1．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】山東省濟(jì)南外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年高三10月月考
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，整理得，
解得或，因此，或；
（2），，，
，
因此，．
2．設(shè)等差數(shù)列的公差為d前n項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為q，已知，，，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【試題來源】重慶市重慶八中2021屆高三上學(xué)期九月份適應(yīng)性月考
【答案】（1），或，；（2）
【解析】（1）由，則或，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
（2）當(dāng)時(shí)，由（1）可得，，，則，
所以，所以，
所以，所以．
3．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得的的取值范圍．
【試題來源】廣西南寧市普通高中2021屆高三10月摸底測(cè)試（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)公比為，依題意且，由已知，
可得，，所以；
（2）由（1）有，
所以是一個(gè)以4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，所以．
于是等價(jià)于，解得．
所以的取值范圍是．
4．已知數(shù)列，滿足，且為等比數(shù)列，，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求當(dāng)時(shí)，正整數(shù)n的最小值．
【試題來源】陜西省安康市2020屆高三下學(xué)期第三次聯(lián)考（理）
【答案】（1），；（2）6．
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 所以，解得，所以，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以可化為，解得，所以正整數(shù)n的最小值為6．
5．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，為，的等比中項(xiàng)．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】河南省新鄉(xiāng)市安陽市鶴壁市頂尖名校2020-2021學(xué)年高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），
因?yàn)?，且為，的等比中?xiàng)，
則，解得，所以，
（2）由（1）可得，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
．
6．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】安徽省淮北市、宿州市2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期一模（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題中條件列出方程組求解，得出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)；（2）由（1）的結(jié)果，根據(jù)裂項(xiàng)相消的方法，可求出結(jié)果．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由題意可知：，所以，解得，故．
（2）由（1）可知，
所以
．
7．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，其中，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】廣西南寧三中2020屆高三數(shù)學(xué)（（理））考試四試題
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，
即，化簡(jiǎn)得．因?yàn)楣?，所以?br /> 所以．
（2）因?yàn)椋裕?br /> 所以，
則．
8．在數(shù)列中，，．
（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．
【試題來源】山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月模塊診斷（開學(xué)考試）
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析．
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br /> 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
于是，故．
（2）．兩邊同乘以得．
以上兩式相減得．
故．
9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且2，，成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖北省“荊、荊、襄、宜“四地七校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由題意知，兩式作差可得，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，用錯(cuò)位相減法得到數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）由題意知2，成等差數(shù)列，所以①，
可得②，①②得，又，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以
（2）由（1）可得，
用錯(cuò)位相減法得①
②
①②可得．
10．已知等比數(shù)列滿足，，成等差數(shù)列，且；等差數(shù)列的前項(xiàng)和．求：
（1），；
（2）數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】江蘇省南通市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中模擬
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）設(shè)的公比為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差中項(xiàng)可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解．（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解．
【解析】（1）設(shè)的公比為．
因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即．
因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?br /> 因此．由題意，．
所以，，從而，所以的公差．
所以．
（2）令，則．
因此．
又
兩式相減得
．所以．
11．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】四川省瀘州市2020屆高三數(shù)學(xué)臨考沖刺模擬試卷（（文））（四模）試題
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為，公差為，
由題意得，解得所以；
（2）由（1）可得：，又，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，，
故．
12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
（1）若為等差數(shù)列，求證：；
（2）若，求證：為等差數(shù)列．
【試題來源】陜西省漢中市五校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】（1）已知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則有，
于是，①
又，②
①+②得：，即．
（2）證明：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，
所以，③
，④
④-③并整理，得，即，
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)用倒序相加法求證前n項(xiàng)和公式，由前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題．
13．已知數(shù)列中，且(且)．
（1）求，的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求通項(xiàng)公式
【試題來源】河南省周口市中英文學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1），；（2）存在，實(shí)數(shù)；（3）．
【解析】（1）因?yàn)椋?，?br /> （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列．
設(shè)，由為等差數(shù)列，則有．所以，
即．解得．此時(shí)，
．
綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．
（3）由（2）知，數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差為1的等差數(shù)列，
所以，所以
【名師點(diǎn)睛】此題考查由遞推式求數(shù)列的項(xiàng)，考查等差數(shù)的判斷，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
