1．已知空間三點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】AC
【分析】由坐標(biāo)求出，即可依次計(jì)算判斷每個(gè)選項(xiàng)正誤．
【解析】，
，
，故A正確；
不存在實(shí)數(shù)，使得，故不共線，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，故D錯(cuò)誤．故選AC．
2．在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，則以下結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】CD
【分析】如圖，連接AC和BD交于O，連接SO，由題可知OA，OB，OS兩兩垂直，則以O(shè)A，OB，OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算即可判斷．
【解析】如圖，連接AC和BD交于O，連接SO，由題可知OA，OB，OS兩兩垂直，則以O(shè)A，OB，OS為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，
，，
則，
，
，
，故A錯(cuò)誤；
，故B錯(cuò)誤；
，故C正確；
，
，
即，故D正確．故選CD．

3．若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則不可能使lα的是（ ）
A．=(1，0，0)，=(-2，0，0) B．=(1，3，5)，=(1，0，1)
C．=(0，2，1)，=(-1，0，-1) D．=(1，-1，3)，=(0，3，1)
【試題來源】人教B版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 必殺技 第一章 空間向量與立體幾何 素養(yǎng)檢測(cè)
【答案】ABC
【分析】由題可知，要使直線與平面平行，即求直線和平面的法向量垂直即可，結(jié)合向量垂直的數(shù)量積公式即可求解
【解析】若l∥α，則需，即，根據(jù)選擇項(xiàng)驗(yàn)證可知：
A中，；B中，；C中，；D中，；
綜上所述，選項(xiàng)A，B，C符合題意，故選ABC．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量判斷直線與平面的平行關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
4．已知，分別為直線，的方向向量（，不重合），，分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說法中正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)方向向量的關(guān)系和法向量的關(guān)系可判斷線線關(guān)系和面面關(guān)系，從而可得正確的選項(xiàng)．
【解析】若兩條直線不重合，則空間中直線與直線平行（或垂直）的充要條件為它們的方向向量平行（或垂直），故A、B均正確．
若兩個(gè)平面不重合，則空間中面面平行（或垂直）的充要條件為它們的法向量平行（或垂直），故C、D均正確．故選ABCD．
【名師點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷的向量方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和空間想象力，本題屬于容易題．
5．若，，與的夾角為，則的值為（ ）
A．17 B．－17
C．－1 D．1
【試題來源】山東省棗莊市第八中學(xué)（東校區(qū)）2020-2021學(xué)年高二9月月考
【答案】AC
【分析】求出，以及，代入夾角公式即可求出．
【解析】由已知，
，
，解得或，故選AC．
6．已知向量，則與共線的單位向量（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】AC
【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示逐一代入驗(yàn)證即可．
【解析】對(duì)A，存在實(shí)數(shù)，使，
且，正確；
對(duì)B，不存在實(shí)數(shù)，使，錯(cuò)誤；
對(duì)C，存在實(shí)數(shù)，使，且，正確；對(duì)D，，不是單位向量，錯(cuò)誤．故選AC．
【名師點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查模的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．
7．設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（ ）．
A． B．
C． D．
【試題來源】人教A版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 必殺技 第一章 空間向量與立體幾何
【答案】AD
【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義逐個(gè)判斷即可．
【解析】由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律可知AD是正確的；
而運(yùn)算后是實(shí)數(shù)，沒有這種運(yùn)算，B不正確；
，C不正確．
故選AD．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算律，屬于基礎(chǔ)題．
8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（ ）

