中考總復習：方程與不等式綜合復習—知識講解（基礎） 【考綱要求】1．會從定義上判斷方程(組)的類型，并能根據定義的雙重性解方程(組)和研究分式方程的增根情況；2．掌握解方程(組)的方法，明確解方程組的實質是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無理式為有理式”；3．理解不等式的性質，一元一次不等式(組)的解法，在數軸上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(組)、列不等式(組)解決社會關注的熱點問題；5. 解方程或不等式是中考的必考點，運用方程思想與不等式(組)解決實際問題是中考的難點和熱點． 【知識網絡】         【考點梳理】考點一、一元一次方程1.方程含有未知數的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數的值叫做方程的解.3.等式的性質（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得結果仍是等式.（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能是零），所得結果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數x的系數，b是常數項.5.一元一次方程解法的一般步驟 整理方程 —— 去分母—— 去括號—— 移項—— 合并同類項——系數化為1——(檢驗方程的解).6.列一元一次方程解應用題 (1)讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”    仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關鍵字列出文字等式，并且根據題意設出未知數，最后利用題目中的量與量的關系填入代數式，得到方程.(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”    利用圖形分析數學問題是數形結合思想在數學中的體現，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據，最后利用量與量之間的關系(可把未知數看作已知量)，填入有關的代數式是獲得方程的基礎.要點詮釋：列方程解應用題的常用公式：(1)行程問題：  距離=速度×時間            ；(2)工程問題：  工作量=工效×工時       ；(3)比率問題：  部分=全體×比率            ；(4)順逆流問題：  順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度；(5)商品價格問題：  售價=定價·折· ，利潤=售價-成本， ；(6)周長、面積、體積問題：C圓=2πR，S圓=πR2，C長方形=2(a+b)，S長方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S環(huán)形=π(R2-r2)，V長方體=abh，V正方體=a3，V圓柱=πR2h ，V圓錐=πR2h. 考點二、一元二次方程1.一元二次方程含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左邊是一個關于未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項.3.一元二次方程的解法（1）直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如的一元二次方程.根據平方根的定義可知，是b的平方根，當時，，，當b<0時，方程沒有實數根.（2）配方法配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用.配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，并用x代替，則有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即.5.一元二次方程根與系數的關系如果方程的兩個實數根是，那么，.也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商. 要點詮釋：    一元二次方程的解法中直接開平方法和因式分解法是特殊方法，比較簡單，但不是所有的一元二次方程都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用這兩種方法去解. 考點三、分式方程1.分式方程分母里含有未知數的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是將“分式方程”轉化為“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母；②解所得的整式方程；③驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不等于零，就是原方程的根.3.分式方程的特殊解法換元法：換元法是中學數學中的一個重要的數學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法.要點詮釋：    解分式方程時，求出未知數的值后必須驗根，因為在把分式方程化為整式方程的過程中，擴大了未知數的取值范圍，可能產生增根. 考點四、二元一次方程（組）1.二元一次方程含有兩個未知數，并且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解.3.二元一次方程組兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.4.二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解.5.二元一次方程組的解法①代入消元法；②加減消元法.6.三元一次方程（組）（1）三元一次方程把含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程組由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組. 要點詮釋：二元一次方程組的解法：消元：將未知數的個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：將一個未知數用含有另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.（2）加減消元法：當兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法. 