1．在中，角，，的對邊分別為，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范圍．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二（9月份）第一次聯(lián)考（文）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）對已知等式利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理求得的值，進(jìn)而求得角的大小．（2）利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為角的形式，然后利用三角函數(shù)求取值范圍的方法，求得的取值范圍．
【解析】（1）由，利用正弦定理可得：，化為．
由余弦定理可得：，，所以．
（2）在中有正弦定理得，又，
所以，，
故，
因為且，故且，所以，，
故的取值范圍是．
2．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求角的大?。?br /> （2）若，，依次成等比數(shù)列，求的值．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二（9月份）第一次聯(lián)考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，再利用兩角差的余弦公式進(jìn)一步化簡可求得，從而求得角B；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用正弦定理進(jìn)行邊化角，帶入通分后的式子即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
又中，，故，
即，化簡得，又，所以角的大小為．
（2）由，，依次成等比數(shù)列得，由正弦定理得，
故．
3．在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答．已知的內(nèi)角的對邊分別為，，而且_____．
（1）求；
（2）求周長的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考
【答案】（1）條件選擇見解析，；（2）最大值為．
【解析】（1）選①，把，整理得，
由余弦定理得，因為，所以．
選②，因為，
由正弦定理，可得，
因為，則，所以，可得，
又，所以，故，即．
選③，因為，
由正弦定理得：，即，
所以，因為，所以．
（2）由（1）可知，，
在中，由余弦定理得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以，所以，即周長的最大值為．
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對角或兩角及其中一角對邊時，運用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時，運用余弦定理求解．
4．已知的內(nèi)角，，滿足，的面積為．
（1）求；
（2），求的周長．
【試題來源】廣東省深圳市外國語學(xué)校2021屆高三上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由已知條件，根據(jù)角化邊公式化簡得，再利用余弦定理求出，即可得的值；（2）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得，再利用三角形面積公式得出，根據(jù)余弦定理可得，即可求得的周長．
【解析】（1）設(shè)內(nèi)角，，的對邊分別為，，，
，
可得，化簡可得，
由余弦定理可得，，，．
（2）因為，，則，
所以，
由，，因為，，
，，所以的周長為．
5．，，分別為內(nèi)角，，的對邊．已知，．
（1）求；
（2）若，求內(nèi)切圓的半徑．
【試題來源】河南省鄭州市示范性高中2020-2021學(xué)年高三階段性考試（三）（文）
【答案】（1）或；（2）或．
【分析】（1）由正弦定理得，化簡即得解；
（2）先求出的面積，再對分類討論求出內(nèi)切圓的半徑．
【解析】（1）由，得，
因為，所以，所以．
因為，所以，因為，故或．
（2）的面積．
當(dāng)時，由余弦定理得，即，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，
則內(nèi)切圓的半徑．
當(dāng)時，同理可得，
則內(nèi)切圓的半徑．
【名師點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．
6．在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．
在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，設(shè)的面積為S，已知_____________．
（1）求tanB的值；
（2）若，，求b的值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】湖北省武漢市五校聯(lián)合體2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）選擇條件①，由余弦定理化邊為角即可求出；選擇條件②，由正弦定理化邊為角可解出；（2）由，得，再由面積公式可求出，利用余弦定理即可求出．
【解析】（1）選擇條件①．由題意得．即
整理可得，所以．選擇條件②．因為，
由正弦定理得，，，
即，在中，，所以，
，所以．
（2）由，得，又， ，
則，解得．
由余弦定理得：，即．
7．如圖，在直角中，，，，點在線段上．

（1）若，求的長；
（2）點是線段上一點，，且，求的值．
【試題來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）
【答案】（1）3；（2）．
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可．
【解析】（1）在中，已知，，，由正弦定理，
得，解得．
（2）因為，所以，
解得．在中，由余弦定理得，
，
即，
，故．
8．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④．
（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？
（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考（10月）
【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案見解析
【分析】（1）由①可得，由②，結(jié)合二倍角公式，可求得，即，易知①②不能同時成立，進(jìn)而可得滿足題意的組合為①③④或②③④；
（2）若選擇①③④，先求出，進(jìn)而由余弦定理，建立關(guān)系式，可求出，再利用，可求出答案；若選②③④，由余弦定理，建立關(guān)系式，可求出，進(jìn)而由，可得答案．
【解析】（1）由①，可得；
由②，可得，
解得（舍）或，由，可得．
所以①②不能同時成立，故滿足有解三角形的序號組合有①③④或②③④．
（2）若選擇①③④，則，
由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），
所以；
若選擇②③④，由②得，由余弦定理，即，解得，所以．
【名師點睛】本題考查解三角形，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的推理能力與計算能力，屬于中檔題．
9．如圖，在中，點在邊上，，，．

