添括號法則添括號在乘法公式中的應(yīng)用
1. 拓展：(1) 公式中的字母a，b，還可為多項(xiàng)式表示的數(shù)或其他的代數(shù)式所表示的數(shù)．(2) 利用完全平方公式，可得到a＋b，ab，a－b，a2＋b2有下列重要關(guān)系：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；②(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.
2. 易錯警示：易出現(xiàn)形如(a±b)2＝a2±b2的錯誤．為了防止類似錯誤，要明確以下三點(diǎn)：(1)意義不同： (a±b)2表示數(shù)a與數(shù)b和(差)的平方，而a2±b2表示數(shù)a的平方與數(shù)b的平方的和(差)．
(2)讀法不同： (a±b)2讀作a，b兩數(shù)和(差)的平方；a2±b2讀作a，b兩數(shù)平方的和(差)．(3)運(yùn)算順序不同： (a±b)2是先算a，b兩數(shù)的和(差)，后算和(差)的平方； a2±b2是先算a2與b2，后算a2，b2的和(差)．
已知a2＋b2＝13，ab＝6，求(a＋b)2，(a－b)2的值．
將兩數(shù)的和(差)的完全平方式展開，產(chǎn)生兩數(shù)的平方和與這兩數(shù)積的兩倍，再將條件代入求解．因?yàn)閍2＋b2＝13，ab＝6，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋2×6＝25，(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－2×6＝1.
在利用完全平方公式進(jìn)行計算時，經(jīng)常會遇到這個公式的如下變形：①(a＋b)2－2ab＝a2＋b2；②(a－b)2＋2ab＝a2＋b2；③(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；④(a＋b)2－(a－b)2＝4ab， 靈活運(yùn)用這些公式的變形，往往可以解答一些特殊的計算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力．
已知a2＋b2－6a－8b＋25＝0，求3a＋4b的值．
題目中一個等式涉及兩個未知數(shù)，要求兩個未知數(shù)的值，需要轉(zhuǎn)化為兩個完全平方式的和，利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解．
因?yàn)閍2＋b2－6a－8b＋25＝0，所以(a2－6a＋9)＋(b2－8b＋16)＝0，因此(a－3)2＋(b－4)2＝0，所以a－3＝0，b－4＝0；解得a＝3，b＝4.所以3a＋4b＝3×3＋4×4＝25.
一個等式涉及兩個或兩個以上未知數(shù)的問題，我們說這個問題是多元問題，解決多元問題目前有效的方法是通過逆向運(yùn)用完全平方公式，把多元問題化為兩個或多個非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，再結(jié)合非負(fù)數(shù)性質(zhì)可得每個非負(fù)數(shù)為0進(jìn)行求解．
添括號在乘法公式中的應(yīng)用
〈實(shí)際應(yīng)用題〉小紅家有一塊L形的菜地，如果要把這塊L形菜地按圖示那樣分成兩塊面積相等的梯形的地，種上不同的蔬菜．這兩個梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是(b－a)米(b＞a)，請你給小紅家算一算，小紅家的菜地的面積是多少平方米？
當(dāng)a＝10，b＝30時，其面積是多少平方米？
求小紅家的菜地的面積，就是求兩個梯形的面積和．
S＝ (a＋b)(b－a)×2＝b2－a2(平方米)．當(dāng)a＝10，b＝30時，b2－a2＝302－102＝900－100＝800(平方米)．所以小紅家的菜地的面積是(b2－a2)平方米．當(dāng)a＝10，b＝30時，其面積是800平方米．
在解答實(shí)際問題時，利用乘法公式會減少計算量，提高準(zhǔn)確性.
計算：(1)(x－y＋9)(x＋y－9)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．(1)把(x－y＋9)(x＋y－9)變?yōu)閇x－(y－9)][x＋(y－9)]，根據(jù)平方差公式計算，然后再利用完全平方公式展開即可；
(2)是兩個四項(xiàng)式的乘積形式，可將相同符號的項(xiàng)添括號視為平方差公式中的a，符號相反的兩項(xiàng)添括號視為平方差公式中的b，先用平方差公式，再用完全平方公式即可解決．
(1)原式＝[x－(y－9)][x＋(y－9)]＝x2－(y－9)2＝x2－(y2－18y＋81)＝x2－y2＋18y－81.
(1)(x－y＋9)(x＋y－9)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
本題運(yùn)用整體思想求解．對于兩個乘積式中含三項(xiàng)或四項(xiàng)的多項(xiàng)式，可將符號相同的項(xiàng)及符號相反的項(xiàng)分別添括號視為一個整體，可化成平方差公式的形式，通過平方差公式展開再利用完全平方公式展開，最后合并可得結(jié)果．
1. 完全平方公式的應(yīng)用： 抓住公式的特征是正確應(yīng)用公式的前提，首先要判斷一個代數(shù)式是否可以利用完全平方公式展開，如果能用公式展開，再選用公式．
2. 應(yīng)用完全平方公式的步驟：(1)確定兩數(shù)，即確定誰相當(dāng)于公式中的“a”，誰相當(dāng)于公式中的“b”；(2)看好是兩數(shù)和，還是兩數(shù)差；(3)選用公式寫出結(jié)果．
拓展：平方差公式可以連續(xù)使用，只要符合公式的特點(diǎn)即可使用．3. 易錯警示：(1)公式中的a與b不是單個數(shù)字或字母時，運(yùn)用公式忘加括號．(2)在運(yùn)用公式時，沒有對號入座．

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8.3 完全平方公式與平方差公式

版本： 滬科版

年級： 七年級下冊

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