1．在空間直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為2，，3，，1，，求證：是直角三角形．
【試題來源】安徽省蚌埠市田家炳中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期10月月考（理）
【答案】證明見解析
【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)分別為2，，3，，1，，1，，，，
，，是直角三角形．
2．已知，，，．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
【試題來源】山東省新高考測評聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）．
因?yàn)?，設(shè)，所以 ，
所以 即所以 的值為2．
（2），
．
因?yàn)?，所以 ，所以 ．
3．已知三點(diǎn)
（1）求以為鄰邊的平行四邊形面積
（2）求平面一個法向量
（3）若向量分別與，垂直，且求的坐標(biāo)．
【試題來源】山東省鄆城一中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1），，
，
．
（2）設(shè)平面的一個法向量為，
，可得，?。?br /> （3）因?yàn)?，，所以?br /> 設(shè)，因?yàn)椋獾?，所以?br /> 4．如圖，已知是四棱柱，底面是正方形，，且，設(shè)．

（1）試用表示；
（2）已知為對角線的中點(diǎn)，求的長．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）
；
（2）由題意知，
，
，

．
5．如圖，正方體的棱長為，，，分別為，，邊的中點(diǎn)，是正方形的中心，求，的長．

【試題來源】福建省永安市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】；．
【解析】如圖所示，可知：，，，，
所以；
所以，所以，，
6．已知，．
（1）若，求實(shí)數(shù)的值．
（2）若，求實(shí)數(shù)的值．
【試題來源】北京市平谷區(qū)第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）（2）
【解析】，．
（1）因?yàn)?，所以，所以?br /> （2）因?yàn)?，所以?br /> 所以．
7．如下圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．
（1）求平面與平面夾角的余弦值；
（2）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，利用此定義求異面直線與之間的距離．

【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）；（2）
【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1，0，0），，，
（1）因?yàn)槠矫?，且面?br /> ，又，且，AD⊥平面PAB，
所以是平面PAB的一個法向量，
因?yàn)?，?br /> 設(shè)平面PCD的法向量為，則，
即，令，解得，．
所以是平面PCD的一個法向量，從而，
所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為；
（2）因?yàn)椋O(shè)為直線PB上一點(diǎn)，且，
又，，則，
則點(diǎn)到直線的距離
，因?yàn)?，所以，所以異面直線PB與CD之間的距離為．
8．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，為中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【試題來源】北京市平谷區(qū)第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）詳見解析；（2）．
【解析】（1）由題意在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，，
所以，所以．
（2）由（1）得，，，，
，所以與所成角的余弦值為．
9．如圖，已知、分別為四面體的面與面的重心，且為上一點(diǎn)，且，設(shè)，，，試用，，表示，．

【試題來源】山東省新泰市第一中學(xué)老校區(qū)（新泰中學(xué)）2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】；．
【解析】
；
．
10．已知空間三點(diǎn)，，．
（1）求的值；
（2）若，求的值
【試題來源】廣東省云浮市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）因?yàn)?，，所以?br /> 因?yàn)?，，所以?br /> 所以．
（2）由（1）可知，，
所以，．
因?yàn)?，所以，解得?br /> 11．如圖1，在中，，D為的中點(diǎn)，將沿折起，得到如圖2所示的三棱錐，二面角為直二面角．

（1）求證：平面平面；
（2）設(shè)E為的中點(diǎn)，，求二面角的余弦值．
【試題來源】湖南師大附中2021屆高三（上）月考（二）
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）在中，，
所以 ，因?yàn)?D為中點(diǎn)，所以，
又因?yàn)?，所以 ，
所以 ，所以 ．
因?yàn)?二面角為直二面角，所以平面平面，
又因?yàn)?平面平面，所以 平面．
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br /> （2）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，過點(diǎn)B且垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

可求得，，
因?yàn)镋為的中點(diǎn)，，所以，，
所以 ，
設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則
得，所以 取，
得，所以 取，
所以 ，所以二面角的余弦值為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，其中涉及了面面垂直的證明、二面角的向量求法，難度一般．（1）面面垂直的證明思路：先證明線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理完成證明；（2）利用向量法求解二面角的余弦值時，要注意結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是鈍角還是銳角．
12．如圖，三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，，．