（1）求邊的長；
（2）若的面積是，求的值．
【試題來源】湖北省武漢市五校聯(lián)合體2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末
【答案】（1）2（2）
【分析】（1）在中利用余弦定理可以求出．
（2）由（1）得為等邊三角形，其邊的高線為的高線，根據(jù)已知的面積可以得到的長，根據(jù)余弦定理可以得到的長，再利用正弦定理可以求出．
【解析】（1）在中，設(shè)，則由余弦定理得：
，
即：，解之得：，即邊的長為2．
（2）由（1）得為等邊三角形，作于，則，
所以，故 ，，
所以在中，由余弦定理得：
所以在中由正弦定理得： ，
所以，所以
【名師點睛】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量．
（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；
（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；
（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理．
10．的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)．
（1）求；
（2）若依次成等差數(shù)列，且的外接圓的面積為，求的面積．
【試題來源】安徽省四校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期適應(yīng)性測試（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先利用化簡，利用三角恒等變形轉(zhuǎn)化為，求角；（2）首先根據(jù)三角形外接圓的面積求得，再根據(jù)正弦定理求，再根據(jù)條件，求，利用余弦定理求，最后再求三角形的面積．
【解析】（1）由已知條件得，，
去分母并移項得，．
而．，
因此．因為，所以．又，所以．
（2）因為的外接圓的面積為．所以的外接圓半徑為．
根據(jù)正弦定理得，解得．由依次成等差數(shù)列知，．
由余弦定理得，，配方得，所以．
所以．
【名師點睛】本題考查正余弦定理解三角形，三角恒等變換，重點考查轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于中檔題型．
11．在中，，，分別為角，，對邊，且同時滿足下列四個條件中的三個：①；②；③；④．
（1）滿足有解的序號組合有哪些？
（2）在（1）的組合中任選一組，求的面積．
【試題來源】江蘇省南京師大附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案不唯一，具體見解析．
【分析】（1）利用余弦定理由條件①得，由條件②得，由于，與矛盾，所以不能同時滿足①②，經(jīng)驗證①③④作為條件和②③④作為條件，都有解，（2）若選擇組合①③④，由計算出，再利用三角形面積公式即可求出結(jié)果，若選擇組合②③④，因為，利用勾股定理求出的值，再利用三角形面積公式即可求出結(jié)果．
【解析】（1）由條件①得，
由條件②得，即，
解得或（舍），因為，所以．
因為，，
而在單減，所以．
于是，與矛盾．所以不能同時滿足①②．
當(dāng)①③④作為條件時：有，即，
解得．所以有解．
當(dāng)②③④作為條件時：有，即．解得．
因為，所以，為直角三角形，所以有解．
綜上所述，滿足有解三角形的所有組合為①③④或②③④．
（2）若選擇組合①③④：因為，
所以．
所以的面積．
若選擇組合②③④：因為，所以，
所以的面積．
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的運用，考查了考生的計算能力和解決問題的能力，屬于中檔題．
12．如圖所示，在中，點D為邊上一點，且， E為的中點，，，．

（1）求的長；
（2）求的面積．
【試題來源】黑龍江省大慶實驗中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考（文）
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可得的值．
（2）由（1）知，依題意得，在中，由余弦定理解得的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
【解析】（1）在中，因為，，
所以，
所以，
由正弦定理知，得．
（2）由（1）知，依題意得，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，（負(fù)值舍去），
所以，
從而．

