一、解答題
1．（浙江省“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期返校聯(lián)考）如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，，，．

（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：設(shè)，則，又，
由余弦定理知：．由勾股定理的逆定理知：，
又平面平面，平面平面，
平面，∴平面，∵平面，∴．
（2）令，則，
又，，由余弦定理知：，
∴，∴，∴平面，∴，
∴，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系

，，，
設(shè)點(diǎn)為，則
得到：．∴，∴，
設(shè)平面的法向量為，
，得到，
又，∴．
2．（重慶市南開中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第九次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理））如圖，直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；
（2）若直線與所成的角為，求二面角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、，
，為的中點(diǎn)，，
在直三棱柱中，平面，平面，，
，平面．
、分別為、中點(diǎn)，，，
為中點(diǎn)，，，，，
四邊形為平行四邊形，，所以平面；
（2）設(shè)，，為異面直線、所成的角，
，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，由，可得，
令，則，，所以，平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，由，可得，
令，則，，所以，平面的法向量為，
設(shè)二面角的大小為，，
所以．
3．（重慶市第八中學(xué)2020屆高三下學(xué)期第五次月考數(shù)學(xué)（理））如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面CDP，已知，Q為線段DP的中點(diǎn)．

（1）求證：平面ACQ；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)
ABCD為正方形，則為的中點(diǎn)，又為中點(diǎn)．
所以，面，面，所以面．
（2）平面CDP，面，則
又ABCD為正方形，所以，且
所以面， 由面ABCD．所以面面ABCD．
過作交于點(diǎn)，則面ABCD．
，則．取的中點(diǎn)為，
以為原點(diǎn)， 為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則，
設(shè)面的法向量為，，
所以 ，即 ，取，
設(shè)面的法向量為，，，
所以 ，即，取，
所以 ，
所以二面角的平面角的余弦值.

4．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考）在直線三棱柱中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交棱于點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

（1）寫出、、、、、的坐標(biāo)；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
（2）∵，
∴，
∴異面直線與所成角的余弦值為.
5．（江蘇省鎮(zhèn)江市揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期初檢測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足．

（1）若，求二面角的大小；
（2）若直線與平面所成角的正弦值，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則
，，，，，
所以，，設(shè)，
則，，所以，
易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，，所以，
，
由圖形可得，二面角為銳角，所以二面角的大小為．
（2），，設(shè)，
則，，
所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，則，
，
因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值，
則，
，解得：，，．

6．（遼寧省遼陽市遼陽縣集美中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，．
（1）求向量與向量的夾角的余弦值；
（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先寫出，，再根據(jù)空間向量的夾角公式直接求解即可；
（2）根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示直接求解即可得答案．
【解析】（1）∵，，
設(shè)與的夾角為，∴；
（2）∵，且，
∴，即：或．
7．（河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考）如圖，在四棱錐中，底面，，，，．

（1）求證：；
（2）若，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)線面垂直的判定定理，證明平面，進(jìn)而可得線線垂直；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題中條件，分別求出兩平面的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，即可得出結(jié)果．
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形?br /> 因?yàn)樗运倪呅问蔷匦危裕?br /> 又，所以．
所以是直角三角形，即．
又底面，底面，所以．
又平面，平面，且．
所以平面．又平面，所以．

（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由（1）知，，．

，所以．所以
所以．
設(shè)平面的法向量為，則，
所以，即，取，則，，
所以平面的一個(gè)法向量為．
又平面的一個(gè)法向量為
所以.
所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查證明線線垂直，以及求二面角，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用空間向量的方法求二面角即可，屬于?？碱}型．
8．（安徽省合肥市廬江縣2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理））如圖，平面，，．

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）見證明；（2）（3）
【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系
（1）利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；
（2）分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；
（3）首先確定兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計(jì)算公式得到關(guān)于CF長(zhǎng)度的方程，解方程可得CF的長(zhǎng)度．
【解析】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