A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為
C．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為
D．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為
【試題來源】福建省三明市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末
【答案】ACD
【分析】由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)，由對(duì)稱性可判斷各選項(xiàng)的真假．
【解析】根據(jù)題意知：點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A正確；
的坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，
故點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
在長(zhǎng)方體中，
所以四邊形為正方形，與垂直且平分，
即點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確；
點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)D正確；故選ACD．
9．下列說法中正確的是（ ）
A．平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量
B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行
C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直
D．如果向量、與平面共面，且向量滿足，，那么就是平面的一個(gè)法向量
【試題來源】人教B版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 必殺技 第一章 空間向量與立體幾何 素養(yǎng)檢測(cè)
【答案】ABC
【分析】根據(jù)法向量的定義可判斷A、B選項(xiàng)的正誤；利用空間中平面與平面的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷D選項(xiàng)的正誤．
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由法向量的定義可知，平面的法向量垂直于與平面共面的所有向量，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，一個(gè)平面的所有法向量互相平行，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由空間中平面與平面的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系可知，如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，只有當(dāng)、不共線時(shí)，才能得出結(jié)論，依據(jù)是線面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選ABC．
【名師點(diǎn)睛】本題考查平面法向量定義的應(yīng)用，同時(shí)也考查了平面間的位置關(guān)系與法向量之間的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．
10．已知6，，3，，則下列各向量中是平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量的是（ ）
A． B．
C．4， D．4，
【試題來源】江蘇省南京市第十四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測(cè)試
【答案】BD
【分析】設(shè)平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量是y，，利用求解方程組，得到法向量．
【解析】設(shè)平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量是y，，
則即得，令，解得
令，解得故或，．
故選BD．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間平面法向量的計(jì)算方法，考查計(jì)算能力與方程思想，屬于基礎(chǔ)題．
11．已知，，且與夾角為，則的取值可以是（ ）
A．17 B．-17
C．-1 D．1
【試題來源】山東省菏澤市單縣第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式的推論得夾角公式求解即可．
【解析】因?yàn)椋?br /> 且，，與夾角為．
所以，
解得或．故選AC
【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．
12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是
B．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是
C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是
D．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是
【試題來源】山東省濟(jì)南市商河縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】ABC
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，直接判斷選項(xiàng)．
【解析】A．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是，所以A不正確；
B．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以B不正確；
C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是，所以C不正確；
D．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是，所以D正確．
故選ABC
【名師點(diǎn)睛】本題考查空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸，坐標(biāo)平面以及原點(diǎn)的對(duì)稱情況，屬于基礎(chǔ)題型．
13．已知向量，則與共線的單位向量（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東省棗莊市第八中學(xué)（東校區(qū)）2020-2021學(xué)年高二9月月考
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量數(shù)乘的概念，可知單位向量的求法， ，即可求出．
【解析】設(shè)與共線的單位向量為，所以，因而，得到．
故，而，所以或．
故選AC．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查單位向量的求法以及共線向量定理的應(yīng)用．
14．已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三點(diǎn)共線，則O點(diǎn)坐標(biāo)可能為（ ）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6)
C．(，，) D．(0，3，2)
【試題來源】福建泉州一中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】BD
【分析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到，然后利用空間向量共線定理逐項(xiàng)驗(yàn)證．
【解析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，
得，
A． ，因?yàn)?所以M，N，O三點(diǎn)不共線，故錯(cuò)誤；
B． ，因?yàn)?所以M，N，O三點(diǎn)共線，故正確；
C． ，因?yàn)?所以M，N，O三點(diǎn)不共線，故錯(cuò)誤；
D．，因?yàn)?所以M，N，O三點(diǎn)共線，故正確；
故選BD
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量共線定理的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬基礎(chǔ)題．
15．已知直線的方向向量，為直線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P(1，0，2)為直線外一點(diǎn)，則P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離可能為（ ）
A．2 B．
C． D．1
【試題來源】福建泉州科技中學(xué)2020-2021學(xué)年高二年第一學(xué)期第一次月考
【答案】AB
【分析】首先求得，再求得的值，設(shè)出與的夾角為，利用向量數(shù)量積求得的值，進(jìn)而求得的值，利用求得點(diǎn)到直線的距離，利用P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離要大于等于，從而求得結(jié)果．
【解析】由題設(shè)條件可知，，
所以，設(shè)與的夾角為，
則，所以，
所以點(diǎn)到直線的距離為，
P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離要大于等于，故選AB．
【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)空間距離問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用向量解決點(diǎn)到直線的距離問題，屬于簡(jiǎn)單題目．
16．設(shè)動(dòng)點(diǎn)在正方體的對(duì)角線上，記當(dāng)為鈍角時(shí)，則實(shí)數(shù)可能的取值是（ ）
A． B．
C． D．1
【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】AB
【分析】首先以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得到，再解不等式即可得到答案．
【解析】以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，，，，
，，，所以．
又因?yàn)椋?br /> ，
因?yàn)闉殁g角，所以，
即，解得．
故選AB
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題．
17．設(shè)，，是任意的非零空間向量，且兩兩不共線，則下列結(jié)論中正確的有（ ）．
A．
B．
C．不與垂直
D．
【試題來源】人教B版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 必殺技 第一章 空間向量與立體幾何
【答案】BD
【分析】由向量的數(shù)量積定義和運(yùn)算律，可得A錯(cuò)誤；經(jīng)過化簡(jiǎn)運(yùn)算，可知存在與垂直的情況，故C錯(cuò)誤；由向量?jī)蓛刹还簿€，可得B正確；由運(yùn)算律可得D正確．
【解析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，可知和是實(shí)數(shù)，而與不共線，故與一定不相等，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?dāng)，且或時(shí)，，即與垂直，故C錯(cuò)誤；
由向量?jī)蓛刹还簿€，可得B正確；由運(yùn)算律可得D正確．
故選BD．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積和運(yùn)算律，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目．
18．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，是棱的中點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．若點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．