【名師點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
13．在中，角A，B，C對邊分別為若．
（1）求角A；
（2）若，且的外接圓半徑為1，求的面積．
【試題來源】寧夏石嘴山市2020屆高三適應(yīng)性測試（理）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角以及正弦的和角公式化簡求解即可．（2）根據(jù)正弦定理與的外接圓半徑為1，結(jié)合（1）中可得，再根據(jù)余弦定理結(jié)合可得，再根據(jù)面積公式求解即可．
【解析】（1）因為．
由正弦定理得，從而可得，
又C為三角形的內(nèi)角，所以，于是，又A為三角形內(nèi)角，因此．
（2）設(shè)的外接圓半徑為R，則，，
由余弦定理得，即，
所以．所以的面積為．
14．在中，，是上一點，且．
（1）若，求；
（2）求．
【試題來源】云南師大附中2020屆高三（下）月考（理）（七）
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），在中，由余弦定理可知，
，
所以為等腰三角形，所以，
所以，所以，所以．
（2）法一：設(shè)，在中，，
又，，在中，由正弦定理知，
即，所以，
．
法二：由，
得，
兩邊同時除以，得（張角定理），
即，．
【名師點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，屬于中檔題．
15．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，試判斷的形狀并給出證明．
【試題來源】河南省名校聯(lián)盟2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（（理））聯(lián)考試題
【答案】（1）；（2）為等邊三角形，證明見解析．
【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由正弦定理邊化角及誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式可得，即可得到，從而得到三角形的形狀．
【解析】（1），
由正弦定理得，
，根據(jù)余弦定理知．
又角A為的內(nèi)角，．
（2）為等邊三角形，，由正弦定理得．
由三角形內(nèi)角和公式得，故，
，整理得，
，又，．
又由（1）知，為等邊三角形．
【名師點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
16．在中，角、、所對的邊長是、、，向量，且滿足．
（1）求角的大?。?br /> （2）若，求的周長的最大值．
【試題來源】河南省許昌市、濟源市、平頂山市2020屆高三數(shù)學(xué)（（理））第三次質(zhì)檢試題
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用向量模的坐標(biāo)運算可得出，利用余弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，進(jìn)而可得出的周長的最大值．
【解析】（1）且，，
由余弦定理得，，因此，；
（2）由，及余弦定理得，
即，
，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因此，的周長的最大值為．
【名師點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查了利用坐標(biāo)計算平面向量的模，同時也考查了利用基本不等式計算三角形周長的最值，考查計算能力，屬于中等題．
17．中，角，，的對邊分別為，，，且．
（1）求角的大??；
（2）若為邊上的中線，，，求的面積．
【試題來源】河南省南陽市六校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）由正弦定理，得，化簡得到，進(jìn)而求得，即可求得的大??；（2）在中，由余弦定理化簡得，再由正弦定理和兩角和的正弦函數(shù)公式，化簡得到，求得的值，利用面積公式，即可求解．
【解析】（1）由題意，在中滿足，
由正弦定理，得，
又由，所以，
所以，所以，
又因為，則，所以，又由，所以．
（2）在中，由余弦定理，可得，
整理得…①，在中，由正弦定理得，
又由，可得，
所以，所以……②，
由①，②解得，所以．
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，以及三角恒等變換的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
18．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．
（1）求的三個角中最大角的大小；
（2）秦九韶是我國古代最有成就的數(shù)學(xué)家之一，被美國著名科學(xué)史家薩頓贊譽“秦九韶是他那個民族，他那個時代，并且確實也是那個時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”．他的數(shù)學(xué)巨著《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是有世界意義的重要貢獻(xiàn)；他提出的三斜求積術(shù)可以已知三邊求三角形的面積．試用余弦定理推導(dǎo)該公式，并用該公式求的面積．
【試題來源】河南省南陽市六校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)大邊對大角得到C為最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；（2）利用三角形面積公式，以及，且，從而證明結(jié)論的成立，代入、、即可求出三角形ABC面積．
【解析】（1）因為、、所以角最大．由余弦定理得：
，又角為內(nèi)角，所以．
（2）在中，
因為，且
所以
，即證．
當(dāng)、、時，
，
即面積為．
【名師點睛】此題考查了余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
19．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為
（1）若成等差數(shù)列，證明：
（2）若成等比數(shù)列，且，求的值
【試題來源】河南省南陽市六校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）由等差數(shù)列的結(jié)論可得，正弦定理得，．
（2）由等比數(shù)列的結(jié)論可得，據(jù)此可得：，
則．
20．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足，．
（1）求角；
（2）若，求的面積．
【試題來源】河南省商丘市駐馬店市周口市部分學(xué)校聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三10月質(zhì)量檢測（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）由余弦定理可得，進(jìn)而可得，再由三角形面積公式即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
由可得，
由得，所以，
所以，由可得；
（2）由余弦定理及可得，即，
由可得，所以的面積．
【名師點睛】本題考查了三角恒等變換及解三角形的綜合應(yīng)用，考查了運算求解能力，屬于中檔題．
21．內(nèi)角，，的對邊分別是，，，其外接圓半徑為，面積，．
（1）求；
（2）若，求的值．
【試題來源】湖南三湘名校教育聯(lián)盟2020屆高三第二次大聯(lián)考（文）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，結(jié)合兩角和與差的余弦公式，求得的值，由此求得的大小，進(jìn)而求得的大?。?br /> （2）根據(jù)正弦定理求得，由此求得，結(jié)合余弦定理列方程，求得，化簡后求得的值．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得，即，所以，
因為，所以，
所以，
所以，．
（2），，所以，
由已知及余弦定理得，，
所以，．
【名師點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．
22．在中，設(shè)角的對邊分別為，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求周長的取值范圍．
【試題來源】江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末模擬
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三角函數(shù)的平方關(guān)系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域即可得出．
【解析】（1）由題意知，
即，由正弦定理得
由余弦定理得，又．
（2），則的周長
．
，
，
周長的取值范圍是．
【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系，正余弦定理，兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
23．在①；②；③（），這三個條件中，任選一個補充在下面問題中的橫線處，并加以解答．
已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，的面積為4，______，求及．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】河北省張家口市邢臺市衡水市2021屆高三上學(xué)期摸底聯(lián)考（新高考）
【答案】．．
【分析】選①，用正弦定理化角為邊，再用兩角和公式求出，再由面積公式求出，，再由余弦定理可求出
選②，用正弦定理化角為邊，再用兩角和公式的求出，，再由面積公式求出，，再由余弦定理可求出
選③，利用倍角公式，兩角和公式以及面積公式和余弦定理即可求解
【解析】若選①：由正弦定理及，
得，
又，所以，所以，即，所以．
因為，所以，
由余弦定理得，
即．
若選②：由正弦定理得及，
得，即，
又，所以，所以，結(jié)合及，
可解得，．因為，所以，
由余弦定理得，
即．
若選③：由，得，
又，所以，所以，
所以，
所以．
因為，所以，
由余弦定理得，
即．
【名師點睛】本題考查正弦定理，余弦定理，兩角和公式以及面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題
24．如圖，某游樂園的平面圖呈圓心角為120°的扇形，其兩個出入口設(shè)置在點B及點C處，且園內(nèi)有一條平行于的小路．已知某人從C沿走到D用了8分鐘，從D沿走到B用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50米．