可得．
設(shè)，則．
（1）依題意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因?yàn)橹本€平面，所以平面．
（2）依題意，，
設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，
不妨令z=1，可得，因此有．
所以，直線與平面所成角的正弦值為．
（3）設(shè)為平面BDF的法向量，則，即．
不妨令y=1，可得．
由題意，有，解得．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意?所以，線段的長(zhǎng)為．
9．（四川省宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校2021屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理））如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，平面平面，，四邊形為平行四邊形，且．

（1）求證：；
（2）若，，直線與平面所成角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此．證明平面，即可證明結(jié)論；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夾角公式，即可得答案；
【解析】（1）過作交于，連接，由平面平面，得平面，因此．

，，，，，
由已知得為等腰直角三角形，
因?yàn)?，又，?br /> 平面，．
（2），平面，平面，平面，
平面平面，．由（1）可得，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由題設(shè)可得，進(jìn)而可得，，，，，．
設(shè)平面的法向量，則，，可?。?br /> 設(shè)平面的法向量，則，，
可?。畡t．
二面角的余弦值為．
10．（江蘇省無錫市江陰市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)檢測(cè)）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．

（1）證明：平面；
（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）在圖的直角梯形中，連接，

，，，是的中點(diǎn)，所以且，所以，四邊形是菱形，則，
翻折后，在圖中，，．
，平面，
又因?yàn)榍?，，是的中點(diǎn)，且，
所以四邊形是平行四邊形，從而．
平面，平面；
（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，．
所以為二面角的平面角，所以．
如圖，以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，且?br />
所以，，，．
得，，．
設(shè)平面的法向量，平面的法向量，
平面與平面夾角為，
則，得，令，可得，則，
，得，令，可得，，則，
從而，
即平面與平面夾角的余弦值為．
11．（江蘇省百校聯(lián)考2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次考試）如圖，已知，平面，平面，過點(diǎn)且垂直于的平面與平面的交線為，，，．

（1）證明：平面；
（2）設(shè)點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：因?yàn)?，平面，所?/平面，
又平面，平面平面，所以//．
因?yàn)槠矫妫裕?，?br /> 所以平面，從而平面．
（2）作//，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，平面?平面的法向量分別為，，
則，，，．
因?yàn)槠矫?，所以，令，得，，即?br /> 同理，令，得，，即．
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以平面與平面所成銳二面角的最小值為．

12．（江蘇省南京市秦淮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研）如圖，是半圓的直徑，是半圓上除，外的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直于半圓所在的平面，，，．

（1）證明：平面平面；
（2）當(dāng)點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：∵是圓的直徑，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）當(dāng)點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時(shí)，，
以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系如圖所示：
則，，，，
∴，，，，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，
則，，即，，
令得，令得．∴．
∵二面角是鈍二面角，∴二面角的余弦值為．

13．（浙江省平陽縣浙鰲高級(jí)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期初教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，，分別為，中點(diǎn)，為中點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)（不為中點(diǎn)），直線與直線交于，直線與直線交于．

（1）證明：平面；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）由題意可得是正三角形的中位線，所以，面，面，可得面，面，面面，則，在正三角形中，為中點(diǎn)，可得，即，
底面正三角形的邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，可得三條側(cè)棱兩兩垂直，
即，，可得面，則，
又，由線面垂直的判定定理可得平面．
（2）由已知可得三條側(cè)棱兩兩垂直，以直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，則，由與共線得，
得，解得，所以，同理得，
可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，令，得，即，，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
則直線與平面所成角的正弦值為．

14．（湖南省岳陽市汨羅市二中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說明理由；
（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】（1）在棱上存在點(diǎn)，使得平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．
理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，由題意，且，
且，故且．所以，四邊形為平行四邊形．
所以，，又平面，平面，所以，平面．
（2）由題意知為正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則由題意知，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則由得，令，則，，
所以取，顯然可取平面的法向量，

由題意：，所以．
由于平面，所以在平面內(nèi)的射影為，
所以為直線與平面所成的角，
易知在中，，從而，
所以直線與平面所成的角為．
15．（河北省石家莊市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期8月線上考試（二））如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，．

（1）證明：平面；
（2）若二面角的余弦值為，線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】（1）平面，平面，
取的中點(diǎn)為，連接，，

又平面平面，平面平面，平面
平面，又平面，，
，平面，平面.
（2）設(shè)，由（1）知，平面，平面，
如圖，分別以所在直線為軸，軸，過點(diǎn)作軸，且平行于，建立空間直角坐標(biāo)系，易得，
平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
，，
解得，即，從而得出，在中，
線段的長(zhǎng)為.