A．當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面
B．當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，平面
C．在線段的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)，使得平面
D．不存在點(diǎn)，使與平面垂直
【試題來源】人教B版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 必殺技 第一章 空間向量與立體幾何 素養(yǎng)檢測(cè)
【答案】ABC
【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，假設(shè)平面，且，得到，則與共線，研究是否有解即可．
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由，，，，，，所以，，，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為．
假設(shè)平面，且，
則．
因?yàn)橐彩瞧矫娴姆ㄏ蛄?，所以與共線，
所以成立，但此方程關(guān)于無解．
因此不存在點(diǎn)，使與平面垂直，故選ABC．

19．下列命題中正確的是（ ）
A．是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間基底，則共面
B．已知為空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的基底
C．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線
D．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線與平面所成角的正弦值為
【試題來源】人教B版（2019） 選擇性必修第一冊(cè) 過關(guān)斬將 第一章 空間向量與立體幾何 本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)
【答案】ABD
【分析】不共面的三個(gè)非零向量可以構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，由此可判斷A、B，若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則線面平行，可判斷C，直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值與該直線與此平面所成角的正弦值相等，由此可判斷D．
【解析】對(duì)于A，是空間中的四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間基底，則共面，則共面，故A對(duì)；
對(duì)于B，已知為空間的一個(gè)基底，則不共面，若，則也不共面，則也是空間的基底，故B對(duì)；
對(duì)于C，因?yàn)?，則，若，則，但選項(xiàng)中沒有條件，有可能會(huì)出現(xiàn)，故C錯(cuò)；
對(duì)于D，因?yàn)?，則則直線與平面所成角的正弦值為，故D對(duì)；故選ABD．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假，考查空間基底的定義，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．正三棱柱中，，則（ ）
A．與底面的成角的正弦值為
B．與底面的成角的正弦值為
C．與側(cè)面的成角的正弦值為
D．與側(cè)面的成角的正弦值為
【試題來源】遼寧省丹東市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末
【答案】BC
【分析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出與底面的成角的正弦值為，與側(cè)面的成角的正弦值為，即得解．
【解析】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
設(shè)，則．
．
．底面的其中一個(gè)法向量為，
與底面的成角的正弦值為，錯(cuò)對(duì)．的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以側(cè)面的其中一個(gè)法向量為，
與側(cè)面的成角的正弦值為
，故對(duì)錯(cuò)；故選BC．

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．
21．已知空間四邊形，其對(duì)角線為、，、分別是對(duì)邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用基組表示向量，有，則（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東省德州市夏津第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)試題
【答案】ABC
【分析】求出關(guān)于、、的表達(dá)式，可求得關(guān)于、、的表達(dá)式，可得出、、的值，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤．
【解析】如下圖所示，

為的中點(diǎn)，
則，
為的中點(diǎn)，則，，
，則，
，
，，則．故選ABC．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用空間基底表示向量，考查計(jì)算能力，屬于中等題．
22．如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且靠近，當(dāng)時(shí)，則（ ）