（1）求的面積；
（2）求該扇形的半徑的長．
【試題來源】河北省唐山市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月質(zhì)量檢測
【答案】（1）平方米；（2）370米．
【分析】（1）利用三角形的面積公式可得，代入求解即可．
（2）設(shè)扇形的半徑為，連結(jié)，可得，利用余弦定理即可求解．
【解析】（1）由題意（米），（米），；
的面積（平方米）
所以的面積為平方米．
（2）設(shè)扇形的半徑為，連結(jié)，由題意
在中，，
即，解得（米）
則該扇形半徑的長為370米．

【名師點睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理解三角形，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
25．在銳角中，、、分別為角、、所對的邊，且．
（1）確定角的大?。?br /> （2）若，且的面積為，求的值．
【試題來源】寧夏石嘴山市2020屆高三適應(yīng)性測試（文）
【答案】（1）；（2）5．
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，化簡即可求解．
（2）由三角形面積公式，求得，再結(jié)合余弦定理，即可求出．
【解析】（1）由及正弦定理得，．
因為，所以．因為是銳角三角形，所以．
（2）因為，面積為，所以，即．①
因為，所以由余弦定理得，即．②
由②變形得．③將①代入③得，故．
26．在中，，，．
（1）求的大??；
（2）若是的中點，求的長．
【試題來源】北京市八一學(xué)校2021屆高三年級十月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，再利用正弦定理即可求解．
（2）利用余弦定理可得，由，再利用向量模的求解即可求解．
【解析】（1）因為在中，，，，
所以，因為由正弦定理，
可得，又，可得為銳角，所以．
（2）因為在中，由余弦定理，
可得，可得：，
所以解得或(舍去)，因為是的中點，
所以，兩邊平方可得：，
所以，即的長為．

【名師點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理，需熟記公式，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
27．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，為邊上的一點，且，．
（1）求證：；
（2）求的值．
【試題來源】河南省平頂山市2020-2021學(xué)年高三10月階段測試（文）
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）利用余弦定理化角為邊即可得證．
（2）由已知條件可得，利用正弦定理可以求出，進(jìn)而可得，利用，展開即可求解．
【解析】（1）由，由余弦定理得：
，化簡，即得．
（2）在中，，，為等腰直角三角形，，
由正弦定理，，所以，
由于為鈍角，為銳角，所以．
所以．
【名師點睛】本題主要考查了利用正弦和余弦定理解三角形，涉及兩角和的正弦公式，屬于中檔題．
28．在中，，，是，，所對的邊，，，．
（1）求；
（2）若為邊上一點，且，求的面積．
【試題來源】陜西省部分學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期摸底檢測（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由題意求得，再根據(jù)余弦定理即可求出答案；
（2）根據(jù)正弦定理可得，從而求得，則，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．
【解析】（1）由，得，所以，
又因為，，又，即，
解得，(負(fù)值舍去)；
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，

