課時作業(yè)(二十) 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知橢圓的焦點(diǎn)為(－1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 D.eq \f(y2,4)＋x2＝1
2．設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則△PF1F2的周長為( )
A．16 B．18
C．20 D．不確定
3．如果方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(0，＋∞) B．(0,2)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
4．點(diǎn)P為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△PMO的面積的最大值為( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3)
C．3 D.eq \f(3,2)
5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且eq \(PF1,\s\up6(→))⊥eq \(PF2,\s\up6(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝________.
6．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，且F1(－1,0)，橢圓經(jīng)過點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).求橢圓的方程．
[提能力]
7．(多選)設(shè)橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，則下列說法中正確的是( )
A．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時，△PF1F2的周長是6
B．當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時，△PF1F2面積的最大值為eq \r(3)
C．存在點(diǎn)P，使PF1⊥PF2
D．PF1的取值范圍是[1,3]
8．已知點(diǎn)P(0,1)，橢圓eq \f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上兩點(diǎn)A，B滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，則當(dāng)m＝________時，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大，最大值為________．
9．已知圓C：(x＋1)2＋y2＝25及點(diǎn)A(1,0)，Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．
[戰(zhàn)疑難]
10．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，AB為過原點(diǎn)O的弦，則△ABF面積的最大值為________．
課時作業(yè)(二十)
1．解析：由題意知c＝1，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
又點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，∴eq \f(4,a2)＋eq \f(0,b2)＝1，
∴a2＝4，b2＝a2－c2＝3，
故橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.故選A.
答案：A
2．解析：∵a＝5，b＝3，∴c＝4.
又|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，|F1F2|＝2c＝8，
∴△F1PF2的周長為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18，故選B.
答案：B
3．解析：方程x2＋ky2＝2可化為eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，若焦點(diǎn)在y軸上，則必有eq \f(2,k)>2，且k>0，即00)，因?yàn)閑q \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1≥2eq \r(\f(x2,4)·\f(y2,3))＝eq \f(xy,\r(3))，即xy≤eq \r(3)，
所以S△PMO＝eq \f(1,2)xy≤eq \f(\r(3),2)(當(dāng)且僅當(dāng)eq \r(3)x＝2y時取等號)，面積的最大值為eq \f(\r(3),2).
答案：A
5．解析：∵F1、F2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且eq \(PF1,\s\up10(→))⊥eq \(PF2,\s\up10(→))，∴|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝9，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，∴36＝4(a2－c2)＝4b2，∴b＝3.
答案：3
6．解析：已知點(diǎn)F2(1,0)，由橢圓的定義得
2a＝|PF1|＋|PF2|＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＋eq \r(02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2)＝4，
∴a＝2，b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(22－12)＝eq \r(3).
因此，橢圓的方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
7．解析：由橢圓方程可知，a＝2，b＝eq \r(3)，從而c＝eq \r(a2－b2)＝1.據(jù)橢圓定義，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|F1F2|＝2c＝2，
所以△PF1F2的周長是6，A項(xiàng)正確．
設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)，因?yàn)閨F1F2|＝2，
則S△PF1F2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|.
因?yàn)閨y0|≤eq \r(3)，則△PF1F2面積的最大值為eq \r(3)，B項(xiàng)正確．
由橢圓性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸的一個端點(diǎn)時，∠F1PF2為最大，
此時，|PF1|＝|PF2|＝a＝2，又|F1F2|＝2，
則△PF1F2為正三角形，∠F1PF2＝60°，
所以不存在點(diǎn)P，使PF1⊥PF2，C項(xiàng)錯誤．
當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的右頂點(diǎn)時，PF1取最大值，
此時|PF1|＝a＋c＝3；
當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C的左頂點(diǎn)時，PF1取最小值，此時|PF1|＝a－c＝1，
所以|PF1|∈[1,3]，D項(xiàng)正確，
故選ABD.
答案：ABD
8．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \(AP,\s\up10(→))＝2eq \(PB,\s\up10(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x1＝2x2，,1－y1＝2?y2－1?，))
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(4x\\al(2,2),4)＋?3－2y2?2＝m，,\f(x\\al(2,2),4)＋y\\al(2,2)＝m，))
得y2＝eq \f(1,4)m＋eq \f(3,4)，所以xeq \\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq \f(1,4)m2＋eq \f(5,2)m－eq \f(9,4)＝－eq \f(1,4)(m－5)2＋4≤4，
所以當(dāng)m＝5時，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大，最大值為2.
答案：5,2
9．解析：如圖，M是AQ的垂直平分線與CQ的交點(diǎn)，連接MA，
則|MQ|＝|MA|，
∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，且|AC|＝2，
∴動點(diǎn)M的軌跡是橢圓，且其焦點(diǎn)為C，A.
易知2a＝5,2c＝2，∴a＝eq \f(5,2)，c＝1，
∴b2＝a2－c2＝eq \f(25,4)－1＝eq \f(21,4)，
故動點(diǎn)M的軌跡方程為eq \f(x2,\f(25,4))＋eq \f(y2,\f(21,4))＝1.
10．解析：
如圖，設(shè)E為橢圓的左焦點(diǎn)，則S△ABF＝S△AOF＋S△BOF＝S△AOF＋S△AOE＝S△AEF≤beq \r(a2－b2).
答案：beq \r(a2－b2)