A． B．
C． D．二面角的余弦值為
【試題來源】山東省德州市夏津第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)試題
【答案】BD
【分析】以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)求出，可得，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式求出，，，利用法向量求出二面角的余弦值為．
【解析】依題意可知，，，以為原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)，，則，，，
，，，，，
所以，，
因?yàn)?，所以，即?br /> 解得或（舍），
所以，，故選項(xiàng)正確，
，故選項(xiàng)不正確，
因?yàn)椋?br /> 所以，故不正確，
取平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，即，取，則，，所以，
顯然二面角為銳角，
所以二面角的余弦值為，故選項(xiàng)正確．
故選BD
【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題．
23．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（ ）
A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面
B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面
C．已知向量組是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底
D．若，則是鈍角
【試題來源】山東省滕州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】ABC
【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判定A是正確的；根據(jù)空間向量的基本定理，可判定B是正確的；根據(jù)空間基底的概念，可判定C正確；根據(jù)向量的夾角和數(shù)量積的意義，可判定D不正確．
【解析】對(duì)于A中，根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，
則這三個(gè)向量一定共面，所以是正確的；
對(duì)于B中，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，因?yàn)椋?br /> 根據(jù)空間向量的基本定理，可得P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，所以是正確的；
對(duì)于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，
可得向量不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的；
對(duì)于D中，若，又由，所以，所以不正確．
故選ABC
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間的向量的共線定理、共面定理的應(yīng)用，基底的概念與判定，以及向量的夾角的應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力．
24．如圖，以等腰直角三角形斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（　?。?br />
A．；
B．；
C．三棱錐是正三棱錐；
D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市魚臺(tái)縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）
【答案】BC
【分析】通過線面垂直的判定得出平面ADC，進(jìn)而，故而可判斷A；通過證明是等邊三角形可判斷B；通過正三棱錐的定義可判斷C；通過平面和平面不垂直可判斷D．
【解析】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以，
又平面平面ACD，平面平面ACD=AD，
，平面ABD，
所以平面ADC，又平面ADC，
所以，即，故A不正確；
由A知，平面ADC，平面ADC，
所以，設(shè)，則，
所以由勾股定理得：，所以是等邊三角形，故B正確；
因?yàn)槭堑冗吶切危?br /> 所以三棱錐是正三棱錐，故C正確；
由A知，平面ADC，而面內(nèi)不存在與平行的直線，
故平面和平面不垂直，
即平面的法向量和平面的法向量互相垂直錯(cuò)誤；故D錯(cuò)誤；
故選BC．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查折疊前后線線，線面，面面關(guān)系的不變和改變，解題時(shí)要前后對(duì)應(yīng)，仔細(xì)論證，屬于中檔題．
25．如圖，已知在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別是，，的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．平面 B．平面
C．三棱錐的體積為 D．直線與所成的角為30°
【試題來源】江蘇省南京市金陵中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研測(cè)試
【答案】ABD
【分析】中，利用線面平行的判定定理，得出平面；
中，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積判斷垂直，得出平面；
中，計(jì)算三棱錐的體積即可；中，利用向量的數(shù)量積求夾角即可．
【解析】如圖1所示，

由題意，，平面，平面，所以平面，所以正確；建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示；
由，則，1，，，，，，0，；
所以，，所以，，
所以平面，所以正確；

三棱錐的體積為，
所以錯(cuò)誤；，，，，0，，
所以，，，，0，，
所以，，
所以與所成的角是，所以正確．故選ABD．
26．如圖，已知是棱長(zhǎng)為2的正方體的棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，直線與面所成的角為，面與面的夾角為，則（ ）

A．面 B．
C． D．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市曲阜市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二階段性檢測(cè)（9月月考）
【答案】BCD
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用逐一判斷即可．
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?，，軸的正方向，
建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，
所以，，，．
設(shè)平面的法向量為，則由，得
令，則，，故．
因?yàn)?，不存在使，即與不共線，
所以與面不垂直故A不正確；
又因?yàn)椋?，故B正確；
又．所以．所以C正確；
又為平面的一個(gè)法向量，
所以，故D正確，故選BCD．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
27．在以下命題中，不正確的命題有（ ）
A．是，共線的充要條件
B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使
C．對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面
D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
【試題來源】山東省濟(jì)寧市曲阜市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二階段性檢測(cè)（9月月考）
【答案】ABC
【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)零向量與任意向量共線以及向量共線定理，即可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)向量的共面定理的定義，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)不共面的三個(gè)向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，結(jié)合共面向量定理，即可判斷D選項(xiàng)．
【解析】對(duì)于A，當(dāng)，則，共線成立，
但，同向共線時(shí)，，
所以是，共線的充分不必要條件，故A不正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不存在唯一的實(shí)數(shù)，使，故B不正確；
對(duì)于C，由于，而，
根據(jù)共面向量定理知，，，，四點(diǎn)不共面，故C不正確；
對(duì)于D，若為空間的一個(gè)基底，則不共面，
由基底的定義可知，不共面，
則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故D正確．故選ABC．
【名師點(diǎn)睛】本題考查與向量有關(guān)的命題的真假性判斷，考查空間向量的共線定理和共面定理的應(yīng)用，考查推理論證能力．
28．在正方體中，若為的中點(diǎn)，則與直線不垂直的有（ ）
A． B．
C． D．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市曲阜市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二階段性檢測(cè)（9月月考）
【答案】ACD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，然后利用空間向量數(shù)量積運(yùn)算求解．
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．
則，，，，，，，
所以，，，，．因?yàn)椋?br /> ．．
所以與不垂直的有、、，故選ACD．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用空間向量法研究直線的位置關(guān)系，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
29．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D，E分別是線段BC，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且．則下列說法正確的是（ ）

