)有下降趨勢(shì)，不會(huì)有太復(fù)雜的大題出現(xiàn)；2.中考試題中將更側(cè)重于具體問(wèn)題中考查圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，對(duì)應(yīng)用、創(chuàng)新、開(kāi)放探究型題目，會(huì)根據(jù)當(dāng)前的政治形勢(shì)、新聞背景和實(shí)際生活去命題，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活．【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1．圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、等圓；    弦、直徑、弦心距、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧；    三角形的外接圓、三角形的內(nèi)切圓、三角形的外心、三角形的內(nèi)心、圓心角、圓周角．要點(diǎn)詮釋：等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。?/span>2．圓的對(duì)稱性    圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；    圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；    圓具有旋轉(zhuǎn)不變性．3．圓的確定    不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．要點(diǎn)詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?/span>4．垂直于弦的直徑    垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/span>    推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/span>要點(diǎn)詮釋：在圖中(1)直徑CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5個(gè)條件有2個(gè)成立，則另外3個(gè)也成立．因此，垂徑定理也稱“五二三定理”．即知二推三．    注意：(1)(3)作條件時(shí)，應(yīng)限制AB不能為直徑．    5．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系    定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．    推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．6．圓周角    圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．    推論1 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2 半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．要點(diǎn)詮釋：圓周角性質(zhì)的前提是在同圓或等圓中．7.圓內(nèi)接四邊形（1）定義: 圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．   （2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角（即它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角）．考點(diǎn)二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的位置關(guān)系    設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)P在圓上d＝r；    點(diǎn)P在圓內(nèi)d＜r．要點(diǎn)詮釋：圓的確定：①過(guò)一點(diǎn)的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．②過(guò)兩點(diǎn)A、B的圓有無(wú)數(shù)個(gè)，如圖所示．③經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)不能作圓．④不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．如圖所示． 2．直線和圓的位置關(guān)系（1）切線的判定    切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．    (會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線)（2）切線的性質(zhì)    切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．（3）切線長(zhǎng)和切線長(zhǎng)定理    切線長(zhǎng) 經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．要點(diǎn)詮釋：直線l是⊙O的切線，必須符合兩個(gè)條件：①直線l經(jīng)過(guò)⊙O上的一點(diǎn)A；②OA⊥l．（4）三角形的內(nèi)切圓：
　　與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.
（5）三角形的內(nèi)心：
　　三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心. 三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.
要點(diǎn)詮釋：
　　(1) 任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；
　　(2) 解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).