因為，所以，且，
所以的面積．
【名師點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
29．在中，內(nèi)角所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求sinC的值．
【試題來源】安徽省合肥市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次段考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（2）已知兩角，求第三角，利用三角形內(nèi)角和為，將所求角化為兩已知角的和，再根據(jù)兩角和的正弦公式求解．
【解析】（1）在中，由，可得，
又由，得，
所以，得；
（2）由，可得，則．
【考點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理
【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換．角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證．
30．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求面積的最大值．
【試題來源】重慶市重慶八中2021屆高三上學(xué)期九月份適應(yīng)性月考
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出的值，即可確定出角A的大??；
（2）由的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．
【解析】（1）由可得：，
由正弦定理可得：
所以，
因為，所以，因為，所以；
（2）由（1）知，由余弦定理得，即
因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）
所以，所以面積的最大值為．
【名師點睛】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
31．在中，角，，的對邊分別為，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，的面積為，求，的值．
【試題來源】河南省豫南九校2020-2021學(xué)年高二（9月份）第一次聯(lián)考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）正弦定理邊化角，整理化簡得到的值．（2）根據(jù)面積公式得到的關(guān)系，由余弦定理得到的關(guān)系，解出和的值．
【解析】（1）因為，所以由正弦定理
可得，又因
所以，
，化簡可得，即，
所以，所以．
（2）因為的面積為，所以，即，
又，所以由余弦定理得，
所以，結(jié)合．可得．
【名師點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于簡單題．
32．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中．若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．
問題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，__________，且，？
注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分．
【試題來源】福建省福清西山學(xué)校高中部2021屆高三9月月考
【答案】答案見解析．
【分析】由條件可得，若選①，則可求出邊，再用余弦定理可求解；若選②，由正弦定理可得，結(jié)合條件可得出邊，由條件進(jìn)一步得出，再用余弦定理可求解；若選③，即．由，，由余弦定理可得，故不成立．
【解析】選①：因為所以．
所以，所以，．因為，，所以．
符合，故存在滿足條件的．
選②：由正弦定理，則
因為，所以．因為所以．
因為，所以，所以．
由，解得．
符合，故存在滿足條件的．
選③：因為，所以．因為所以．
因為，所以．
得，不成立．故不存在滿足條件的．
【名師點睛】角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．屬于中檔題．
33．如圖，在中，角，，的對邊分別為，，，且．

（1）求的大小；
（2）若，點、在的異側(cè)，，，求平面四邊形面積的最大值．
【試題來源】安徽省六安中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試（理）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理將化為，再由兩角和的正弦公式化簡，即可求出結(jié)果；
（2）先由余弦定理求出的長，將平面四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩三角形與面積之和，即可求解．
【解析】（1）因為，且，所以，
在中，，所以，
所以，
所以 因為在中，，
所以 因為是的內(nèi)角所以．
（2）在中，，
因為是等腰直角三角形，
所以，，
所以平面四邊形的面積 ，因為，所以
所以當(dāng)時，， 此時平面四邊形的面積有最大值
【名師點睛】本題考查了正弦定理與余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用及面積范圍的求法，屬于中檔題．
34．如圖，某自行車手從O點出發(fā)，沿折線O﹣A﹣B﹣O勻速騎行，其中點A位于點O南偏東45°且與點O相距20 千米．該車手于上午8點整到達(dá)點A，8點20分騎至點C，其中點C位于點O南偏東（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且與點O相距5 千米（假設(shè)所有路面及觀測點都在同一水平面上）．
（1）求該自行車手的騎行速度；
（2）若點O正西方向27．5千米處有個氣象觀測站E，假定以點E為中心的3．5千米范圍內(nèi)有長時間的持續(xù)強降雨．試問：該自行車手會不會進(jìn)入降雨區(qū)，并說明理由．

【試題來源】湖北省武漢市江岸區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末
【答案】（1）（2）會進(jìn)入
【分析】（1）根據(jù)余弦定理可求出AC的長，從而可求出自行車的速度；
（2）先根據(jù)余弦定理求出cos∠OAC，再根據(jù)正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比較后即可得到結(jié)論．
【解析】（1）由題意知：OA=2，OC， ∠AOC=α，sinα=．
由于0°＜α＜90°，所以．在△AOC中，由余弦定理得
，所以，所以該自行車手的行駛速度為（千米/小時）．
（2）如圖，設(shè)直線OE與AB相交于點M．

在△AOC中，由余弦定理得
cos∠OAC
從而 sin∠OAC．
在△AOM中，由正弦定理得，
所以，
由于OE=27．5＞40=OM，所以點M位于點O和點E之間，且ME=OE﹣OM=7．5．
過點E作EH AB于點H，則EH為點E到直線AB的距離．
在Rt△EHM中，EH=EM?sin∠EMH=EM?sin（45°﹣∠OAC）．
所以該自行車手會進(jìn)入降雨區(qū)．
【名師點睛】（1）解三角形應(yīng)用題的一般步驟
①閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．
②根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．
③根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．
④將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等．
（2）解題中要合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型．
35．某公司要在一條筆直的道路邊安裝路燈，要求燈柱與地面垂直，燈桿與燈柱所在的平面與道路走向垂直，路燈采用錐形燈罩，射出的光線與平面的部分截面如圖中陰影部分所示．已知，，路寬米．設(shè)．