A．平面
B．該三棱柱的外接球的表面積為
C．異面直線與所成角的正切值為
D．二面角的余弦值為
【試題來源】廣東省深圳市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研備考
【答案】AD
【分析】對(duì)于A，欲證平面，只需證明，由易證，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B，由、、三條直線兩兩垂直，可知直三棱柱是一個(gè)長(zhǎng)方體沿對(duì)角面切開得到的直三棱柱，因此原長(zhǎng)方體的對(duì)角線是三棱柱外接球的直徑，因此直三棱柱的外接球的表面積易求，然后再判斷．
對(duì)于C，由于，異面直線與所成角為，在中，的正切值易求，然后判斷．
對(duì)于D，由、、三條直線兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和平面的法向量的夾角，然后再判斷即可．
【解析】在直三棱柱中，四邊形是矩形，
因?yàn)?，所以，不在平面?nèi)，平面，
所以平面，A項(xiàng)正確；
因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，所以，所以?br /> 易知是三棱柱外接球的直徑，
所以三棱柱外接球的表面積為，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以異面直線與所成角為．
在中，，，
所以，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；
二面角即二面角，
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則，
，，，
設(shè)平面的法向量，
則，即，令可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令可得
故二面角的余弦值為，所以D項(xiàng)正確．故選AD．
【名師點(diǎn)睛】綜合考查直三棱柱中線線角、線面角的求法，線面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面積的求法，中檔題．
30．正方體中，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小為
【試題來源】山東省棗莊市第八中學(xué)（東校區(qū)）2020-2021學(xué)年高二9月月考
【答案】BC
【分析】通過線面垂直的判定和性質(zhì)，可判斷選項(xiàng)，通過線線和線面平行的判斷可確定和選項(xiàng)，利用空間向量法求二面角，可判斷選項(xiàng)．
【解析】由題可知，在底面上的射影為，而不垂直，
則不垂直于，則選項(xiàng)不正確；
連接和，E、F、G、H分別為、BC、CD、BB、的中點(diǎn)，
可知，所以平面，
則平面平面，所以選項(xiàng)正確；
由題知，可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，
則各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，得，
得平面的法向量為，
所以，所以平面，則選項(xiàng)正確；
由圖可知，平面，所以是平面的法向量，
則．
得知二面角的大小不是，所以不正確．故選BC．

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體線線、線面、面面的位置關(guān)系，利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定，以及通過向量法求二面角，同時(shí)考查學(xué)生想象能力和空間思維．
31．在長(zhǎng)方體中，，，以D為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（ ）
A．的坐標(biāo)為(2，2，3)
B．=(-2，0，3)
C．平面的一個(gè)法向量為(-3，3，-2)
D．二面角的余弦值為
【試題來源】福建泉州一中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】ABD
【解析】因?yàn)?，?br /> 所以，，，，
所以，
，即A，B正確；
設(shè)平面的法向量，
所以，即，
令，則，，
即平面的一個(gè)法向量為，故C錯(cuò)誤；
由幾何體易得面的一個(gè)法向量為，
由于，
結(jié)合圖形可知二面角的余弦值為，故D正確；
故選ABD．