（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【試題來源】北京市昌平區(qū)2020屆高三（6月份）數(shù)學(xué)適應(yīng)性試題
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）連結(jié)，交于，則是的中點(diǎn)，
連結(jié)，是的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面．
（2）三棱柱中，底面，是的中點(diǎn)，，．，，
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，
，0，，，0，，，1，，
設(shè)平面的法向量，，，則，
取，得，，，設(shè)直線與平面所成角為，
則．直線與平面所成角的正弦值為．

13．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，E為上的動點(diǎn)．

（1）確定E的位置，使平面；
（2）設(shè)，，且在第（1）問的結(jié)論下，求二面角的余弦值．
【試題來源】云南省文山州2021屆高三年級10月教學(xué)質(zhì)量檢測（理）
【答案】（1）E為的中點(diǎn)；（2）．
【分析】（1）E為的中點(diǎn)，連接，使交于點(diǎn)O，可證，利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解．
【解析】（1）E為的中點(diǎn)，
連接，使交于點(diǎn)O，取的中點(diǎn)為E，連接，
因?yàn)镺，E分別為，的中點(diǎn)，所以．
又平面，平面，所以平面．

（2）分別以，，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，所以，，
所以平面的法向量為．設(shè)平面的法向量為，
由，令，則，，所以，
所以二面角的平面角的余弦值為．
14．如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【試題來源】天津市濱海七校2020屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考
【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或．
【解析】（1）由題意，因?yàn)?，，，所以?br /> 又所以，所以，因?yàn)閭?cè)面，所以．
又因?yàn)?，，平面，所以直線平面．
（2）以為原點(diǎn)，分別以，和的方向?yàn)椋洼S的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
設(shè)平面的一個法向量為，，
因?yàn)椋?，令，則，所以
設(shè)平面的一個法向量為，，，
因?yàn)?，所以，令，則，所以，
，，，所以．
設(shè)二面角為，則．
所以設(shè)二面角的余弦值為．
（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?，?br /> 所以，所以所以
設(shè)平面的一個法向量為，
所以，得．
即，所以或，所以或．

15．已知三棱錐的展開圖如圖二，其中四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：

（1）證明：平面平面；
（2）若是的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
【試題來源】廣西柳州市2020屆高三第二次模擬考試（理）
【答案】（1）見解析（2）
【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

由題意，得，，．
因?yàn)樵谥?，，為的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)樵谥校?，，，，所?
因?yàn)?，，平面，所以平面?br /> 平面，所以平面平面
（2）由（1）問可知平面，所以，，，于是以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，則
由得：．令，得，，即．
設(shè)平面的法向量為，由得：

，令，得，，即
．由圖可知，二面角的余弦值為．
16．如圖四棱錐，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面與平面所成角為60°．
（1）求證：．
（2）求二面角的余弦值．

【試題來源】山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三第一次診斷考試（10月）
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫妫裕?br /> 又因?yàn)?，，所以平面?br /> 平面，所以．
（2）證明：等腰梯形中，設(shè)．
因?yàn)榍移椒?，?br /> ，則，，
所以，．，則中．
以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系．
，，，，，
平面法向量，設(shè)平面法向量為，
，有，即，令，
所以，，所以，
平面法向量，
，，平面法向量，
，即，令，所以．
，所以二面角的余弦值為．

17．如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，，，的中點(diǎn)O在為三角形的外接圓的圓心，點(diǎn)N在邊上，且．

（1）求與平面所成的角；
（2）求二面角的正弦值．
【試題來源】廣東省深圳市外國語學(xué)校2021屆高三上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）證明 連接，
在中，由的中點(diǎn)O在為三角形的外接圓的圓心，，可知三角形為等腰直角三角形，所以，O為的中點(diǎn)，則，且．在中，，O為的中點(diǎn)，則，且．在中，滿足，所以，
又，，平面，
故平面，所以與平面所成的角為．