14．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，，且當(dāng)時(shí)，．
（1）求的值；
（2）證明：為等比數(shù)列．
【試題來源】陜西省漢中市五校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】（1）因?yàn)?，，，?br /> 當(dāng)時(shí)，，
即，解得．
（2）證明：由，得，即．
當(dāng)時(shí)，有，所以，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足：，．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）求．
【試題來源】天津市和平區(qū)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，適合上式，所以；
因?yàn)?，，所以，所以?br /> 所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以
（2）由（1）可得，，且，，
，
設(shè)，①
所以，②
①﹣②得，
所以，
所以，
，
所以．
16．已知數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）請(qǐng)判斷是否存在正整數(shù)，，（），使得，，，成等差數(shù)列？若存在，求出，，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【試題來源】安徽省皖北名校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，答案見解析．
【解析】（1）由題意有，，可得數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列，
又由，所以，可得，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2），
，
作差得，
得，得；
（3）由正整數(shù)，，滿足，得，，
可得，必有，
故不存在正整數(shù)，，（），使得，，成等差數(shù)列．
17．給出一下兩個(gè)條件：①數(shù)列為等比數(shù)列，且，②數(shù)列的首項(xiàng)，且．從上面①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)解答下面的問題(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；．
（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【試題來源】廣東省2021屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】條件選擇見解析，（1）；（2）．
【解析】若選條件①．
（1）由條件，得，
則公比，
令，可得，即，所以，從而有．
（2）由（1）得，，則有，
則其前n項(xiàng)和為．
若選條件②．
（1）令，可得，令，可得，依次類推可得：，
將這一系列等式求和可得：．
其中，故可得．
（2）由（1）得，，則有，
則其前n項(xiàng)和為．
18．已知數(shù)列，滿足．
（1）若，，，求，的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列是共有個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，，，求的值．
【試題來源】浙江省高考選考科目2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月聯(lián)考（B卷）
【答案】（1）；；（2）9．
【分析】（1）由題意可求解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而即可推出的通項(xiàng)公式；
（2）通過數(shù)列累加求和計(jì)算并進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可得出k的值．
【解析】（1）由題意可知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以．
令，則，，
，所以，所以．
又因?yàn)?，所以，，所以?br /> 即．因?yàn)橐矟M足，所以
（2）由題意得，即．
又?jǐn)?shù)列是共有k個(gè)項(xiàng)的有限數(shù)列，所以為末項(xiàng)，
，
相加可得，
由得，
解得或（舍），故．
19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足．
（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】廣東省2021屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性測(cè)試（一）
【答案】（1）證明見解析，；（2）．
【解析】（1）由題得，，
整理得，．
因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，有，
因此是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
所以，所以．
（2）由（1）知，則， ①
①×2，得，②
②-①，得
．
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查錯(cuò)位相減求和法，屬于中檔題．
20．已知函數(shù)（為常數(shù)，且）．
（1）在下列條件中選擇一個(gè)______使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；
①數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；
②數(shù)列是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；
③數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖北省黃石市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月測(cè)試
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【分析】（1）分別選擇三個(gè)條件，先計(jì)算出，再利用等比數(shù)列的定義判斷即可；
（2）先求出，再利用裂項(xiàng)相消法可求出．
【解析】（1）①③不能使成等比數(shù)列，②可以，
選①，則，即，得，
常數(shù)，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列；
選②，則，即，
得，且， ，
為非零常數(shù)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
選③，則，即，
得，常數(shù)，此時(shí)數(shù)列不是等比數(shù)列．
（2）由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)?，所以，所以?br /> ．
21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，， ．是否存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
從①，②， ③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答．
【試題來源】北京市朝陽區(qū)2020屆高三年級(jí)學(xué)業(yè)水平等級(jí)性考試練習(xí)二（二模）
【答案】若選①，不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；
若選②，存在，使得成等比數(shù)列；
若選③，存在，使得成等比數(shù)列．
【解析】若選①，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
所以，，所以，，
若成等比數(shù)列，則，
則，即，即，
解得，均不符合題意，
故不存在正整數(shù)（），使得成等比數(shù)列；
若選②，則當(dāng)時(shí)，，
又符合上式，則，，所以，
所以，，
若成等比數(shù)列，則，即，
解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列；
若選③，則當(dāng)時(shí)， ，
又符合上式，則，，所以，，
若成等比數(shù)列，則，則，即，
解得，或（舍去），故存在，使得成等比數(shù)列．
22．已知數(shù)列滿足，（，），
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意，．
【試題來源】寧夏銀川一中2021屆高三第三次月考（文）
【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析．
【解析】（1）由有，所以
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列．
所以，所以；
（2），
所以，
．
23．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】江西省贛州市南康中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次大考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br /> 兩式相減得，即．
又，所以．
故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以．
（2）因?yàn)?，所以．
則，
兩式相減得：．
所以．
24．已知等比數(shù)列滿足，，在公差不為0的等差數(shù)列，中，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）記，求．
【試題來源】云南省云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三月考