考點五、不等式（組）1.不等式的概念    （1）不等式用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集對于一個含有未知數的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數的值，都叫做這個不等式的解.對于一個含有未知數的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集.求不等式的解集的過程，叫做解不等式.2.不等式基本性質    （1）不等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變；（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.3.一元一次不等式      （1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一個未知數，未知數的次數是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤將x項的系數化為1.4.一元一次不等式組      （1）一元一次不等式組的概念幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組.幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組.當任何數x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集.（2）一元一次不等式組的解法①分別求出不等式組中各個不等式的解集；②利用數軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集.要點詮釋：     用符號“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等關系的式子，叫做不等式. 【典型例題】類型一、方程的綜合運用 1．如圖所示，已知函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得，關于的二元一次方程組的解是________．【思路點撥】兩圖象的交點就是方程組的解.【答案】【解析】由圖象可知y＝ax+b與y＝kx的交點P的坐標為(-4，-2)，所以二元一次方程組的解為【總結升華】方程組與函數圖象結合體現了數形結合的數學思想，這也是中考所考知識點的綜合與相互滲透，平時應加強這方面的練習與思考． 舉一反三：【變式】已知關于的一元二次方程．（1）求證：不論取何值時，方程總有兩個不相等的實數根． （2）若直線與函數的圖象的一個交點的橫坐標為2，求關于的一元二次方程的解．【答案】     （1）證明：                                    ∵不論取何值時，∴，即∴不論取何值時，方程總有兩個不相等的實數根..（2）將代入方程，得            再將代入，原方程化為，解得．    2．已知: 關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函數y=ax2-bx+kc（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.   （1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；   （2）求代數式的值；（3）求證: 關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數根.【思路點撥】（1）根據一元一次方程及根的條件，求k的值；
（2）把交點坐標代入二次函數的解析式求出值；
（3）根據根的判別式和一元一次方程的根為正實數得出x有兩不相等的實數根．【答案與解析】（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.依題意 k-1≠0.∴ .       ∵ 方程的根為正整數，k為整數, ∴ k-1=1或k-1=2. ∴ k1= 2, k2=3.         （2）解：依題意，二次函數y=ax2-bx+kc的圖象經過點（1，0），       ∴ 0 =a-b+kc,  kc = b-a . ∴=           （3）證明：方程②的判別式為 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.      由a≠0, c≠0, 得ac≠0.( i ) 若ac<0, 則-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根.     ( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1).     ∵ 方程kx=x+2的根為正實數，      ∴ 方程(k-1) x=2的根為正實數.由 x>0, 2>0, 得 k-1>0.    ∴ 4ac(k-1)>0.∵ (a-kc)2?0, ∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根.   證法二: 若ac>0,∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點, ∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc?0.(b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k-1).          由證法一知 k-1>0, ∴ b2-4ac> b2-4akc?0.∴ Δ= b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根.  綜上, 方程②有兩個不相等的實數根.【總結升華】方程與函數綜合題. 中考所考知識點的綜合與相互滲透.舉一反三：【變式】已知關于x的一元二次方程.（1）若x=－2是這個方程的一個根，求m的值和方程的另一個根；（2）求證：對于任意實數m，這個方程都有兩個不相等的實數根.【答案】     （1）解：把x=－2代入方程，得，即.解得，.          當時，原方程為，則方程的另一個根為.         當時，原方程為，則方程的另一個根為.（2）證明：，         ∵對于任意實數m，，  ∴.         ∴對于任意實數m，這個方程都有兩個不相等的實數根. 類型二、解不等式（組）3．解不等式組 并將解集在數軸上表示出來．【思路點撥】此題考查一元一次不等式組的解法，解出不等式組中的每個不等式，根據不等式組解的四種情況，看看屬于哪種情況．【答案與解析】解不等式①得：．     解不等式②得：x≥-1．     