一、單項選擇題
1．（江西省贛州市贛縣第三中學2020-2021學年高二8月入學考試）已知點和點，且，則實數的值是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】，
，解得：或．故選A
2．（2020江西省新余期末質量檢測）在空間直角坐標系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，則線段PQ的長度為(　　)
A． B．5
C． D．
【答案】B
【解析】由題得，所以線段PQ的長度為5．
故答案為B
3．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知空間向量，，且，則實數（ ）
A． B．-3
C． D．6
【答案】A
【解析】因為，所以，即：，
所以，解得．故選A．
4．（江西省新余一中、宜春一中2021屆高二聯(lián)考）如圖所示，在正方體中，是底面正方形的中心，是的中點，是的中點，則直線，的位置關系是（ ）

A．平行 B．相交
C．異面垂直 D．異面不垂直
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系，寫出與的坐標，即可判斷位置關系．
【解析】建立空間直角坐標系，如圖所示．設正方體的棱長為2，則，，，，
∴，．∵，∴直線，的位置關系是異面垂直． 故選: C

5．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是的中點，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意可得，再利用兩個向量的數量積的定義求得結果．
【解析】
，故選C.
6．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知M，N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，點P在線段MN上，且，設向量，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，連接ON，∵，，

所以，，，
∴
．故選C．
7．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）若兩條不重合直線和的方向向量分別為，，則和的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不確定
【答案】A
【解析】因為兩條不重合直線和的方向向量分別為，，
所以，即與共線，所以兩條不重合直線和的位置關系是平行，故選A
8．（山東省滕州市第一中學2020-2021學年高二9月開學收心考試）設，向量且，則（ ）
A． B．
C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示求得參數，再求向量模長即可．
【解析】，
，
，，故選．
9．（江西省宜春市2016-2017學年高二上學期期末統(tǒng)考理）如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且為中點，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由向量的加法和減法運算：
．故選B
10．（陜西省商洛市商丹高新學校2019-2020學年高二下學期4月學情質量檢測數學（理））如圖，已知正方體，點是的中點，點是的三等分點，且，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵點是的中點，點是的三等分點，且，
∴
，故選D．
11．（安徽省六安市舒城中學2020-2021學年高二上學期開學考試數學（文）試題）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，平面，，，，
則的不同值的個數為個，故選.
12．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）點P(1，2，3）關于xOy平面的對稱點的坐標為（ ）
A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2，－3) D．(1，2，－3)
【答案】D
【分析】關于xOy平面對稱的點的坐標不變，只有坐標相反．
【解析】點P(1，2，3）關于xOy平面的對稱點的坐標為．故選D．
13．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）若向量，向量，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據題意求出，再根據向量的減法坐標運算，由此即可求出結果．
【解析】因為向量，向量，則，
則，故選C．
14．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知正方體，點是上底面的中心，若，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖，
，所以，所以．故選C

15．（江蘇省南京市秦淮區(qū)2019-2020學年高一下學期期末）空間直角坐標系中，已知兩點，，則這兩點間的距離為（ ）
A． B．
C． D．18
【答案】B
【解析】根據題意，兩點，，
則；故選．
16．（湖北省恩施高中2020屆高三下學期四月決戰(zhàn)新高考名校交流卷（B））已知向量，，，且，，則的值為（ ）
A．6 B．
C．9 D．
【答案】C
【解析】∵，∴，，∴向量，
∵，∴，∴，∴．故選C．
17．（四川省綿陽市2019-2020學年高二下學期期末教學質量測試數學（理）試題）在空間直角坐標系中，若，，則點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先設出點，利用向量坐標公式以及向量相等的條件得到等量關系式，求得結果．
【解析】設，所以，
所以，所以，所以點的坐標為，故選D．
18．（廣東省云浮市2019-2020學年高二上學期期末）如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設，，，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】點，，分別是，，的中點，且，，，

．
故選D．
19．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）一個向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為向量在基底下的坐標為，所以，
設在基底下的坐標為，
所以，
有，，，在基底下的坐標為．
故選B．
20．（湖北省武漢襄陽荊門宜昌四地六?？荚嚶?lián)盟2020-2021學年高三上學期起點聯(lián)考）如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用向量分別表示，利用向量的夾角公式即可求解．
【解析】由題意可得， 故選D
21．（河北省石家莊市第二中學2020-2021學年高二上學期8月線上考試（二））長方體中，為棱的中點，則直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，建立如圖所示直角坐標系：