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，，則得，，所以，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且，，成等比?shù)列，
，，，所以．
（2），
，①
，②
②?①得，
即，所以．
25．已知數(shù)列成等差數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列成等比數(shù)列，，且，．
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【試題來源】云南省文山州2021屆高三年級(jí)10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（理）
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又，所以，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，兩式相減得，，
所以，，
所以，而，所以．
（2）由（1）得，
．
26．已知數(shù)列是遞增等比數(shù)列，，且數(shù)列的前3項(xiàng)和，，點(diǎn)在直線上．
（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【試題來源】河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用和放縮法的應(yīng)用，利用恒成立問題的應(yīng)用求出參數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列是公比為且為遞增等比數(shù)列，，且數(shù)列的前3項(xiàng)和，則，解得或，
由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以，
由于數(shù)列的，點(diǎn)在直線上．
所以(常數(shù))，所以．
（2）由于數(shù)列，，所以，
①，
②，
①-②得：，
整理得，解得，
由于恒成立，所以，解得．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
27．若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；
（2）若，求的取值范圍．
【試題來源】江西省鷹潭市2021屆高三（上）模擬命題大賽（文）
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由已知得，解得，．
（2），由得，即，
設(shè)，則需．
，
顯然時(shí)，，時(shí)，，
即，而，，
即時(shí)；當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍是．
28．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且．
（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，證明：．
【試題來源】陜西省西安市高新一中2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末（理）
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】證明：（1）因?yàn)?，所以時(shí)，，即；
時(shí)，，作差得，
化簡(jiǎn)得，
即，故數(shù)列是首項(xiàng)為-6，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，，即，
，，
故．
29．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和．
【試題來源】湖北省宜昌市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期元月調(diào)研考試（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出關(guān)于和的方程，解方程即可求出和的值，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和即可求解．
【解析】（1）設(shè)公差為d，由已知得，解得，．
（2），．
30．已知公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．設(shè)（）．
（1）求，；
（2）設(shè)，若對(duì)都成立，求正整數(shù)的最小值．
【試題來源】安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期秋季聯(lián)賽（文）
【答案】（1），；（2）1．
【解析】（1）數(shù)列的公比為q，則由，得：
，因?yàn)?，所以?br /> 又，，，
從而，
（2）

故不等式等價(jià)于對(duì)都成立，
令，，
令，得；令，得，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故，，
31．已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且滿足：，是，的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】河南省洛陽市汝陽縣2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期聯(lián)考（理）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意得，因?yàn)椋曰颍ㄉ崛ィ?br /> 又因?yàn)槭?，的等差中?xiàng)，
所以，即，所以，
所以，；
（2）由題意，，
所以．
32．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．
【試題來源】黑龍江省大慶中學(xué)2020-2021學(xué)年高三10月月考（理）
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】（1）由題意，數(shù)列前n項(xiàng)和滿足，
當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，
則，
即，即，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1），可得，
則，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和：

，
因?yàn)?，所以，所以，即?br /> 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．
33．已知為等差數(shù)列，且公差，是和的等比中項(xiàng)．
（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值；
（2）若、、、、、成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【試題來源】云南省昆明市第一中學(xué)2021屆高三第二次雙基檢測(cè)（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，得：，
即，整理得，，解得．
，，即，
，解得；
（2）因?yàn)椤?、、、、成等比?shù)列，
所以該數(shù)列的公比，所以，
又因?yàn)?，所以，?br /> 34．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是和的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】天一大聯(lián)考2021屆高三（文）數(shù)學(xué)階段性測(cè)試試題（二）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為．
因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，
即，整理得，解得．
所以，所以；
（2）由（1）可知．所以，①
，②
由①②，可得，
所以．
35．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前2020項(xiàng)和．
【試題來源】廣西欽州市、崇左市2021屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由遞推關(guān)系可判斷為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可寫出；
（2）求出，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出．
【解析】（1）由題知，，，
，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得，即．
因?yàn)椋瑪?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，所以通項(xiàng)公式為．
（2），，
，．
36．已知等差數(shù)列的公差不為零，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)求數(shù)列前2020項(xiàng)的和．
【試題來源】江蘇省2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期新高考質(zhì)量檢測(cè)模擬
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
即，解得，
所以的通項(xiàng)公式為．
（2）的前2020項(xiàng)的和．
37．已知等差數(shù)列公差不為零，且滿足：，，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】廣西南寧市第二中學(xué)2021屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)（文）10月份考試試題
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再解方程即可得到答案．（2）根據(jù)題意得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可．