（2） 因?yàn)椋?，兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br /> 則，，，，
，，
由，所以，則，
設(shè)平面的法向量為，
則
令，得，
因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量?br /> 所以．
所以二面角的正弦值為．
18．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？請證明你的結(jié)論．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)，滿足，使得平面；證明見解析
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

設(shè)正方體棱長為，則，，，，，，，
（1）設(shè)異面直線與所成角為，，，
，即異面直線與所成角的余弦值為；
（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，，使得平面
則，，，
設(shè)平面的法向量，，
令，則，，，
，解得 ，
棱上存在點(diǎn)，滿足，使得平面．
【名師點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中異面直線所成角、存在性問題的求解，重點(diǎn)考查了空間向量法求解立體幾何中的角度和位置關(guān)系問題；處理存在性問題的關(guān)鍵是假設(shè)成立，利用直線與平面平行等價于直線與平面的法向量垂直來構(gòu)造方程，求得未知量．
19．如圖，在平行六面體中，，，

（1）求的長；
（2）求證：直線平面．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）設(shè)，，，則．
因?yàn)?，，?br /> 所以，
所以
，所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，所以平面．
20．如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，底面是菱形，且，設(shè)平面與平面的交線為．

（1）證明：；
（2）求平面與平面所成銳二面角的大小．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考（10月）
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以?br /> （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，
因?yàn)樗倪呅问橇庑?，，所以是等邊三角形，所以?br /> 同理，得，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面?br /> 又因?yàn)槠矫?，所以?br /> 所以，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，
則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個法向量，
由，取，得，
是平面的一個法向量，所以，
所以，所以平面與平面所成銳二面角的大小為．

21．如圖四邊形PABC中，，，，現(xiàn)把沿折起，使與平面成60°，設(shè)此時在平面上的投影為點(diǎn)(與在的同側(cè))，

（1）求證：平面；
（2）求二面角大小的正切值．
【試題來源】遼寧省聯(lián)合校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）連，因?yàn)槠矫?，得?br /> 又因?yàn)椋闷矫?，?br /> 因?yàn)槭桥c平面的角，．因?yàn)?，得?br /> 在中，，故有，
從而有，得平面．
（2）以??為??軸，建立坐標(biāo)系，可得，，，．可求得平面的法向量是，

， ，設(shè)平面的法向量，
則，當(dāng)時，，
平面的法向量 ，所以二面角大小的余弦值是， ，即．
22．如圖（1）所示，在中，，，分別是上的點(diǎn)，且，將沿折起到的位置，使，如圖（2）所示．

（1）求證：平面；
（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大?。?br /> （3）線段（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使平面與平面垂直？說明理由．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，答案見解析．
【解析】（1），，是平面內(nèi)的兩條相交直線，
平面，又平面，，
又，是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面．
（2）如圖建系，

則，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為
則 所以 所以
所以取，得，又因?yàn)椋?br /> 所以，與平面所成角
所以，，
所以與平面所成角的大?。?br /> （3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
設(shè)平面的法向量為，
則，，，
令，則．要使平面與平面垂直，需
，解得，不滿足條件．
所以不存在這樣的點(diǎn)．
23．如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，且．

（1）求證： 平面；
（2）求直線到平面的距離．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：以為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為，，軸，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，

，設(shè)平面的法向量為，
則，，，令，則，
，所以，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br /> （2）因?yàn)槠矫?，所以直線上任一點(diǎn)到平面的距離都相等，，
設(shè)直線到平面的距離為，則，
所以直線到平面的距離為．
24．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求與平面所成角的正弦值．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：以為 原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，

，
，所以，所以．
（2），設(shè)平面的法向量為，
則，，，令，則．
設(shè)與平面所成角為，
，
所以與平面所成角的正弦值為．
25．已知空間三點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)在直線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求以為鄰邊的平行四邊形的面積．
【試題來源】山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2020-2021學(xué)年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由點(diǎn)在直線上，可設(shè)，利用可求出，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由求出，進(jìn)而求出，即可利用面積公式求解．
【解析】（1），點(diǎn)在直線上，設(shè)，
，
，
，
，，．
（2），