則，設平面的法向量為，
則可得：，取，
則 =，設直線與平面的夾角為，
則，．故選A．
22．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知點，，則，兩點的距離的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩點之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來，建立關于t的函數，轉化為求函數的最小值．
【解析】因為點，，
所以，
有二次函數易知，當時，取得最小值為，的最小值為，故選C．
23．（湖南省邵陽市邵東縣第十中學2020屆高三下學期模擬考試數學（文）試題）如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，點在對角線上運動．當的面積取得最小值時，點的位置是（ ）

A．線段的三等分點，且靠近點 B．線段的中點
C．線段的三等分點，且靠近點 D．線段的四等分點，且靠近點
【答案】B
【解析】設正方體的棱長為1，以?為原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，的中點，

，，則，設，，
由與共線，可得，所以，所以，其中，因為，
，
所以，所以，即是動點到直線的距離，
由空間兩點間的距離公式可得，所以當時，取得最小值，
此時為線段的中點，由于為定值，所以當的面積取得最小值時，為線段的中點．故選B
24．（云南省梁河縣第一中學2019-2020學年高二7月月考數學（理）試題）長方體中，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值．
【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，，，
．
因此，異面直線與所成角的余弦值為．故選B．
25．（廣西桂林市2019-2020學年高二下學期期末質量檢測數學（理））在正方體ABCD--A1B1C1D1中，E是C1C的中點，則直線BE與平面B1BD所成角的正弦值為(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】以為坐標原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值．
【解析】以為坐標原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，，，，
∴，，，
設平面的法向量為，∵，，
∴，令，則，∴，
設直線與平面所成角為，則，故選B．

26．（陜西省商洛市商丹高新學校2020屆高三下學期考前適應性訓練理科）如圖在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱且，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為底面是邊長為1的正方形，側棱且，
則 ，，，，，，
則

，故選B．
27．（2020屆上海市七寶中學高三高考押題卷）已知是正方體內切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的線性運算和數量積運算律可將所求數量積化為，根據正方體的特點可確定的最大值和最小值，代入即可得到所求范圍．
【解析】設正方體內切球的球心為，則，
，
為球的直徑，，，，
又在正方體表面上移動，當為正方體頂點時，最大，最大值為；當為內切球與正方體的切點時，最小，最小值為，，即的取值范圍為．故選．
【點睛】本題考查向量數量積的取值范圍的求解問題，關鍵是能夠通過向量的線性運算將問題轉化為向量模長的取值范圍的求解問題．
28．（湖北省荊門市2019-2020學年高二下學期期末）在平行六面體中，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由空間向量的線性運算，得，
由題可知，，則，所以，
．故選A．
29．（安徽省六校教育研究會2020-2021學年高三上學期第一次素質測試理科）如圖，在直三棱柱中，已知，為側棱上任意一點，為棱上任意一點，與所成角為，與平面所成的角為，則與的大小關系為（ ）

A． B．
C． D．不能確定
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標系設，利用空間向量法分別求得，然后根據，利用余弦函數的單調性求解．
【解析】建立如圖所示空間直角坐標系：

設，則，
所以，
所以，
又，，
所以，所以，
因為 在上遞減，所以，故選C
30．（江西省贛州市贛縣第三中學2019-2020學年高二6月份考試數學（理）試題）如圖，在四棱柱中，底面為正方形，側棱底面，，，是側面內的動點，且，記與平面所成的角為，則的最大值為（ ）

A． B．
C．2 D．
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線面角的正切值的最大值．
【解析】以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
設，則，
，，
，
，的最大值為．故選．

31．（江西省贛州市贛縣第三中學2019-2020學年高二6月份考試數學（理）試題）如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，是棱的中點，是棱上的動點．設，隨著增大，平面與底面所成銳二面角的平面角是（ ）

A．增大 B．先增大再減小
C．減小 D．先減小再增大
【答案】D
【解析】設正三棱柱棱長為，，
設平面與底面所成銳二面角為，
以為坐標原點，過點在底面內與垂直的直線為軸，
所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
設平面的法向量，則，
即，令，則，
所以平面的一個法向量，
底面的一個法向量為，

當，隨著增大而增大，則隨著的增大而減小，
當，隨著增大而減小，則隨著的增大而增大．故選D．

32．（山東省滕州市第一中學2020-2021學年高二9月開學收心考試）已知空間直角坐標系中，，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設，根據點在直線上，求得，再結合向量的數量積和二次函數的性質，求得時，取得最小值，即可求解．
【解析】設，由點在直線上，可得存在實數使得，
即，可得，
所以，
則，
根據二次函數的性質，可得當時，取得最小值，此時．
故選C．
【點睛】本題主要考查了空間向量的共線定理，空間向量的數量積的運算，其中解答中根據向量的數量積的運算公式，得關于的二次函數是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力．
33．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）如圖該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成，半圓柱體底面直徑BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為半圓弧的中點，若異面直線BD和AB1所成角的余弦值為，則該幾何體的體積為（ ）

A．16+8π B．32+16π
C．32+8π D．16+16π
【答案】A
【解析】設在底面半圓上的射影為，連接交于，設．
依題意半圓柱體底面直徑，為半圓弧的中點，
所以且分別是下底面、上底面半圓的圓心．連接，
則與上下底面垂直，所以，
以為軸建立空間直角坐標系，設幾何體的高為，則
，所以，
由于異面直線和所成的角的余弦值為，
所以，即．
所以幾何體的體積為．故選A.