【解析】（1）由題知：，，解得或（舍去）．
所以．
（2），令其前項(xiàng)和為，
則①，
②，
①②得：，
，
所以．
38．已知等差數(shù)列的公差不為0，，是與的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖南省懷化市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由題得，化簡(jiǎn)即得和數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1）由已知得，所以，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以?br /> （2）由（1）知，
所以．
39．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
【試題來源】安徽省淮北市、宿州市2018-2019學(xué)年高三上學(xué)期一模（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用與關(guān)系可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；（2）整理得到，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果．
【解析】（1）在中，
當(dāng)時(shí)，，即，解得．
當(dāng)且時(shí)，…①，…②
①②得：，整理得：，
，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，．
（2）由（1）得：，
．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用與關(guān)系求解數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的問題，涉及到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解；求解數(shù)列前項(xiàng)和的關(guān)鍵是能夠根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行準(zhǔn)確裂項(xiàng)，進(jìn)而前后相消求得結(jié)果，屬于?？碱}型．
40．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，的通項(xiàng)公式為．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【試題來源】陜西省漢中市五校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，結(jié)合已知條件求、d，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；（2）由已知有，利用錯(cuò)位相減法，求前n項(xiàng)和．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得．①
由，可得．②，聯(lián)立①②，解得，，
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．
（2）由，有，
故，
，上述兩式相減，得
，所以．
41．記為公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求的最大值及對(duì)應(yīng)的大小．
【試題來源】廣東省廣州市海珠區(qū)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考
【答案】（1）（2）當(dāng)或時(shí)，有最大值為20．
【解析】（1）設(shè)的公差為，且．
由，得，由，得，
于是，．所以的通項(xiàng)公式為．
（2）由（1）得，
因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，有最大值為20．
42．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)()，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】陜西省西安交大附中、龍崗中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考（文）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，于是；
所以，是首項(xiàng)為3，公比是3的等比數(shù)列，于是，．
（2），

【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)問題，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減求和問題，其中錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)，最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以，本題屬于中檔題
43．已知公差不等于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖南省郴州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)即可得出；
（2），利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．
【解析】（1）設(shè)公差為由題得，所以．
（2）由（1）得到，
所以．
44．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，如果都有．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)， 數(shù)列的前項(xiàng)的和為，試證明：．
【試題來源】廣東省汕頭市金山中學(xué)四校2021屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
整理得，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，
可得，所以，
即數(shù)列是一個(gè)以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，
由，可得，則．所以，當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)驗(yàn)證，符合，
所以正項(xiàng)數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
（2）由（1）得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
即，從而．
45．已知為等差數(shù)列，且公差，是和的等比中項(xiàng)．
（1）若數(shù)列的前m項(xiàng)和，求m的值；
（2）若，，，，…，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【試題來源】云南省昆明市第一中學(xué)2021屆高中新課標(biāo)高三第二次雙基檢測(cè)（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，，
因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，所以，所以，
由化簡(jiǎn)得．所以，由，解得．
（2）因?yàn)椋?，，，…，成等比?shù)列，
所以該數(shù)列的公比，所以；
又因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以．
46．已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若是方程的兩個(gè)實(shí)根．
（1）求及；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】重慶市第八中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（二）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞增數(shù)列，且，是方程的兩根，
所以，，解得或
又，則，則
故，．
（2），
可得前n項(xiàng)和
．
47．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證：．
【試題來源】重慶市巴蜀中學(xué)2021屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（三）
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）由題可得，解出和，即可得出通項(xiàng)公式；
（2）可得為等比數(shù)列，由求和公式求出，即可證明．
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則有，解得，故．
（2）證明：，首項(xiàng)為，公比為，所以，
又，所以．
48．設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，___________．請(qǐng)?jiān)冖?，，成等比?shù)列；②，，成等差數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問題．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，記數(shù)列前n項(xiàng)和為，求．
【試題來源】湖北省宜昌市夷陵中學(xué)、荊門市鐘祥一中兩校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）．
【分析】（1）選①②③都可得，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，其他條件求出，即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，再代入求值.