（1）求燈柱的高（用表示）；
（2）此公司應(yīng)該如何設(shè)置的值才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最小？最小值為多少？
【試題來源】湖北省荊州中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考
【答案】（1）；（2），米
【分析】（1）在與在中，由正弦定理即可用表示燈柱的高；
（2）根據(jù)正弦定理，分別表示出燈柱與燈桿的長，即可表示出，結(jié)合正弦和角公式化簡，結(jié)合角的取值范圍即可得解．
【解析】（1）與地面垂直，，在中，，
由正弦定理得，得，
在中，，由正弦定理得，

．
（2）中，由正弦定理得，
得，


，，當(dāng)時，取得最小值．
故該公司應(yīng)設(shè)置，才能使制造路燈燈柱與燈桿所用材料的總長度最小，最小值為米．
【名師點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，根據(jù)角的范圍求最值，屬于中檔題．
36．設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2ccosC＝acosB+bcosA．
（1）求角C；
（2）若ABC的面積為，且a+b＝5，求c．
【試題來源】福建省福州市2021屆高三數(shù)學(xué)10月調(diào)研B卷試題
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知條件中的邊化為角，有，再結(jié)合正弦的兩角和公式與，可知，從而解得，再結(jié)合的范圍即可得解；
（2）由知，，解出的值后，利用平方和公式求出，最后根據(jù)余弦定理即可得解．
【解析】（1）由正弦定理知，，因為，
所以．
因為，所以，因為，所以．
（2）由知，，所以，
又，所以，
由余弦定理知，，所以．
【名師點睛】本題主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，還涉及正弦的兩角和公式，利用正弦定理將邊化角是解題的突破口，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力．
37．的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，．
（1）若，求；
（2）若，求的面積．
【試題來源】2020屆全國普通高校運動訓(xùn)練、民族傳統(tǒng)體育專業(yè)單獨統(tǒng)一招生考試
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由且，求得，結(jié)合正弦定理，即可求解；（2）由正弦定理和已知條件，求得，再由余弦定理，列出方程，求得的值，再結(jié)合面積公式，即可求解．
【解析】（1）在中，由且，可得，
根據(jù)正弦定理，可得．
（2）由正弦定理可得，
因為，可得，
由余弦定理可得，可得，
即，解得，所以．
【名師點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，要抓住能夠利用某個定理的信息，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
38．中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）記BC邊上的高為h，求；
（2）若，，求．
【試題來源】福建省福州市2021屆高三數(shù)學(xué)10月調(diào)研A卷試題
【答案】（1）2；（2），或．
【分析】（1）利用正弦定理和兩角和的正弦公式即可求得，再利用正弦定理和三角形的面積公式，即可求解．
（2）由（1）得，的面積，可得，再利用余弦定理可得，兩式平方相加即可得關(guān)于的方程，解方程即可求出的值．
【解析】（1）由已知及正弦定理得，，
即，
因為，所以，所以，
所以，因為，所以，所以，即．
（2）由（1）得，的面積，所以，即①，
又由余弦定理，得，即②，
所以，即，解得，或
【名師點睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．
39．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)?早隔離．現(xiàn)某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿著邊界用固定高度的板材圍成一個封閉的隔離區(qū)．經(jīng)測量，邊界與的長都是200米，，．
（1）若，求的長(結(jié)果精確到米)；
（2）圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？(不計損耗，結(jié)果精確到米)．