34．（安徽省阜陽市太和第一中學2020-2021學年高二（平行班）上學期開學考試）在正方體中，直線與平面所成角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量后可得所求線面角的余弦值．
【解析】分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，
設正方體的棱長為1，可得
∴，
設是平面的一個法向量，
∴，即，取，得，
∴平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，
∴，
∴，即直線與平面所成角的余弦值是，
故選C.

【點睛】用向量法求二面角大小的兩種方法：
（1）分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小即為二面角的大?。?br /> （2）分別求出二面角的兩個半平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角大小，解題時要注意結合圖形判斷出所求的二面角是銳角還是鈍角．
35．（2020屆重慶市第一中學高三下學期6月模擬數學（理）試題）如圖所示，在正方體中，點P是底面內（含邊界）的一點，且平面，則異面直線與BD所成角的取值范圍為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】過A作平面平面，點P是底面內（含邊界）的一點，且平面，則平面，即在與平面的交線上，連接，

，則四邊形是平行四邊形，，平面，
同理可證平面，平面平面，則平面即為，點在線段上，以D為坐標原點，建立如圖坐標系，設正方體棱長為1，
則，，，設，，
，，，，，
設與BD所成角為，則
，當時，取得最小值為0，
當或1時，取得最大值為，，則．故選C．
36．（重慶市第八中學2020屆高三下學期第五次月考數學（理）試題）如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點，將沿直線DE翻折成．在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分別取DE，DC的中點O，F(xiàn)，則點A的軌跡是以AF為直徑的圓，
以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標系，

則，平面ABCD的其中一個法向量為= (0，0．1)，
由，設，則，
記直線與平面ABCD所成角為，則，
設，
所以直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，故選A．
二、多項選擇題
37．（江蘇省南京市秦淮中學2019-2020學年高二（美術班）上學期期末）對于任意非零向量，，以下說法錯誤的有( )
A．若，則
B．若，則
C．
D．若，則為單位向量
【答案】BD
【解析】對于A選項，因為，則，A選項正確；
對于B選項，若，且，，若，但分式無意義，B選項錯誤；
對于C選項，由空間向量數量積的坐標運算可知，C選項正確；對于D選項，若，則，此時，不是單位向量，D選項錯誤．故選BD．
38．（2020屆百師聯(lián)盟高三開學摸底大聯(lián)考山東卷）下面四個結論正確的是（ ）
A．向量，若，則．
B．若空間四個點，，，，，則，，三點共線．
C．已知向量，，若，則為鈍角．
D．任意向量，，滿足．
【答案】AB
【解析】由向量垂直的充要條件可得A正確；，即，，，三點共線，故B正確；當時，兩個向量共線，夾角為，故C錯誤；由于向量的數量積運算不滿足結合律，故D錯誤．故選AB.
39．（廣東省中山市2019-2020學年高一下學期期末）在空間直角坐標系中，下列結論正確的是（ ）
A．點關于x軸對稱的點的坐標為
B．到的距離小于1的點的集合是
C．點與點的中點坐標是
D．點關于平面對稱的點的坐標為
【答案】BCD
【解析】對于選項A：點關于x軸對稱的點的坐標為，所以A不正確；
對于選項B：點到的距離小于1為，所以B正確；
對于選項C：點與點的中點坐標是，所以C正確；對于選項D：由點關于平面對稱的點的坐標為，所以D正確．
故選B C D．
40．（山東省威海市文登區(qū)2019-2020學年高二上學期期末）正方體的棱長為，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】如下圖所示：

對于A選項，，A選項錯誤；對于B，，B選項正確；對于C選項，，C選項正確；對于D選項，，D選項錯誤．故選BC．
41．（福建省泉州市普通高中2019-2020學年畢業(yè)班第一次質量檢查（理））如圖，正方體的棱長為1，是的中點，則（ ）

A．直線平面 B．
C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成的角為
【答案】ABD
【解析】如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，，，，所以，即，所以，故B正確；，，，
設異面直線與所成的角為，則，又，所以，故D正確；設平面的法向量為，則，即，取，則，即，又直線平面，所以直線平面，故A正確；
，故C錯誤；故選ABD.