16．（湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)2020屆高三高考數(shù)學(xué)（理科）模擬試題（一）（a卷））在四棱錐中，，，．

（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面夾角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：設(shè)、的中點(diǎn)分別為O、E，連接、、
則為直角梯形的中位線，故．
又且E為中點(diǎn)，故．
又，從而平面，從而．
又且O為中點(diǎn)，故．
這樣與平面內(nèi)的兩條相交直線，垂直
從而平面．又平面，故平面平面．

（2）在上取一點(diǎn)F，使得，則，，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，射線，，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，求得，，，
從而：，，
設(shè)平面的法向量為，由可?。?br /> ，故直線與平面夾角的正弦值為．
17．（江西省贛州市贛縣第三中學(xué)2019-2020學(xué)年高二6月份考試數(shù)學(xué)（理））如圖，已知四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為的菱形，為中點(diǎn)，連接．

（1）求證：平面平面；
（2）若平面平面，且二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．
【答案】（1）見證明；（2）2．
【解析】（1）連接，

∵菱形中，，∴為等邊三角形，
又為中點(diǎn)，∴．又，則，
又，∴平面，
又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）∵平面 平面，且交線為，，平面，
∴， 以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
則， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，可取
又平面的法向量可取，由題意得，
解得，即，又菱形的面積，
∴四棱錐的體積為．
【點(diǎn)睛】空間向量的引入，為解決立體幾何中的角度問題提供了工具，可將幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算的問題處理，但解題中需要注意向量的夾角與空間角的關(guān)系，在進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算后還需要再轉(zhuǎn)化為幾何問題，屬于中檔題．
18．（江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月期初調(diào)研）如圖1，四邊形ABCD為矩形，BC=2AB，E為AD的中點(diǎn)，將ABE、DCE分別沿BE、CE折起得圖2，使得平面平面BCE，平面平面BCE．

（1）求證：平面平面DCE；
（2）若F為線段BC的中點(diǎn)，求直線FA與平面ADE所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：在圖1中，BC=2AB，且E為AB的中點(diǎn)，
，同理．
所以，
又平面平面BCE，平面平面，
所以平面ABE，又平面，所以平面平面DCE．
（2）如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，EC所在的直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則．
向量，設(shè)平面ADE的法向量為
由，得，令，得平面ADE的一個(gè)法向量為，
又， 設(shè)直線FA與平面ADE所成角為，
則，所以直線FA與平面ADE所成角的正弦值為．
19．（山東省滕州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二9月開學(xué)收心考試）如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成角為．
求證：平面BDE；
求二面角的余弦值；
設(shè)點(diǎn)是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面BEF，并證明你的結(jié)論．

【答案】（1）見解析 （2）（3）M的坐標(biāo)為(2，2，0)，見解析
【解析】（1）證明：∵平面，平面，
∴，又∵是正方形，∴，
∵，∴平面．
（2），，兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

∵與平面所成角為，即，
而，由，可知：，∴．
則，，，，，
∴，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則．因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量?br /> ∵，所以．
因?yàn)槎娼菫殇J角，故二面角的余弦值為．
（3）依題意得，設(shè)，則，
∵平面，∴，即，解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)，∴點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”．
20．（江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期初）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，分別是，的中點(diǎn)，．