【試題來源】上海市華東師大二附中2021屆高三上學(xué)期9月月考
【答案】（1）米；（2）631米．
【分析】（1）直接根據(jù)正弦定理即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理、三角函數(shù)的變換和三角函數(shù)的性質(zhì)可求出取得最大值，進(jìn)而可得結(jié)果．
【解析】（1）聯(lián)結(jié)，則在中
由，得：
所以的長約為163米
（2）設(shè)，則
在中，由，
得：
所以
所以當(dāng)時，取得最大值，
此時圍成該施工區(qū)域所需的板材長度最長，為千米，約為631米
【名師點睛】本題考查了正余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題．
40．已知向量，，，其中是的內(nèi)角．
（1）求角的大小；
（2）若為銳角三角形，角，，所對的邊分別為，，，，，求的面積．
【試題來源】江西省南昌市第二中學(xué)2021屆高三上學(xué)期第三次考試（文）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用兩個向量垂直的坐標(biāo)表示進(jìn)行運算，利用降次公式和輔助角公式化簡后，可求得的大小．（2）利用余弦定理求得邊的長，解有兩個，根據(jù)三角形為銳角三角形排除其中一個，再根據(jù)三角形的面積公式求得三角形的面積．
【解析】（1）向量，，
，可得，即有，，，，可得；
（2）在中，由余弦定理可得，，即為，解得或2，
若，則為最大邊，且，為鈍角，不合題意；
若，則為最大邊，且，B為銳角，合題意，
則的面積為．
【名師點睛】本小題主要考查兩個向量垂直的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)降次公式和輔助角公式，考查余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．
41．在①，②，③的面積，三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．（如果選擇多個條件作答，則按所選的第一個條件給分）
在中，角、、所對的邊分別為、、，且角為銳角，
（1）求角；
（2）若，求的取值范圍．
【試題來源】百師聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期一輪復(fù)習(xí)聯(lián)考新高考數(shù)學(xué)試卷（一）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）選①由，
得
由正弦定理，得．所以因為，所以．
選②，則，．，所以．
選③，則．
，所以，又，所以．
（2），
化簡得：．
因為，所以，，即．
【名師點睛】本題考查正弦定理，余弦定理以及三角函數(shù)兩角和公式的運用，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題
42．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足關(guān)系式．
（1）求角的大??；
（2）若，，求的面積．
【試題來源】云南省保山市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末（（理））
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理邊化角可得，化簡整理可得：，即可得解；（2）根據(jù)余弦定理得，化簡求值可得，代入面積公式即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
化簡得，因為，所以，
則，得，所以．
（2）由余弦定理得，
化簡得，故，，
所以的面積為．
【名師點睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了面積公式，解此類問題的關(guān)鍵是角化邊或者邊化角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．
43．已知的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，，，．
（1）求角的大??；
（2）若，邊上的中線長為，求的面積．
【試題來源】浙江省精誠聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)正弦定理邊角互化得出，再然后根據(jù)兩角和的正弦公式得出，最后根據(jù)A、B、C是的三個內(nèi)角即可得出，并求出角的大??；
（2）本題首先可以根據(jù)是邊上的中線得出，然后通過轉(zhuǎn)化得出，再然后通過余弦定理得出，最后兩式聯(lián)立，得出，通過解三角形面積公式即可得出結(jié)果．
【解析】（1）因為，，，
所以，，
即，，
，
，因為A、B、C是的三個內(nèi)角，
所以，，，，
（2）因為是邊上的中線，所以，即，
則，，，
因為，所以，即，
聯(lián)立，解得，
故的面積．
【名師點睛】本題考查解三角形的相關(guān)問題的求解，考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，考查解三角形面積公式、余弦定理以及兩角和的正弦公式，考查向量垂直的相關(guān)性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是中檔題．
44．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知
（1）求角C；
（2）若， 且，求△ABC的面積．
【試題來源】云南師大附中2021屆高三高考適應(yīng)性月考卷（一）（理）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再根據(jù)余弦定理可求出，繼而得出角C；
（2）根據(jù)條件可得，分和兩種情況討論可求出面積．
【解析】（1）已知，
由正弦定理，，整理得，
由余弦定理：，又，所以．
（2）已知，整理得，
，即．
①當(dāng)時，為直角三角形，
，；
②當(dāng)時，，
所以，為等邊三角形，，的面積為或．
【名師點睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用以及三角恒等變換解三角形，考查三角形面積的求解，屬于中檔題．
45．如圖，在中，點D是邊BC上的一點，，．

（1）若，求；
（2）若，求AB的長．
【試題來源】浙江省山水聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在中以及中，利用余弦定理可得，在中，再利用正弦定理即可解．
（2）在兩個三角形中，利用余弦定理、建立等量關(guān)系，整理得出，結(jié)合題中的條件，利用余弦定理建立等量關(guān)系式，求得結(jié)果．
【解析】（1）在中，利用余弦定理可得，
在中，，所以，解得 ，
由，在中，由正弦定理可得，
即，解得．
（2）因為，所以，可得，
在中，，
所以，
整理得出，所以，所以．
【名師點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查了基本運算求解能力，屬于中檔題．
46．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角的大小；
（2）設(shè)，，求b和的值．
【試題來源】山西省太原市第五中學(xué)2021屆高三上學(xué)期9月階段性考試（文）
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）由正弦定理得，又，由此可解得B．
（2）由余弦定理得，由，得，則，由此能求出．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得，即，
又因為，所以，可得．
（2）在中，由余弦定理及，，，
由，故，
由，可得，
因為，故，因此，，
所以，
所以．
【名師點睛】本題主要考查兩角和差的三角函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，以及二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
47．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且向量，，且，為銳角．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面積的最大值．
【試題來源】山西省太原市第五中學(xué)2021屆高三上學(xué)期9月階段性考試（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用向量共線的條件，建立等式，結(jié)合A為銳角，即可求角A的大?。?br /> （2）根據(jù)，利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形面積公式，即可求的面積的最大值．
【解析】（1）因為，，且，
所以，所以，
所以，所以，因為為銳角，所以；
（2）因為，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以時，取得最大值4，
因為的面積等于，所以的面積的最大值為．
【名師點睛】本題考查向量共線的條件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面積公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
48．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．
在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足______．
（1）求角的大??；
（2）若，求面積的最大值．
【試題來源】遼寧省2021屆高三上學(xué)期測評考試
【答案】條件選擇見解析（1）；（2）．
【解析】若選條件①：（1）因為，由正弦定理，得
，即．
在中，，得．
即，又，所以，所以．
（2）因為，由余弦定理得(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，
結(jié)合三角形的面積公式得到，
所以該三角形面積的最大值為．
若選條件②：（1）結(jié)合余弦定理得到，又，所以．
（2）由，結(jié)合余弦定理得到：
(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，結(jié)合三角形的面積公式得到，
所以該三角形面積的最大值為．
若選條件③：（1）因為，所以，所以．
又，所以．
（2）由，結(jié)合余弦定理得到：
(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)，結(jié)合三角形的面積公式得到，所以該三角形面積的最大值為．
【名師點睛】本題考查正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值及三角形面積，注重考查三角公式及定理的熟練運算，是中檔題
49．如圖，某城市有一矩形街心廣場，如圖．其中百米，百米．現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個三角形水池種植荷花，其中點在邊上，點在邊上，要求．