42．（海南省海南中學2019-2020學年高三第四次月考）如圖所示，正方體中，，點在側面及其邊界上運動，并且總是保持，則以下四個結論正確的是（ ）

A． B．點必在線段上
C． D．平面
【答案】BD
【解析】對于，在平面上，平面平面，
到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長，
，錯誤；
對于，以為坐標原點可建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則，，，，，
，，，
，，，即，
，，即三點共線，必在線段上，正確；
對于，，，，
與不垂直，錯誤；
對于，，，，，，
設平面的法向量，
，令，則，，，
，即，平面，正確．故選．
43．（福建省寧德市2019-2020學年高二上學期期末考試）如圖所示，棱長為1的正方體中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（ ）

A．平面平面 B．不是定值
C．三棱錐的體積為定值 D．
【答案】ACD
【解析】A．因為是正方體，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正確；B．
，故，故B不正確；
C．，的面積是定值，平面，點在線段上的動點，所以點到平面的距離是定值，所以是定值，故C正確；
D．，，，所以平面，平面，所以，故D正確．故選ACD
44．（山東省濟南萊蕪市第一中學2019-2020學年高二下學期第一次質量檢測）關于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面
B．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面
C．設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底
D．若，則是鈍角
【答案】ABC
【解析】對于A中，根據共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面，所以是正確的；
對于B中，若對空間中任意一點，有，根據空間向量的基本定理，可得四點一定共面，所以是正確的；
對于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量，也不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的；
對于D中，若，又由，所以，所以不正確．
故選ABC．
45．（河北省滄州市鹽山中學2019-2020學年高一下學期期末）若長方體的底面是邊長為2的正方形，高為4，是的中點，則（ ）

A． B．平面平面
C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為
【答案】CD
【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則
，，，，，，，
所以，，
因為，所以與不垂直，故A錯誤；
，，設平面的一個法向量為，則
由，得，所以，

不妨取，則，，所以，
同理可得設平面的一個法向量為，
故不存在實數使得，故平面與平面不平行，故B錯誤；
在長方體中，平面，故是三棱錐的高，
所以，故C正確；
三棱錐的外接球即為長方體的外接球，
故外接球的半徑，
所以三棱錐的外接球的表面積，故D正確．故選CD．
46．（山東省濟南市2019-2020學年高二下學期末考試）如圖，棱長為的正方體中，為線段上的動點（不含端點），則下列結論正確的是（ ）

A．直線與所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱錐的體積為定值
D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形
【答案】BC
【解析】對于A，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

，設
，


∴直線D1P與AC所成的角為，故A錯誤；
對于B，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正確；
對于C，，P到平面CDD1的距離BC＝1，
∴三棱錐D1﹣CDP的體積：為定值，故C正確；
對于D，平面APD1截正方體所得的截面不可能是直角三角形，故D錯誤；故選BC．
47．（江蘇省蘇州中學園區(qū)校2020-2021學年高三上學期8月期初調研）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，，且，則下列結論中正確的是（ ）

A．線段上存在點，使得 B．平面
C．的面積與的面積相等 D．三棱錐的體積為定值
【答案】BD
【解析】如圖，以為坐標原點建系，，為，，軸，
，，，，
即,∴，，，
∴，,，
∴與不垂直，A錯誤．，都在，上，又，
∴，平面，平面，∴平面，B正確
與不平行，則與的距離相等，∴，∴C錯誤
到的距離就是到平面的距離，到的距離為
，∴是定值，D正確．故選BD．

48．（江蘇省揚州市寶應中學2020-2021學年高三上學期開學測試）在正三棱柱中，所有棱長為1，又與交于點，則（ ）
A．= B．
C．三棱錐的體積為 D．與平面BB′C′C所成的角為
【答案】AC
【解析】由題意，畫出正三棱柱如圖所示，

向量
，故選項A正確；
在中，，，，
，所以和不垂直，故選項B錯誤；
在三棱錐中，，點到平面的距離即中邊上的高，所以，所以，故選項C正確；
設中點為，所以，又三棱柱是正三棱柱，
所以平面，所以即與平面BB′C′C所成的角，
，所以，故選項D錯誤．故選AC
49．（山東省泰安肥城市2020屆高三適應性訓練（一））如圖四棱錐，平面平面，側面是邊長為的正三角形，底面為矩形，，點是的中點，則下列結論正確的是（ ）