（1）若，求異面直線與所成角的余弦值的大??；
（2）若二面角的余弦值的大小為，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）連接，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面?br /> 所以平面，又平面，所以；
因?yàn)?，是的中點(diǎn)，
所以，且，則，，
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
則，，，，．
從而，，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值的大小為．
（2）設(shè)，則．因?yàn)?，，所以平面?br /> 從而是平面的一個(gè)法向量．
不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)?，，所以，即?br /> 不妨令，則，，即．
由已知，得，化簡(jiǎn)得，
所以．

【點(diǎn)睛】本題主要考查由空間向量的方法求異面直線所成的角，考查由二面角求其它的量，靈活掌握空間向量的方法求解即可，屬于常考題型．
21．（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月開學(xué)測(cè)試）如圖，在四棱錐中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中點(diǎn)．

（1）求證：CM∥平面PAB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接．

分別為的中點(diǎn)，，
又且，，四邊形為平行四邊形，
，又平面，平面，平面．
（2）由題意知：兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，，．
平面，為平面的一個(gè)法向量，
，
二面角為銳二面角，二面角的余弦值為．
22．（西藏山南市第二高級(jí)中學(xué)2020屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理））在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)在底面上的射影恰是的中點(diǎn)，側(cè)棱和底面成角．

（1）若為側(cè)棱上一點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，；
（2）求二面角的余弦值大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】由題意可知底面，且，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系．
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，又與底面所成角為，
所以，所以．
所以，，，，．
（1）設(shè)，則，所以，
．若，則，
解得，而，所以，所以．
（2）因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
所以．而平面的法向量為，
所以，又顯然所求二面角的平面角為銳角，
故所求二面角的余弦值的大小為．
23．（遼寧省多校聯(lián)盟2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）如圖，直四棱柱的底面為直角梯形，，，，，，分別為棱，的中點(diǎn)．
（1）在圖中作出平面與該棱柱的截面圖形，并用陰影部分表示(不必寫出作圖過程)；
（2）為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值．

【答案】（1）答案見解析；（2）．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)?，則四邊形是平面與該棱柱的截面圖形．

（2）∵直四棱柱的底面為直角梯形，，，
，，，分別為棱，的中點(diǎn)，
∴以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
設(shè)異面直線與所成角為，
則．∴異面直線與所成角的余弦值為．
24．（山東省泰安市2020屆高三第四輪模擬復(fù)習(xí)質(zhì)量）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：AE⊥平面PBC；
（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．
【答案】（1）見解析（2）當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°
【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵ABCD為正方形，∴AB⊥BC ，又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB，∴BC⊥平面PAB，
∴AE平面PAB，∴AE⊥BC，∵PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，∴AE⊥PB，
又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC .
（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1），∴，， ，
設(shè)F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴，設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，
則，∴，令y1=2，則，∴ ，
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，則，∴，
令y2=1，則，∴，∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，
∴，解得λ=1，
∴當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°
【點(diǎn)睛】本題考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的垂直的證明，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的邏輯推理能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力和空間想象能力．考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算．
25．（廣東省河源市2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理））如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為梯形，，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，且，，，．

（1）證明：平面．
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【解析】（1）證明：如圖所示，連接交于點(diǎn)，連接．
四邊形為梯形，且，，即，
在中，，，//
又平面，平面，//平面．
（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別以、、為軸、軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．
所以，，，，，
設(shè)和分別是平面和平面的法向量，則
，得，令得，，即，
，得，令得，，即
所以，，
故平面和平面所成角銳二面角的余弦值為平面．