　　(3) 三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部. 3．圓和圓的位置關(guān)系    (1)基本概念    兩圓相離、相切、外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含的定義．(2)請(qǐng)看下表：要點(diǎn)詮釋：①相切包括內(nèi)切和外切，相離包括外離和內(nèi)含．其中相切和相交是重點(diǎn)．    ②同心圓是內(nèi)含的特殊情況．    ③圓與圓的位置關(guān)系可以從兩個(gè)圓的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)理解．    ④“R-r”時(shí)，要特別注意，R＞r．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的規(guī)律探究1．和圓有關(guān)的最長(zhǎng)線段和最短線段    了解和圓有關(guān)的最長(zhǎng)線段與最短線段，對(duì)有關(guān)圓的性質(zhì)的了解極為重要，下面對(duì)有關(guān)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單論述．    (1)圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．如圖①，AB是⊙O的直徑，CD為非直徑的弦，則AB＞CD，即直徑AB是最長(zhǎng)的弦．過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)最短的弦，是與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂直的弦，如圖②，P是⊙O內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的直徑AB，過(guò)P作弦CD⊥AB于P，則CD是過(guò)點(diǎn)P的最短的弦．    (2)圓外一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的線段與最短的線段都在過(guò)圓心的直線上．如圖所示，P在⊙O外，連接PO交⊙O于A，延長(zhǎng)PO交⊙O于B，則在點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)連接的線段中，PB最長(zhǎng)，PA最短．    (3)圓內(nèi)一點(diǎn)與圓上一點(diǎn)的連線中，最長(zhǎng)的線段與最短的線段也都在過(guò)圓心的直線上．如圖所示，P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，直徑過(guò)點(diǎn)P，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，則PB最長(zhǎng)、PA最短．2．與三角形內(nèi)心有關(guān)的角(1)如圖所示，I是△ABC的內(nèi)心，則∠BIC．(2)如圖所示，E是△ABC的兩外角平分線的交點(diǎn)，．(3)如圖所示，E是△ABC內(nèi)角與外角的平分線的交點(diǎn)，．(4)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，則∠DOE＝180°－∠A． (5)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，．(6)如圖所示，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F為切點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，則．【典型例題】類型一、圓的性質(zhì)及垂徑定理的應(yīng)用 1．已知：如圖所示，⊙O中，半徑OA＝4，弦BC經(jīng)過(guò)半徑OA的中點(diǎn)P，∠OPC＝60°，求弦BC的長(zhǎng)．                                 【思路點(diǎn)撥】要用好60°角，構(gòu)造直角三角形．在圓中常用的是作出弦的弦心距，由弦心距，半弦長(zhǎng)及半徑構(gòu)成直角三角形．【答案與解析】解：過(guò)O作OM⊥BC于M，連接OC．在Rt△OPM中，∠OPC＝60°，OP，∴PM＝1，OM＝．在Rt△OMC中，BC＝2MC＝．       【總結(jié)升華】圓的半徑、弦長(zhǎng)的一半、弦心距三條線段組成一個(gè)直角三角形，其中一個(gè)銳角為弦所對(duì)圓心角的一半，可充分利用它們的關(guān)系解決有關(guān)垂徑定理的計(jì)算問(wèn)題． 2．如圖所示，在⊙O中，弦AB與CD相交于點(diǎn)M，，連接AC．    (1)求證：△MAC是等腰三角形；(2)若AC為⊙O直徑，求證：AC2＝2AM·AB．   【思路點(diǎn)撥】 (1)證明∠MCA＝∠MAC；(2)證明△AOM∽△ABC．【答案與解析】證明：(1) ∵，∴∠MCA＝∠MAC．∴△MAC是等腰三角形．(2)連接OM．∵AC為⊙O直徑，∴∠ABC＝90°． ∵△MAC是等腰三角形，OA＝OC，∴MO⊥AC．∴∠AOM＝∠ABC＝90°．∵∠MAO＝∠CAB，∴△AOM∽△ABC，∴，∴AO·AC＝AM·AB，∴AC2＝2AM·AB．【總結(jié)升華】本題考查的是圓周角定理，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，涉及面較廣，難度適中．舉一反三：【變式】如圖所示，在⊙O中，AB＝2CD，則(    ) A．    B．C．     D．與的大小關(guān)系無(wú)法確定【答案】解：要比較與的大小有兩種思路．    (1)把的一半作出來(lái)，比較與的大小；    (2)把作出來(lái)，比較與的大小．    如圖所示，作OE⊥AB，垂足為E，交于F．則，且．∵AB＝2CD．∴AE＝CD．在Rt△AFE中，AF＞AE＝CD．    ∴AF＞CD．∴，即．答案A.    【高清課堂：圓的有關(guān)概念、性質(zhì)及與圓有關(guān)的位置關(guān)系 ID:412074   經(jīng)典例題2】3．已知：如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥半徑AO于D．(1)求證：∠C＝∠ABD；(2)若BD＝4.8，sinC＝，求⊙O的半徑．          【思路點(diǎn)撥】過(guò)O作OE⊥AB于E，連接BO，再由垂徑定理及三角函數(shù)進(jìn)行證明與求解.【答案與解析】    解法一：(1)過(guò)O作OE⊥AB于E，連接BO(如圖所示)，則．又∵ BD⊥AO，∴∠ABD+∠BAD＝90°．∵∠AOE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠AOE＝∠C．（2）在Rt△ABD中，，∴．設(shè)AD＝4k，則AB＝5k，BD＝3k＝4.8，k＝1.6．∴AB＝8，AE＝4．∵，∴．∴OA＝5．解法二：（1）延長(zhǎng)AO交⊙O于C′．（如圖所示）∴∠C′＝∠C．∵AC′為⊙O的直徑，∴∠ABC′＝90°．∴∠C′+∠BAD＝90°．∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C′＝∠C．（2）在Rt△BDC′中，，∴．在Rt△ABC′中，∵，∴設(shè)AB＝4k，則AC′＝5k，BC′＝3k＝6．∴k＝2．∴．【總結(jié)升華】    解決圓周角的問(wèn)題中常用的方法有兩種：一是把圓周角轉(zhuǎn)化為同弧所對(duì)圓心角的一半的角；二是將圓周角的頂點(diǎn)移動(dòng)到使其一邊經(jīng)過(guò)圓心．類型二、圓的切線判定與性質(zhì)的應(yīng)用4．已知：如圖所示，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，M是OA上一點(diǎn)，過(guò)M作AB的垂線交AC于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線CF交EN于點(diǎn)F，且∠ECF＝∠E．    (1)求證：CF是⊙O的切線；(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且AC＝CE，求MO的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】連接OC，證OC⊥CF是證切線的常用方法．