【解析】選①，（1）由得：，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
由，，成等比數(shù)列可得，即，解得．
所以．
選②，（1）由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
由，，成等差數(shù)列，得，解得，
所以．
選③，（1）同理，由，得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
由得，，解得，
所以．
（2）由（1）得，，
數(shù)列前n項(xiàng)和為，
故為所求．
49．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，記，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（3）在（2）的條件下，判斷數(shù)列的單調(diào)性，并給出證明．
【試題來源】陜西省西安市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1），；（2）；（3）數(shù)列為遞增數(shù)列，證明見解析．
【分析】（1）代入已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求得，可得；（2）用錯(cuò)位相減法求得和；
（3）用作差法證明數(shù)列的單調(diào)性．
【解析】（1）由題意得，解得，
所以，，；
（2）由（1）得，所以，
，
（1）（2）得
，
所以；
（3）數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，令，?br /> 所以，即．
所以，隨的增大而減小，則數(shù)列為遞增數(shù)列．
50．已知數(shù)列滿足，且（且）．
（1）求，的值；
（2）設(shè)，是否存在實(shí)數(shù)，使得是等差數(shù)列？若存在，求出的值，否則，說明理由．
（3）求的前項(xiàng)和．
【試題來源】廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校高中部2021屆高三上學(xué)期11月月考
【答案】（1），；（2）存在；；（3）．
【解析】（1）由，
令，，得，令，，得；
（2），，，
若是等差數(shù)列，則有，即，解得，
下證當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，
，
所以是公差為1的等差數(shù)列，而，所以；
（3）由（2），所以，
令
則
兩式相減得：

得，所以．
51．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【試題來源】湖北省武漢市五校聯(lián)合體2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由題意，，，
兩式相減得．所以，
又，所以，
所以是首項(xiàng)為2，公比是4的等比數(shù)列．所以；
（2）由題意，，所以，
，
兩式相減得
，故；
（3）結(jié)合（2）可知對(duì)任意的恒成立，
所以即對(duì)任意的恒成立，
所以對(duì)任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，取最大值，所以．
52．已知數(shù)列滿足，，設(shè)．
（1）求，，；
（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，說明理由；并求的通項(xiàng)公式．
【試題來源】湖北省武漢市五校聯(lián)合體2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末
【答案】（1），，；（2）是，理由見解析，．
【解析】（1）由條件可得，將代入得，
又，所以，，即，將代入得，
所以，即，又，所以．
綜上：，，
（2）由條件可得，即，，
又，所以是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，．
因?yàn)?，所以?br /> 53．記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a3＝6，Sn＝λn2+n，λ∈R．
（1）求λ的值及{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．
【試題來源】陜西省西安市高新一中2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），故．
所以，故即，故．
（2），設(shè)的前項(xiàng)和為，
故
．
【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，一般地，知道，則其通項(xiàng)為（注意檢驗(yàn)是否可以整合成統(tǒng)一的表達(dá)式），而求和的方法則依據(jù)通項(xiàng)的形式，本題屬于中檔題．
54．?dāng)?shù)列滿足，且（）．
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）令，求數(shù)列的最大值與最小值．
【試題來源】上海市新場(chǎng)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第一次月考
【答案】（1），，；（2）；（3）數(shù)列的最大值為，最小值為．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，
（2）當(dāng)時(shí)，①，②，
②式減①式可得：，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，上式不成立，
所以是以從第二項(xiàng)開始，公比為的等比數(shù)列，所以．
（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，且遞減，，
當(dāng)時(shí)，且遞減，，
又，綜上所述，數(shù)列的最大值為，最小值為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求項(xiàng)，考查了利用數(shù)列的和求通項(xiàng)公式，以及求數(shù)列的最值，易錯(cuò)點(diǎn)是求通項(xiàng)時(shí)注意首項(xiàng)的是否滿足，屬于中檔題．
55．在數(shù)列中，已知，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為數(shù)列中的最小項(xiàng)，求的取值范圍．
【試題來源】浙江省溫州市龍港市第二高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期初測(cè)試
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，……，，
上式累加可得：，，
又，所以；
（2）由（1）可得，所以，
因?yàn)闉閿?shù)列中的最小項(xiàng)，所以，即，
當(dāng)時(shí)，得，所以；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，得，所以，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，，所以，
又可驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，也成立，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列，
所以，即．綜上所述，的取值范圍為．
【名師點(diǎn)睛】①已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式有多種方法，答題時(shí)要仔細(xì)區(qū)分，且最后一定要注意檢驗(yàn)；②數(shù)列本質(zhì)上是函數(shù)，因此具有一些函數(shù)的性質(zhì)，解決某些數(shù)列問題時(shí)可以用上函數(shù)的相關(guān)方法．
56．已知數(shù)列滿足，且，．
（1）求，的值；
（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式．
【試題來源】江蘇省蘇州市吳江汾湖高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考
【答案】（1）；；（2）證明見解析，．