【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行的證明及二面夾角的計(jì)算問題，難度一般． 證明線面平行時(shí)要緊扣線面平行的判定定理，二面角的計(jì)算一般通過法向量的夾角處理，準(zhǔn)確計(jì)算出平面的法向量是關(guān)鍵．
26．（廣東省佛山市第四中學(xué)2021屆高三上學(xué)期8月開學(xué)考試）如圖，底面 是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面，，與平面所成角為60°．
（1）求證： 平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1）證明：∵平面，平面，∴所以，
又∵底面是正方形，∴．
∵，∴平面．
（2）解：∵兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸，方向?yàn)閥軸，方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，∴，
由，可知．
則，
∴，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即令，則．
∵平面，則為平面的一個(gè)法向量，∴，，∵二面角為銳角，∴二面角的余弦值為．
27．（廣東省廣州市六區(qū)2021屆高三上學(xué)期9月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一））如圖，在圓柱中，為圓的直徑，C，D是弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，是圓柱的母線．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】連接，根據(jù)C，D是半圓上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，利用平面幾何知識(shí)，得到四邊形是平行四邊形，則，然后利用線面平行的判定定理證明．
（2）根據(jù)是圓柱的母線，得到平面，在中求得，在中，求得，然后在內(nèi)，作于點(diǎn)H，連接，就是二面角的平面角，然后由求解．
【解析】（1）如圖所示：

連接，因?yàn)镃，D是半圓上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
所以，又，
所以，，均為等邊三角形．所以，
所以四邊形是平行四邊形．所以，
又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> （2）因?yàn)槭菆A柱的母線，所以平面，平面，
所以，因?yàn)闉閳A的直徑，所以，
在中，，，所以，
所以在中，，如圖所示：

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為．
又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量．所以．
所以結(jié)合圖形得，二面角的余弦值為．
28．（安徽省合肥市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研性檢測(cè)理科）在三棱錐中，平面，平面平面．

（1）證明：平面；
（2）若為的中點(diǎn)，且，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，

平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，
又平面，平面，，
又，、平面，平面；
（2），，為中點(diǎn)．
又為的中點(diǎn)，．由（1）知，平面，平面，
、平面，，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

設(shè)，則，，
則，，，，，．
設(shè)平面的法向量為，則，，
由，即．
令得，，則．
設(shè)平面的法向量為，，，
由，可得，令，可得，，則，
．由圖象可知，二面角是鈍角，
因此，二面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．
29．（山東省2021屆高三開學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖，在幾何體中，底面，，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)在棱上，已知平面．

（1）求線段的長(zhǎng)度；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由，，，，，易知．
則，，，，，，
（1）設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以?br /> ，，，解得，
所以線段的長(zhǎng)度為1．
（2）設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，，
則，可取，
同理，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，可?。?br /> 則，顯然二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為．

30．（四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三入學(xué)考試?yán)砜疲┤鐖D，在以P為頂點(diǎn)的圓錐中，母線長(zhǎng)為，底面圓的直徑AB長(zhǎng)為2，O為圓心．C是圓O所在平面上一點(diǎn)，且AC與圓O相切．連接BC交圓于點(diǎn)D，連接PD，PC，E是PC的中點(diǎn)，連接OE，ED．

（1）求證：平面平面PAC；
（2）若二面角的大小為，求面PAC與面DOE所成銳二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】（1）證明：AB是底面圓的直徑，AC與圓切于點(diǎn)A，所以，
又底面，則，，所以：面，
又因?yàn)?，在三角形PAB中，，
，所以面PAC，面PBC，所以：平面平面PAC；
（2）因?yàn)?，，為二面角的平面角?br /> ，如圖建立坐標(biāo)系，易知，則，，，，，，

由（1）知為平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)平面ODE的法向量為，
，，
解得：，．
31．（江蘇省無錫市梅村高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期初檢測(cè)）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明： 在正方形中，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?br /> 因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因?yàn)椋云矫妫?br /> （2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，則有，
設(shè)，則有，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．
32．（江蘇省南京大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段檢測(cè)）如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，點(diǎn)E是上的點(diǎn)，且.

