(滿分：120分 時(shí)間：100分鐘)


一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)


1．已知△MNP如圖27-1，則下列四個(gè)三角形中與△MNP相似的是( )


圖27-1





A B C D


2．△ABC和△A′B′C′是位似圖形，且面積之比為1∶9，則△ABC和△A′B′C′的對應(yīng)邊AB和A′B′的比為( )


A．3∶1 B．1∶3 C．1∶9 D．1∶27


3．下列命題中正確的有( )


①有一個(gè)角等于80°的兩個(gè)等腰三角形相似；②兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似；③有一個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似；④底邊對應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似．


A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)


4．在△ABC中，BC＝15 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm，另一個(gè)和它相似的三角形的最短邊長是5 cm，則最長邊長是( )


A．18 cm B．21 cm C．24 cm D．19.5 cm


5．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如果AD∶BC＝1∶3，那么下列結(jié)論中正確的是( )


A．S△OCD＝9S△AOD B．S△ABC＝9S△ACD


C．S△BOC＝9S△AOD D．S△DBC＝9S△AOD


6．如圖27-2，DE是△ABC的中位線，延長DE至F使EF＝DE，連接CF，則S△CEF∶S四邊形BCED的值為( )


A．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶5





圖27-2 圖27-3


7．如圖27-3，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，AC＝4，CE＝6，BD＝3，則BF＝( )


A．7 B．7.5 C．8 D．8.5


8．如圖27-4，身高1.6 m的某學(xué)生想測量一棵大樹的高度，她沿著樹影BA由B向A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，則樹的高度為( )





圖27-4


A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m


9．如圖27-5，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是( )


A.eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE) B.eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)


C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED





圖27-5 圖27-6


10．如圖27-6，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，若AB＝a，BD＝b，CD＝c，BC＝d，AD＝e，則下列等式成立的是( )


A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae





二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)


11．已知線段a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，d＝eq \r(6)，則這四條線段________比例線段(填“成”或“不成”)．


12．在比例尺1∶6 000 000的地圖上，量得南京到北京的距離是15 cm，這兩地的實(shí)際距離是______km.


13．如圖27-7，若DE∥BC，DE＝3 cm，BC＝5 cm，則eq \f(AD,BD)＝________.





圖27-7


14．△ABC的三邊長分別為2，eq \r(2)，eq \r(10)，△A1B1C1的兩邊長分別為1和eq \r(5)，當(dāng)△A1B1C1的第三邊長為________時(shí)，△ABC∽△A1B1C1.


15．如圖27-8，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1∶eq \r(2)，則這兩個(gè)四邊形每組對應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比是__________．





圖27-8 圖27-9


16．如圖27-9，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，且DE⊥AC于點(diǎn)O，則eq \f(CD,AD)＝________.





三、解答題(一)(本大題共3小題，每小題6分，共18分)


17．如圖27-10，在?ABCD中，EF∥AB，F(xiàn)G∥ED，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，求線段CG的長．





圖27-10














18．如圖27-11，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，點(diǎn)D在BC的延長線上，且△ACD∽△BAD，求CD的長．





圖27-11


























19．如圖27-12，在水平桌面上有兩個(gè)“E”，當(dāng)點(diǎn)P1，P2，O在同一條直線上時(shí)，在點(diǎn)O處用①號“E”測得的視力與用②號“E”測得的視力相同．


(1)圖中b1，b2，l1，l2滿足怎樣的關(guān)系式？


(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①號“E”的測試距離l1＝8 cm，要使測得的視力相同，則②號“E”的測試距離應(yīng)為多少？





圖27-12














四、解答題(二)(本大題共3小題，每小題7分，共21分)


20．如圖27-13，在△ABC中，已知DE∥BC.


(1)△ADE與△ABC相似嗎？為什么？


(2)它們是位似圖形嗎？如果是，請指出位似中心．





圖27-13











21．如圖27-14，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接BC，AC，過點(diǎn)C作直線CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，直線CE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF與直線CD延長線交于點(diǎn)G.求證：BC2＝BG·BF.





圖27-14








22．如圖27-15，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形．


(1)當(dāng)AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB?


(2)當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，求∠APB的度數(shù)．





圖27-15
































五、解答題(三)(本大題共3小題，每小題9分，共27分)


23．如圖27-16，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F.已知OA＝3，AE＝2.


(1)求CD的長；


(2)求BF的長．





圖27-16
































24．如圖27-17，學(xué)校的操場上有一旗桿AB，甲在操場上的C處豎立3 m高的竹竿CD；乙從C處退到E處恰好看到竹竿頂端D與旗桿頂端B重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距離FE＝1.5 m；丙在C1處豎立3 m高的竹竿C1D1，乙從E處后退6 m到E1處，恰好看到兩根竹竿和旗桿重合，且竹竿頂端D1與旗桿頂端B也重合，量得C1E1＝4 m．求旗桿AB的高．





圖27-17

















25．如圖27-18，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，過點(diǎn)B作射線BB1∥AC.動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于點(diǎn)F，G是EF中點(diǎn)，連接DG.設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．


(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD＝AB，并求出此時(shí)DE的長度；


(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值．





圖27-18

















第二十七章自主檢測參考答案：


1．C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B


10．A 解析：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA.


又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA.


∴eq \f(CD,DB)＝eq \f(BC,AD)＝eq \f(BD,AB)，即eq \f(c,b)＝eq \f(d,e)＝eq \f(b,a).