【答案與解析】(1)證明連接OC．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°．在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，∴∠E＝30°．∴∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°．∴∠ECF+∠OCB＝90°．又∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°．∴CF為⊙O的切線．     (2)解在Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝AB·cos30°＝，BC＝AB·sin30°＝2×＝1．    ∵AC＝CE，∴BE＝BC+CE＝1+．在Rt△BEM中，∠E＝30°，∠BME＝90°，∴MB＝BE·sin30°＝．    ∴MO＝MB－OB＝．【總結(jié)升華】有關(guān)切線的判定，主要有兩種類型，若題目已經(jīng)給出了直線與圓有公共點(diǎn)，可采用“連半徑證垂直”的方法(此題就如此)；若要判定的直線與已知圓的公共點(diǎn)沒(méi)有給出，可采用“過(guò)圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法，簡(jiǎn)稱“作垂直證半徑”．舉一反三：【變式】如圖所示，△ABC中，AB＝C，BC＝a，CA＝b，面積為S．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，求內(nèi)切圓半徑r．【答案】    解：連接OD、OE、OF、OA、OB、OC，    則OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，∴，∴，∴．    類型三、切線的性質(zhì)與等腰三角形、勾股定理綜合運(yùn)用5．如圖所示，⊙O是Rt△ABC的外接圓，AB為直徑，∠ABC＝30°，CD是⊙O的切線，ED⊥AB于F．    (1)判斷△DCE的形狀；(2)設(shè)⊙O的半徑為1，且，求證△DCE≌△OCB．【思路點(diǎn)撥】（1）由于AB是直徑，那么∠ACB=90°，而∠ABC=30°，易求∠BAC=60°，結(jié)合OA=OC，易證△AOC是正三角形，于是∠OCD=60°，結(jié)合CD是切線，易求∠DCE=30°，在Rt△AEF中，易求∠E=30°，于是∠DCE=∠E，可證△CDE為等腰三角形；
    （2）在Rt△ABC中，由于∠A=60°，AB=2，易求AC=AO=1，利用勾股定理可求BC=，CE=AE-AC=，那么BC=CE，而∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠DEC=30°，從而可證△OBC≌△DCE．【答案與解析】解：(1)∵∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°．又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形．    ∵CD是切線，∴∠OCD＝90°．    ∴∠DCE＝180°-60°＝90°－30°．∴∠DCE＝∠DEC而ED⊥AB于F，∴∠CED＝90°－∠BAC＝30°．故△CDE為等腰三角形．(2)證明：在△ABC中，∵AB＝2，AC＝AO＝1，∴BC＝．，∴．    又∵∠AEF＝30°，∴AE＝2AF＝．    ∴CE＝AE－AC＝＝BC．    而∠OCB＝∠ACB－∠ACO＝30°＝∠ABC，    故△CDE≌△COB．【總結(jié)升華】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△AOC是正三角形．舉一反三：【變式】如圖所示，PQ＝3，以PQ為直徑的圓與一個(gè)以5為半徑的圓相切于點(diǎn)P，正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點(diǎn)Q，則AB＝________．【答案】解：連接PQ并延長(zhǎng)交AB于E，設(shè)大圓的圓心為O，連接OA．設(shè)AB＝2x，則AE＝x，OB＝2x-2．在Rt△OAE中，OA＝5，    ∵OA2＝OE2+AE2，即52＝(2x-2)2+x2，∴x＝3．∴AB＝6．答案：6     6．如圖所示，⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，連接AC．PM平分∠APC交AC于M．    (1)若∠CPA＝30°，求CP的長(zhǎng)及∠CMP的度數(shù)；    (2)若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，你認(rèn)為∠CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出∠CMP的度數(shù)；    (3)若點(diǎn)P在直徑BA的延長(zhǎng)線上，PC切⊙O于點(diǎn)C，那么∠CMP的大小是否變化？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．【思路點(diǎn)撥】（1）作輔助線，連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)知：OC⊥PC，由∠CPO的值和OC的長(zhǎng)，可將PC的長(zhǎng)求出；
（2）通過(guò)角之間的轉(zhuǎn)化，可知：∠CMP=（∠COP+∠CPO），故∠CMP的值不發(fā)生變化．【答案與解析】解:(1)連接OC，則∠OCP＝90°．∵ OA＝OC，∴ ∠COP＝2∠CAP＝60°．∴ CP＝OC·tan60°＝AB·tan60°＝，∴ CP＝．∵ PM平分∠CPA，∴ ．          ∴∠CMP＝30°+15°=45°.(2)設(shè)∠CPA＝α，∵ PM平分∠CPA，∴ ∠MPA＝∠CPA．∵ ∠OCP＝90°，∴ ∠COP＝90°-α．     又∵ OA＝OC，∴ ∠CAP＝．∴ ∠CMP＝∠CAP+∠MPA．（3）∠CMP的大小沒(méi)有變化
∵∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．【總結(jié)升華】    解第(2)小題時(shí)，引用“設(shè)∠CPA＝α”這一方法，用代數(shù)方法計(jì)算得出結(jié)論，降低了解題的難度．本題主要考查切線的性質(zhì)及對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用．舉一反三：【變式】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是的中點(diǎn)，CD⊥AB于D，CD與AE相交于F．    (1)求證：AC2＝AF·AE；(2)求證：AF＝CF．【答案】    證明：(1)如圖所示，連接CE，延長(zhǎng)CD交⊙O于G，連接AG．∵AB是⊙O直徑，CD⊥AB，∴．∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠1，∴△AFC∽△ACE．∴．∴ AC2＝AF·AE．   (2)由(1)得．又∵C是的中點(diǎn)，∴．∴∠2＝∠1．∴AF＝CF．

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