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之法向量的求法以及在面面角中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
32．設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，，可以為任意向量
B．對(duì)空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使
C．若，，則
D．可以作為構(gòu)成空間的一組基底
【試題來源】山東省新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考
【答案】BD
【分析】根據(jù)可作為基底的一組向量的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直、共線的判定，判斷各選項(xiàng)的正誤即可．
【解析】A選項(xiàng)：，，為不共線的非零向量；
B選項(xiàng)：由向量的基本定理知，空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使；
C選項(xiàng)：，，則不一定垂直；
D選項(xiàng)：中三個(gè)向量間無法找到實(shí)數(shù)使得它們之間有的等式形式成立，即可以構(gòu)成基底．故選BD．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本定理，理解作為基底向量的非零、不共線性質(zhì)，應(yīng)用向量垂直、共線判定正誤．
33．下列命題中不正確的是（ ）
A．是共線的充要條件
B．若共線，則
C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面
D．若為空間四點(diǎn)，且有不共線，則是三點(diǎn)共線的充分不必要條件
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】ABD
【分析】由向量的共線性質(zhì)，可判定A不正確；由向量的共線與點(diǎn)共線的關(guān)系，可判定B不正確；由空間向量的基本定理可判定C正確；由向量的共線定理，可判定D不正確．
【解析】由，可得向量的方向相反，此時(shí)向量共線，
反之，當(dāng)向量同向時(shí)，不能得到，所以A不正確；
若共線，則或四點(diǎn)共線，所以B不正確；
由三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，
因?yàn)?，可得四點(diǎn)共面，故C正確；
若為空間四點(diǎn)，且有不共線，
當(dāng)時(shí)，即，可得，即，
所以三點(diǎn)共線，反之也成立，即是三點(diǎn)共線的充要條件，
所以D不正確．故選ABD
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了以向量的基本定理及向量共線的性質(zhì)的判定為背景的命題的真假判定，其中解答解答中熟記平面向量的共線定理和平面向量的基本定理，以及充分條件、必要條件的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與論證能力．
34．如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為AC，，AB的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．與EF相交 B．平面DEF
C．EF與所成的角為 D．點(diǎn)到平面DEF的距離為
【試題來源】江蘇省南京市第十四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期學(xué)情調(diào)研測(cè)試
【答案】BCD
【分析】利用異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定方法，利用空間直角坐標(biāo)系異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判斷．
【解析】對(duì)選項(xiàng)A，由圖知平面，平面，且
由異面直線的定義可知與EF異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，在直三棱柱中，?．
，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
，?．
又平面DEF，平面DEF，
?平面故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．1，，0，．
，，．
與所成的角為，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)向量y，是平面DEF的一個(gè)法向量．
0，，1，，
由，即，得
取，則，0，，
設(shè)點(diǎn)到平面DEF的距離為d．
又2，，，
點(diǎn)到平面DEF的距離為，故D正確．故選BCD
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的位置關(guān)系，線面平行的判定，異面直線所成角以及點(diǎn)到面的距離，還考查思維能力及綜合分析能力，屬難題．
35．已知正方體棱長(zhǎng)為，如圖，為上的動(dòng)點(diǎn)，平面．下面說法正確的是（ ）

A．直線與平面所成角的正弦值范圍為
B．點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長(zhǎng)就越大
C．點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形
D．己知為中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，為的中點(diǎn)
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三6月模擬檢測(cè)
【答案】AC
【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出平面，分別取棱、、、、、的中點(diǎn)、、、、、，比較和六邊形的周長(zhǎng)和面積的大小，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點(diǎn)、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項(xiàng)的正誤；將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，利用、、三點(diǎn)共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項(xiàng)的正誤．
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、設(shè)點(diǎn)，
平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，，
，
所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接、、、，
在正方體中，平面，
平面，，
四邊形是正方形，則，
，平面，
平面，，同理可證，
，平面，
易知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
其面積為，周長(zhǎng)為．
設(shè)、、、、、分別為棱、、、、、的中點(diǎn)，

易知六邊形是邊長(zhǎng)為的正六邊形，且平面平面，
正六邊形的周長(zhǎng)為，面積為，
則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長(zhǎng)相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，點(diǎn)，，

平面，平面，，即，得，，
所以，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，，
而，，且，
由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，
，，
所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，如下圖所示：

若最短，則、、三點(diǎn)共線，
，，
，所以點(diǎn)不是棱的中點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選AC．

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