（1）求證：對(duì)任意的，都有
（2）設(shè)二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】（1）以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，證明即可；
（2）利用向量法表示出，即可建立方程求解．
【解析】（1）證法：以D為原點(diǎn)，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

， 即；
（2）由（1）得．
設(shè)平面ACE的法向量為，則由得
，即，取，得·
易知平面ABCD與平面ADE的一個(gè)法向量分別為與．．
，即．
由于，解得，即為所求．
33．（廣東省汕頭市金山中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期6月月考）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是．

（1）證明：平面平面；
（2）求鈍二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：∵為正方形，∴．∵，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）由，，可得為二面角的平面角；
由為正方形，平面，∴，，∴平面，
∵平面，∴，可得為二面角的平面角．
可得．∵，平面，平面，
∴平面，∵平面平面，平面，
∴，∴，∴四邊形為等腰梯形．
以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，
∴，，
設(shè)平面的法向量為，則，
則，?。?br /> 設(shè)平面的法向量為，則，
則，?。?br /> 設(shè)二面角的大小為，則，
可知是鈍角，則二面角的余弦值為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明面面垂直，考查用空間向量求二面角的平面角，屬于中檔題．
34．（山西省大同市2021屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)（理））在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，且、分別為、的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）若直線與平面的交點(diǎn)為，且，求截面與底面所成銳二面角的大?。?br /> 【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，

∵是的中點(diǎn)，∴且，
∵底面為直角梯形，，
，即，且，
∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）方法一：取的中點(diǎn)，連接、、、，，
連接并延長(zhǎng)交于，已知．
∵平面，且平面平面，∴，
又，∴，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，

，，，，，，則平面的法向量為，，，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
即，則，，即．
∴設(shè)兩個(gè)法向量、的夾角為，則，
即兩個(gè)法向量的夾角為．∴截面與底面所成銳二面角的大小為．
35．（2020屆河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理））如圖，四棱錐中，二面角為直二面角，為線段的中點(diǎn)，，，．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的大?。?br /> 【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】（1）證明二面角為直二面角，所以平面平面，
因?yàn)?，，平面平面，平面?br /> 平面，又平面，，
，，又為的中點(diǎn)，，
又，平面，平面，平面平面．
（2）如圖，連接，在平面內(nèi)作的垂線，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，
即令，則，，
是平面的一個(gè)法向量，
平面，平面的一個(gè)法向量為，
，
由圖可知二面角的平面角為銳角，故二面角的大小為．
36．（江蘇省南通市如皋中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期階段檢測(cè)）如圖所示，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，，且．
求證：平面BDEF；
求直線AD與平面ABF所成角的正弦值．

【答案】(1)證明見解析．(2) ．
【解析】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，
∵四邊形為菱形，∴，且為中點(diǎn)，∵，∴，
又，∴平面．
（2）連接，∵四邊形為菱形，且，∴為等邊三角形，
∵為中點(diǎn)，∴，又，∴平面．
∵，，兩兩垂直，∴建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)，∵四邊形為菱形，，∴，．
∵為等邊三角形，∴．∴，，，，∴，，．
設(shè)平面的法向量為，則，
取，得．設(shè)直線與平面所成角為，
則．

37．（陜西省商洛市洛南中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（理））如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）如下圖所示：
在正方體中，且，且，
且，所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，
設(shè)平面的法向量為，由，得，
令，則，，則．
．
因此，直線與平面所成角的正弦值為．
38．（安徽省阜陽市太和中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理））如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等邊三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）證明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．

【答案】（1）見解析； （2）．
【解析】（1）證明：因?yàn)锳1B1∥AB，AB=2A1B1，D為棱AB的中點(diǎn)，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，
所以四邊形A1B1BD為平行四邊形，從而BB1∥A1D．
又BB1?平面A1DE，A1D?平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，
因?yàn)镈E是△ABC的中位線，所以DE∥BC，同理可證，BC∥平面A1DE．
因?yàn)锽B1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C?平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．
（2）以ED，EC，EB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E﹣xyz，設(shè)BC=a，則A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），=（0，0，），
則=（0，a，），=（a，2a，0）．設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量=（x1，y1，z1），
則，即，取z1=1，得=（，，1）．
同理，設(shè)平面BB1C的一個(gè)法向量=（x，y，z），又=（0，-a，），=（-a，0，0），由，得，取z=﹣1，得=（0，，-1），
所以==，故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值為：．

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