所以不等式組的解集為-1≤x＜．其解在數軸上表示為如圖所示：【總結升華】注意解不等式組的解題步驟.舉一反三：【變式】解不等式組    并把解集在數軸上表示出來．  【答案】解不等式①，得．解不等式②，得．所以，不等式組的解集是．不等式組的解集在數軸上表示如圖：   類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應用4．如果關于x的方程的解也是不等式組的一個解，求m的取值范圍．【思路點撥】解方程求出x的值（是用含有m的式子表示的），再解不等式組求出x的取值范圍，最后方程的解與不等式組的解結合起來求m的取值范圍.【答案與解析】解方程，得x＝-m-2．    因為，    所以m≠-4且m≠0時，有．    所以方程的解為x＝-m-2．    其中m≠-4且m≠0．    解不等式組得x≤-2．    由題意，得-m-2≤-2，解得m≥0．    所以m的取值范圍是m＞0．【總結升華】方程與不等式的綜合題，是中考考查的重點之一．舉一反三：【高清課程名稱：方程與不等式綜合復習   高清ID號： 405277關聯的位置名稱（播放點名稱）：例1】【變式】如果不等式組的解集是，那么的值為        ．【答案】解不等式組得：，因為不等式組的解集是，所以 解得所以.  5． 某采摘農場計劃種植兩種草莓共6畝，根據表格信息，解答下列問題：項目                   品種AB年畝產（單位：千克）12002000采摘價格（單位：元/千克）6040    (1)若該農場每年草莓全部被采摘的總收入為46000O元，那么兩種草莓各種多少畝?     (2)若要求種植種草莓的畝數不少于種植種草莓的一半，那么種植種草莓多少畝時，可使該農場每年草莓全部被采摘的總收入最多?【思路點撥】（1）根據等量關系：總收入=A地的畝數×年畝產量×采摘價格+B地的畝數×年畝產量×采摘價格，列方程求解；
（2）這是一道只有一個函數關系式的求最值問題，根據題意確定自變量的取值范圍，由函數y隨x的變化求出最大利潤．【答案與解析】設該農場種植種草莓畝，種草莓畝     依題意，得：     解得： ,     (2)由，解得    設農場每年草莓全部被采摘的收入為y元，則：         ∴當時，y有最大值為464000   答：(l)A種草莓種植2.5畝, B種草莓種植3.5畝．        (2)若種植A種草莓的畝數不少于種植B種草莓的一半，那么種植A種草莓2畝時，可使農場每年草莓全部被采摘的總收入最多.【總結升華】本題考查的是用一次函數解決實際問題，此類題是近年中考中的熱點問題．注意利用一次函數求最值時，關鍵是應用一次函數的性質；即由函數y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值．舉一反三：【變式】某運輸公司用10輛相同的汽車將一批蘋果運到外地，每輛汽車能裝8噸甲種蘋果，     或10噸乙種蘋果，或11噸丙種蘋果．公司規(guī)定每輛車只能裝同一種蘋果，而且必須     滿載．已知公司運送了甲、乙、丙三種蘋果共100噸，且每種蘋果不少于一車． （1）設用x輛車裝甲種蘋果，y輛車裝乙種蘋果，求y與x之間的函數關系式，并寫      出自變量x的取值范圍； （2）若運送三種蘋果所獲利潤的情況如下表所示：蘋果品種甲  乙丙每噸蘋果所獲利潤（萬元）0.220.210.2 設此次運輸的利潤為W（萬元），問：如何安排車輛分配方案才能使運輸利潤W 最大，并求出最大利潤．【答案】     （1）∵ ，          ∴ y與x之間的函數關系式為 ．          ∵ y≥1，解得x≤3．∵ x≥1，≥1，且x是正整數，∴ 自變量x的取值范圍是x =1或x =2或x =3．（2）．    因為W隨x的增大而減小，所以x取1時，可獲得最大利潤，此時（萬元）．獲得最大運輸利潤的方案為：用1輛車裝甲種蘋果，用7輛車裝乙種蘋果，2輛車裝丙種蘋果． 類型四、用不等式（組）解決決策性問題6．為了美化家園，創(chuàng)建文明城市，園林部門決定利用現有的3600盆甲種花卉和2900盆乙種花卉搭配A、B兩種園藝造型共50個，擺放在迎賓大道兩側，搭配每個造型所需花卉的情況如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆    綜合上述信息，解答下列問題：    (1)符合題意的搭配方案有哪兒種?    (2)若搭配一個A種造型的成本為1000元，搭配一個B種選型的成本為1200元，試說明選用(1)中哪種方案成本最低?【思路點撥】本題首先需要從文字和表格中獲取信息，建立不等式(組)，然后求出其解集，根據實際問題的意義，再求出正整數解，從而確定搭配方案．【答案與解析】解：(1)設搭配x個A種造型，則需要搭配(50-x)個B種造型，由題意，得      解得30≤x≤32．    所以x的正整數解為30，31，32．所以符合題意的方案有3種，分別為：A種造型30個，B種造型20個；A種造型31個，B種造型19個；A種造型32個，B種造型18個．(2)由題意易知，三種方案的成本分別為：第一種方案：30×1000+20×1200＝54000；第二種辦案：31×1000+19×1200＝53800；第三種方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三種方案成本最低．【總結升華】實際問題的“最值問題”一般是指“成本最低”、“利潤最高”、“支出最少”等問題．舉一反三：【高清課程名稱：方程與不等式綜合復習   高清ID號： 405277關聯的位置名稱（播放點名稱）：例4】【變式】某商場“家電下鄉(xiāng)”指定型號冰箱，彩電的進價和售價如下表所示：（1）按國家政策，購買“家電下鄉(xiāng)”產品享受售價13％的政府補貼.若到該商場購買了冰箱，彩電各一臺，可以享受多少元的補貼？(2)為滿足需求，商場決定用不超過85000元采購冰箱，彩電共40臺，且冰箱的數量不少于彩電數量的.①請你幫助該商場設計相應的進貨方案；②用哪種方案商場獲得利潤最大？（利潤=售價-進價），最大利潤是多少？ 【答案】（1）（2420+1980）×13％=572（元）（2）①設冰箱采購x臺，則彩電采購（40-x）臺，    解不等式組得，因為x為整數，所以x=19、20、21，方案一：冰箱購買19臺，彩電購買21臺，方案二：冰箱購買20臺，彩電購買20臺，方案一：冰箱購買21臺，彩電購買19臺.②設商場獲得總利潤為y元，則y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200∵20＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當x=21時，y最大=20×21+3200=3620（元）.  

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