A．b2＝ac，成立，故本選項(xiàng)正確；


B．b2＝ac，不是b2＝ce，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


C．be＝ad，不是be＝ac，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；


D．bd＝ec，不是bd＝ae，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．


11．成 12.900 13.eq \f(3,2) 14.eq \r(2)


15．1∶eq \r(2)


16.eq \f(\r(2),2) 解析：∵DE⊥AC，BC∥AD，∠ADC＝90°，


∴∠ACB＝∠EDC.


又∵∠ABC＝∠ECD＝90°，


∴△ACB∽△EDC.∴eq \f(AB,CE)＝eq \f(BC,CD).


∵AB＝CD，BC＝AD，


∴CD＝eq \r(CE·AD)＝eq \r(2)CE.∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(\r(2)CE,2CE)＝eq \f(\r(2),2).


17．解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.


又∵DE∶EA＝2∶3，∴DE∶DA＝2∶5.


∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DE,DA)＝eq \f(4,AB)＝eq \f(2,5).


∴AB＝10.


又∵FG∥ED，DG∥EF，


∴四邊形DEFG是平行四邊形．


∴DG＝EF＝4.


∴CG＝CD－DG＝AB－DG＝10－4＝6.














18．解：∵△ACD∽△BAD，∴eq \f(CD,AD)＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).


∴AD＝eq \f(3,4)BD，AD＝eq \f(4,3)CD.∴16CD＝9BD.


又∵BD＝7＋CD，


∴16CD＝9×(7＋CD)，解得CD＝9.


19．解：(1)因?yàn)镻1D1∥P2D2，所以△P1D1O∽△P2D2O.


所以eq \f(P1D1,P2D2)＝eq \f(D1O,D2O)，即eq \f(b1,b2)＝eq \f(l1,l2).


(2)因?yàn)閑q \f(b1,b2)＝eq \f(l1,l2)，b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，l1＝8 m，


所以eq \f(3.2,2)＝eq \f(8,l2).所以l2＝5 m.


20．解：(1)△ADE與△ABC相似．


∵平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，交點(diǎn)與公共點(diǎn)所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．


即由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC.


(2)是位似圖形．由(1)知：△ADE∽△ABC.


∵△ADE和△ABC的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD，CE相交于點(diǎn)A，


∴△ADE和△ABC是位似圖形，位似中心是點(diǎn)A.


21．證明：∵AB是⊙O的直徑，


∴∠ACB＝90°.


又∵CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠BCD＝∠A.


又∵∠A＝∠F(同弧所對的圓周角相等)，


∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.


在△BCG和△BFC中，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(∠BCG＝∠F，,∠GBC＝∠CBF，))


∴△BCG∽△BFC.∴eq \f(BC,BF)＝eq \f(BG,BC).


即BC2＝BG·BF.


22．解：(1)∵△PCD是等邊三角形，


∴∠ACP＝∠PDB＝120°.


當(dāng)eq \f(AC,PD)＝eq \f(PC,DB)，即eq \f(AC,CD)＝eq \f(CD,DB)，也就是當(dāng)CD2＝AC·DB時(shí)，△ACP∽△PDB.


(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB.


∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB


＝∠APC＋∠CPD＋∠A＝∠PCD＋∠CPD＝120°.


23．解：(1)如圖D100，連接OC，在Rt△OCE中，





圖D100


CE＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(9－1)＝2 eq \r(2).


∵CD⊥AB，


∴CD＝2CE＝4 eq \r(2).


(2)∵BF是⊙O的切線，


∴FB⊥AB.∴CE∥FB.


∴△ACE∽△AFB.


∴eq \f(CE,BF)＝eq \f(AE,AB)，eq \f(2 \r(2),BF)＝eq \f(2,6).


∴BF＝6 eq \r(2).


24．解：如圖D101，連接F1F，并延長使之與AB相交，設(shè)其與AB，CD，C1D1分別交于點(diǎn)G，M，N，設(shè)BG＝x m，GM＝y(tǒng) m.


∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG.


∴eq \f(DM,BG)＝eq \f(FM,FG)，則eq \f(1.5,x)＝eq \f(3,3＋y). ①


又∵ND1∥GB，∴△F1D1N∽△F1BG.


∴eq \f(D1N,BG)＝eq \f(F1N,F1G)，即eq \f(1.5,x)＝eq \f(4,y＋6＋3). ②


聯(lián)立①②，解方程組，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝15.))


故旗桿AB的高為9＋1.5＝10.5(m)．





圖D101


25．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，


∴AB＝eq \r(32＋42)＝5.


∵AD＝5t，CE＝3t，


∴當(dāng)AD＝AB時(shí)，5t＝5，∴t＝1.


∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.


(2)∵EF＝BC＝4，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，∴GE＝2.


當(dāng)AD\f(3,2)))時(shí)，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.


若△DEG∽△ACB，則eq \f(DE,EG)＝eq \f(AC,BC)或eq \f(DE,EG)＝eq \f(BC,AC)，


∴eq \f(2t－3,2)＝eq \f(3,4)或eq \f(2t－3,2)＝eq \f(4,3).


∴t＝eq \f(9,4)或t＝eq \f(17,6).


綜上所述，當(dāng)t＝eq \f(1,6)或eq \f(3,4)或eq \f(9,4)或eq \f(17,6)秒時(shí)，△DEG∽△ACB.


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