，
，，
，所以以為鄰邊得平行四邊形的面積為．
26．如圖所示，在多面體中，四邊形為正方形，平面平面∥．

（1）若，證明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值為，求的長．
【試題來源】江蘇省南京師大附中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月月考
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）在中：，，，
故，故．
平面平面，，故平面，
平面，故，，
故平面，平面，故平面平面．
（2）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，
取得到；設(shè)平面的法向量為，
則，取得到；
故，解得或（舍去）．
故．

27．如圖，四邊形與均為菱形，，，且．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．
【試題來源】山東省濰坊市五縣市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期階段性監(jiān)測
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，為的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，又，所以平面?br /> 平面，所以；

（2）連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且?br /> 所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，
又，，所以平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，?br /> 、、、，
設(shè)平面的法向量為，，，
則，即，
令，則，，則，
設(shè)平面的法向量為，，
則，即，
令，則，，可得，
所以，
由圖形知，二面角為鈍角，它的余弦值為．
28．如圖，四棱錐中，面面，，，，，．

（1）證明：；
（2）求與面所成角的正弦值．
【試題來源】浙江省浙南名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）如圖所示，設(shè)與交點(diǎn)為0，
因?yàn)?，，?br /> 所以四邊形為等腰梯形，所以易得，又因?yàn)椋?br /> 所以，，同理可得，所以，，
因?yàn)?，所?br /> 又因?yàn)槊婷?，且面面，?br /> 所以面，又因?yàn)槊?，所以?br />
（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，以0為原點(diǎn)，以為軸，為軸，過點(diǎn)作面的垂線為軸．則，，，，，因?yàn)槊?，面，所以?br /> 又因?yàn)?，，所以?br /> 所以，．，
設(shè)平面的一個法向量．則，
即所以，
不妨設(shè)，則，設(shè)與面所成角為，
．
29．如圖，已知在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，，點(diǎn)在底面的投影恰好為與的交點(diǎn)，．

（1）證明：；
（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．
【試題來源】云南師大附中2020屆高三（下）月考（理）（七）
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）如圖，在平面圖形中，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，
易得，故，在中，由余弦定理知，
，
故．由相似可知，，
又，所以，故，所以．
又點(diǎn)在底面的投影為，所以平面，所以，
又，所以平面，所以．

（2）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸
建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知，
故，，，
，，，
故，，．
設(shè)平面的一個法向量為，則，
即，令，解得，故．
同理，可求得平面的一個法向量為，
設(shè)二面角為，則．

30．如圖，在三棱錐中，底面是正三角形，，底面，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．

（1）求證：平面BEF平面PAC；
（2）在線段PB（不含端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)G，使得平面EFG與平面PBC所成銳二面角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由．
【試題來源】河南省名校聯(lián)盟2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（（理））聯(lián)考試題
【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析．
【解析】（1）因?yàn)?，E為AC的中點(diǎn)，所以．
又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以．
因?yàn)?，PA，平面PAC，所以平面PAC，
又因?yàn)槠矫鍮EF，所以平面平面PAC．
（2）如圖，由（1）知，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AC，PC的中點(diǎn)，
所以，所以，又，所以EB，EC，EF兩兩垂直，
以E為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤，y，z軸建立坐標(biāo)系，

則，．
設(shè)（），所以，
，
，．設(shè)平面EFG的法向量為，
則，所以，
令，則，．
，，設(shè)平面PBC的法向量，
則，令，則，，．
由已知，，
又，故線段PB上不存在點(diǎn)G，使得直線AG與平面PBC所成的角的正弦值為．
【名師點(diǎn)睛】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的．由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線．空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算，也可以構(gòu)建空間角，把空間角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算．
31．如圖所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，動點(diǎn)在線段（包含端點(diǎn)，）上，，分別為，的中點(diǎn)，．