A．平面
B．與平面所成角的余弦值為
C．三棱錐的體積為
D．四棱錐外接球的內接正四面體的表面積為
【答案】BD
【解析】取的中點，的中點，連接，因為三角形為等邊三角形，所以，因為平面平面，所以平面 ，因為，所以兩兩垂直，所以，如下圖，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，軸 ，軸，建立空間直角坐標系，則，
，因為點是的中點，所以，平面的一個法向量為，，顯然 與不共線，所以與平面不垂直，所以A不正確；
，
設平面的法向量為，則，
令，則，所以，設與平面所成角為，
則，所以，所以B正確；
三棱錐的體積為
，所以C不正確；
設四棱錐外接球的球心為，則，
所以，解得，即為矩形對角線的交點，所以四棱錐外接球的半徑為3，設四棱錐外接球的內接正四面體的棱長為，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對角線，故正方體的棱長為，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以D正確．故選BD.

50．（山東省滕州市第一中學2020-2021學年高二9月開學收心考試）在四面體中，以上說法正確的有（ ）
A．若，則可知
B．若為△的重心，則
C．若，，則
D．若四面體各棱長都為2，分別為的中點，則
【答案】ABC
【解析】對于 ，，，
， ，即，故正確；對于，為△的重心，則，，，即，故正確；
對于，若，，則，
，
，
，
，，故正確；
對于，



，故錯誤．故選ABC.

三、填空題
51．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數t＝_________．
【答案】
【解析】P，A，B，C四點共面，且，，解得．
52．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是_________．

【答案】
【解析】，

，．
53．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學2020-2021學年高二上學期第一次月考）已知，，若，則實數m的值為_________．
【答案】7
【解析】因為，所以，解得．
54．（湖北省宜昌市2019-2020學年高二下學期期末）在正四面體中，是上的點，且，是的中點，若，則的值為_________．
【答案】
【解析】如圖所示：．

由空間向量基本定理得：，，．故．
55．（四川省成都市第七中學2020-2021學年高三入學考試理科）在空間直角坐標系中，記點在平面內的正投影為點，則_________．
【答案】
【解析】因為點在平面內的正投影為，即，
所以，故答案為：.
56．（江蘇省無錫市梅村高級中學2020-2021學年高三上學期期初檢測）二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于．已知，，，，則該二面角的大小為_________．
【答案】
【解析】由條件，知，，．
∴
．
∴，又∵，∴，
∴二面角的大小為．故答案為：．
57．（山東省滕州市第一中學2020-2021學年高二9月開學收心考試）在平行六面體中，，且所有棱長均為2，則對角線的長為_________．
【答案】
【分析】【解析】，
，，
，故對角線的長為.
四、雙空題
58．（江蘇省鎮(zhèn)江中學2019-2020學年高二上學期期末）已知向量，，若，則實數m的值是_________；若，則實數m的值是_________．
【答案】
【解析】，，若，則，
解得；若，則，解得．
故答案為：和．
59．（浙江省舟山市2019-2020學年高二上學期期末）已知向量，，則_________；若，則_________．
【答案】3 0
【解析】∵向量，，∴．
若，則，解得．故答案為：3，0．
60．（河北省深州市長江中學2019-2020學年高二下學期第一次月考）若向量，向量，且，則_________，_________．
【答案】1 -2
【解析】由向量，向量，且，
則，解得：，故答案為：1，-2．
61．（北京市懷柔區(qū)2019-2020學年高二上學期期末考試）已知平面的一個法向量是，且點在平面上，若是平面上任意一點，則向量_________，點的坐標滿足的方程是_________．
【答案】
【解析】∵平面α的一個法向量是，且點在平面上，是平面上任意一點，∴向量＝，∴＝，∴點的坐標滿足的方程是．
62．（浙江省紹興市陽明中學2019-2020學年高二下學期期中）如圖，在底面邊長均為2，高為1的長方體中，E、F分別為、的中點，則異面直線、所成角的大小為_________；平面與平面所成銳二面角的余弦值為_________．

【答案】
【解析】（1）以D為原點建立如圖所示空間直角坐標系：

則，所以，
設異面直線、所成角的大小為，所以，
因為，所以；
（2），設平面的一個法向量為：，
則，即，令，則，
平面一個法向量為：，設平面與平面所成銳二面角為，所以．故答案為：①；②
63．（廣東省江門市第二中學2019-2020學年高二下學期期中）如圖，平行六面體中，與相交于M，設、、，則

（1）_________（用、、表示）；
（2）若、、三向量是兩兩成角的單位向量，則_________．
【答案】
【解析】平行六面體中，、、，
，
因為、、三向量是兩兩成角的單位向量，所以，，，
所以，
所以，故答案為：；.

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