（1）若百米，判斷是否符合要求，并說明理由；
（2）設(shè)，寫出面積的關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值．
【試題來源】2020屆上海市嘉定區(qū)高三一模
【答案】（1）不符合要求，理由詳見解析；（2），最小值為．
【解析】（1）由題意，，，
所以，
所以，不符合要求．
（2），，
所以，，，

，所以，的最小值為．
【名師點睛】本題考查三角形的解法與實際應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
50．已知a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足．
（1）求角A的大?。?br /> （2）若，，求的面積．
【試題來源】江西省贛州市會昌縣七校2021屆高三聯(lián)合月考（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，可得：，
所以由余弦定理可得：， 又，所以
（2）由及正弦定理可得：，
因為，，所以由余弦定理可得：，
所以解得，，所以
【名師點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件．另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用．
51．在中，角的對邊分別為，．有以下3個條件：①；②；③．請在以上3個條件中選擇一個，求面積的最大值．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】河北省唐山市2021屆高三上學(xué)期第一次摸底
【答案】答案見解析．
【解析】若選擇①：由正弦定理得：可將化為，
又，所以，所以，
即，，，，
所以（當(dāng)時取到等號），
所以面積的最大值為2．
若選擇②：由正弦定理可將化為，又，所以，
所以，即，
，又，，又由余弦定理可得：
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
，所以面積的最大值為．
若選擇③：因為，所以，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又由余弦定理得：
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
所以面積的最大值為．
【名師點睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面積公式解三角形．屬于中檔題．
52．在中，角的對邊分別為，且．
（1）求的大??；
（2）若的外接圓的半徑為，面積為，求的周長．
【試題來源】江蘇省徐州市銅山區(qū)、南通市如皋中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次抽測
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式化簡即得的大??；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面積求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解．
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，，
由三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式可得，
，
代入上式可得，，
所以．因為，所以，即．
由于，所以．
（2）因為的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，．
又的面積為，所以，即，所以．
由余弦定理得，則，
所以，即．所以的周長．
【名師點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．
53．在△ABC中，a， b， c分別為內(nèi)角A， B， C的對邊，且
（1）求A的大小；
（2）求的最大值．
【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次驗收考試（文）
【答案】（1）120°；（2）1．
【分析】（1）由題意利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可得∠A的大??；
（2）由題意結(jié)合（1）的結(jié)論和三角函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值．
【解析】（1），
，即．
，．
（2），
，所以當(dāng)即時，取得最大值1．
【名師點睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．
54．在①，②asinC＝ccos，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線處，并完成解答．
問題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，D是邊BC上一點，BD＝5，AD＝7，且________，試判斷CD和BD的大小關(guān)系________．
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
【試題來源】河北省石家莊市2021屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測（一）
【答案】答案見解析．
【分析】先利用余弦定理求出的長，選條件①：利用輔助公式和正弦定理即可求解；選條件②：利用邊化角，然后利用兩角差的余弦公式求出，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可判斷CD和BD的大小關(guān)系
【解析】設(shè)AB=x，在中由余弦定理可得：
，即，解得，
方案一：選條件①．由得， ，

在中由正弦定理可得：解得，

方案二：選條件②．由正弦定理可得：代入條件得：，
，因為A為三角形內(nèi)角，所以，故，
所以為等邊三角形，所以，所以CD

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