（1）若為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（2）設(shè)平面與平面所以的銳角為，求的最大值并求出此時點(diǎn)的位置．
【試題來源】山東省新高考測評聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考
【答案】（1）；（2）的最大值，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合．
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）由圖可得，，，，
則，，．
設(shè)平面的一個法向量為，
由可得．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．

（2）因?yàn)閯狱c(diǎn)在線段（包含端點(diǎn)，）上，可設(shè)，
則，．設(shè)平面的一個法向量為，
由可得．
因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量，
所以
所以當(dāng)時，取得最大值，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合．
32．如圖所示，在正方體中，為對角線的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．

（1）求異面直線與所成角的大??；
（2）若平面平面，求證：．
【試題來源】山東省新高考測評聯(lián)盟2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二10月聯(lián)考
【答案】（1）90°；（2）證明見解析．
【解析】（1）如圖所示，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)正方體棱長為，則，，，，．
所以，，
則，所成角的余弦值為，
所以異面直線與所成角為90°．
（2）證明：在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br /> 因?yàn)槠矫?，平面平面，所以?br /> 33．在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分別為、的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

【試題來源】湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）在等腰直角三角形中，，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面?br /> 所以平面．因?yàn)槠矫妫裕?br /> （2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作垂直于，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以?br /> 如圖，以為原點(diǎn)，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，．
，，．
設(shè)平面的法向量為，則，即．
令則，，所以．
直線與平面所成角大小為，．
所以直線與平面所成角的正弦值為．
34．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，平面平面ABCD，．

（1）求證：；
（2）若直線PA與BC所成角為，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
【試題來源】湖南省益陽市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期9月調(diào)研考試
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）四棱錐P-ABCD的底面為正方形，
，又面ABCD，面面ABCD，面面ABCD =，
平面PAD，又平面PAD，所以．
（2）取AD，BC的中點(diǎn)O，N，連接PO，ON，則，結(jié)合（1）知平面PAD，因?yàn)橛?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，ON，OP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
因?yàn)榍抑本€PA與BC所成的角為，所以，又，即，令，則，所以，
設(shè)是平面BPC的一個法向量，
則，即，取，則，所以，
又是平面PAD的一個法向量，
所以，，所以，所求二面角的余弦值為．

35．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形且垂直于底，是的中點(diǎn)．
（1）證明：直線平面；
（2）點(diǎn)在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值．

【試題來源】江西省南昌二中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（（理））校測試卷題（三）
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，．
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，由得，又，所以．四邊形為平行四邊形， ．
又，，故
（2）由已知得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，，，，，，

則，
因?yàn)锽M與底面ABCD所成的角為45°，而是底面ABCD的法向量，所以
，，即（x-1）2+y2-z2=0，
又M在棱PC上，設(shè)，
由①，②得，所以M，
設(shè)是平面ABM的法向量，則
所以可?。谑牵?br /> 因此二面角M-AB-D的余弦值為.
【名師點(diǎn)睛】（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計算．
（2）設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有|cos θ|＝|cos|=．求解時一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．
36．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且，．證明：四邊形EFGH是梯形．

【試題來源】北京市平谷區(qū)第五中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】證明見解析
【分析】要證明四邊形EFGH為梯形，必須證明兩點(diǎn)：①；②，二者缺一不可．同時還必須指明點(diǎn)E不在FG上，即E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不能共線．
【解析】因?yàn)镋，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，所以，，
所以．
又，，所以，，
所以，
所以且，又點(diǎn)E不在FG上，所以四邊形EFGH是梯形．
【名師點(diǎn)睛】判斷向量共線就是利用已知條件找到實(shí)數(shù)，使得成立，同時要充分利用空間向量運(yùn)算法則，結(jié)合具體的圖形進(jìn)行化簡，從而得到，即與共線．
37．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．

（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【試題來源】天津市武清區(qū)天和城實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1），
因?yàn)?，同理可得?br /> 所以
．
（2）因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?br /> 所以．
所以異面直線與所成角的余弦值為．
38．如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且．
（1）設(shè)，，，試用、、表示；
（2）已知為四棱柱的中心（體對角線中點(diǎn)），求的長．