【解析】（1）由已知，，且，
得，則，又，所以，
由，得，所以．
（2）由已知，得，即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，
則，所以．
57．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列中，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】海南、山東等新高考地區(qū)2021屆高三上學(xué)期期中備考金卷數(shù)學(xué)（A卷）試題
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，由可得出，
兩式作差得，即，則，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比也為，；
（2）由題意得，，所以，且，
則，，，，，
所以，
所以，所以，
所以，易得也適合上式，所以的前項(xiàng)和為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用與之間的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了并項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題．
58．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，，，，組成一個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列，記其公差為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖南省永州市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，
兩式相減得，，即當(dāng)時(shí)，
又當(dāng)時(shí)，，而，則，滿足上式，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以 ．
（2）依題意可知，，由（1）得，，即，
則，，
兩式相減得，
即，所以，．
59．在數(shù)列中，，．
（1）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖南省懷化市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，即，
所以，…，，
累加得，
所以，
因?yàn)闀r(shí)也滿足，所以．
（2）由（1）可得，
所以 ，
令，則，
相減得，
所以 ，又，
所以．
60．已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為滿足：，對(duì)任意的都有，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【試題來源】山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月模塊診斷（開學(xué)考試）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）對(duì)任意的都有，且．
當(dāng)時(shí)，可得，整理得，，解得；
當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式相減得，即，
顯然，且，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差也為，因此，；
（2），則，
所以

，
，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，則．
要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只要．
由題意可得，解得，由可得，
所以，解得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
61．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【試題來源】安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期秋季聯(lián)賽（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，①．②，
②①得（），
，即，成等比數(shù)列，公比為2，
（2）由題意，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
，令，
③，
④，
③④得，
，
62．在①②③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，若問題中的存在，求出的值；若不存在，說明理由．
已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，數(shù)列的首項(xiàng)其前項(xiàng)和為， ，是否存在，使得對(duì)任意恒成立．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【試題來源】河北省石家莊正定中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第二次半月考
【答案】條件性選擇見解析，存在，使得對(duì)任意恒成立．
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?br /> 所以 故，①則
兩式相減整理得又
所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以
所以
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，數(shù)列單調(diào)遞增，沒有最大值，
所以不存在，使得對(duì)任意恒成立．
②由知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以 所以
因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值
所以存在，使得對(duì)任意恒成立．
③由可知是以為公差的等差數(shù)列，
又，所以設(shè)
則
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
則，所以存在，使得對(duì)任意恒成立．
63．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，滿足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】江蘇省無錫市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，故解得，
，，所以，
所以，因?yàn)椋裕?br /> 所以(常數(shù))，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．
（2）由題得，
，
，
，
所以．
64．已知數(shù)列前項(xiàng)和，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【試題來源】廣東省中山市2021屆高三上學(xué)期六校第一次聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，可得，
當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，
當(dāng)時(shí)，，不符合上式．所以的通項(xiàng)公式為，
（2）由（1）得時(shí)，，
可得，，
又由，因?yàn)椋詳?shù)列單調(diào)遞增，所以，，要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只要，即，解得．
65．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【試題來源】湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，
兩式相減并化簡(jiǎn)得．當(dāng)時(shí)，符合上式，故．
（2），即，
，


，．

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