【試題來源】山東省濟(jì)寧市曲阜市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二階段性檢測（9月月考）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，，，
由向量加法的平行四邊形法則可得，
因此，；
（2）為四棱柱的中心，即為線段的中點(diǎn)．
由已知條件得，，，，．
由（1）得，
則
．
所以的長為，所以的長為．
39．如圖，平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，設(shè)，，．

（1）試用，，表示向量，；
（2）若，求直線與所成的角．
【試題來源】山東省濟(jì)寧市魚臺縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考（10月）
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）由向量的加減運(yùn)算法則知：
在平行四邊形中，，
又由．
（2）由題意知，，，，，
可得
．
又由，
，
所以，
因?yàn)?，所以．所以與所成的角為．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的線性運(yùn)算，以及異面直線所成角的求解，其中解答中熟記空間向量的數(shù)量積和夾角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力．
40．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）證明
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）若為棱上一點(diǎn)，滿足，求平面與平面夾角的余弦值．
【試題來源】天津市靜海區(qū)大邱莊中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考
【答案】（1）證明過程見詳解；（2）：（3）．
【解析】依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，得．

（1）向量，，故． 所以．
（2）向量，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得為平面的一個法向量．
于是有，
所以直線與平面所成角的正弦值為．
（3），
由點(diǎn)在棱上，故，
由，得，解得，即．
設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨令，可得為平面的一個法向量．取平面的法向量，則．
易知二面角是銳角，所以其余弦值為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量證明線線垂直、利用空間向量求線面所成的角、利用空間向量求面面所成的角．空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離．是中檔題.
41．已知在平行六面體中，，，，且．

（1）求的長；
（2）求與夾角的余弦值．
【試題來源】山東省德州市夏津第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)試題
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由題可知，，那么
，因此，的長為；
（2）由題知，，
則，

，
所以，．
42．已知向量，．
（1）若，求實(shí)數(shù)；
（2）若向量與所成角為銳角，求實(shí)數(shù)的范圍．
【試題來源】山東省德州市夏津第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)試題
【答案】（1）；（2）且．
【分析】（1）求出，，根據(jù)可解得結(jié)果；
（2）根據(jù)可得，除去可得解．
【解析】（1）由已知可得，，，
因?yàn)椋?，可得?
（2）由（1）知，，，
因?yàn)橄蛄颗c所成角為銳角，
所以，解得，
又當(dāng)時，，可得實(shí)數(shù)的范圍為且．
43．如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形，且平面平面，點(diǎn)在側(cè)棱上．

（1）當(dāng)為側(cè)棱的中點(diǎn)時，求證：平面；
（2）若二面角的大小為60°，求的值．
【試題來源】山東新高考質(zhì)量測評聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）因?yàn)闉榈冗吶切危裕?br /> 因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，所以，?br /> 在等腰和等腰中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，．
又因?yàn)?，，平面，所以平面?br /> （2）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則在等邊和等邊中，有，，所以為二面角的平面角．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，即．所以，，兩兩垂直?br /> 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，，．
因?yàn)樵谏?，設(shè)，，
則，，
解得，，即．
顯然平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量為，
因?yàn)?，?br /> 所以，即，令，則，所以．
因?yàn)槎娼堑拇笮?0°，所以，
所以．又，解得，即．
44．如圖，在中，，，，沿BD將翻折到的位置，使平面平面．

（1）求證：平面；
（2）若在線段上有一點(diǎn)M滿足，且二面角的大小為，求的值．
【試題來源】湖南省長沙市雅禮中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期月考（二）
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）中，由余弦定理，可得．
， ， ．
作于點(diǎn)F，平面平面，平面平面，
平面．又平面，．
又，，平面．
又平面，．又，，
平面．
（2）由（1）知DA，DB，兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，以方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，．

設(shè)，則，
由，
設(shè)平面MDB的一個法向量為，
則由，
?。?br /> 平面CBD的一個法向量可取，
二面角的大小為
．
，．

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