一、解答題
1．（上海市上海交通大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底數(shù)學(xué)試題）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．
（1）求角B的大??；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由結(jié)合正弦定理可得：
△ABC為銳角三角形，故．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論有：
．
由可得：，，
則，．
即的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”；求最值也是一種常見(jiàn)類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值．
2．（廣東省佛山市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期第二次段考數(shù)學(xué)試題）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，且，是上的點(diǎn)，平分，求的面積．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先利用二倍角公式將題目等式化成關(guān)于的方程，求出即可求出角；（2）根據(jù)角平分線定義先求出，再依銳角三角函數(shù)的定義求出，最后依據(jù)三角形面積公式求出．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br /> 即．因?yàn)?，所以，解得?br /> 所以或（舍去），因此，．
（2）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，
在中，所以，所以，
所以．
3．（黑龍江省牡丹江一中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面積為，求邊長(zhǎng)b的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理化簡(jiǎn)等式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)（1）得，利用三角形面積公式得，再利用余弦定理即可．
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，
設(shè)，則，
帶入，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)?，所以?br /> （2）由（1）可知，，，
又，所以，解得．
在△ABC中，由余弦定理，
即，解得．
4．（吉林省長(zhǎng)春市普通高中2021屆高三一模數(shù)學(xué)文科試題）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足．
（1）求角；
（2）若，求外接圓的半徑．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理知，
有，且，
所以.
（2）
所以.
5．（四川省武勝烈面中學(xué)校2020-2021學(xué)年高三9月月考數(shù)學(xué)（文）試題）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求，．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵，∴．
化簡(jiǎn)得．∴．∵，∴．
（2）∵，，∴．
∵，∴．∴．
∵當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，．
∴的最大值為，此時(shí)，．
6．（四川省自貢市田家炳中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，已知，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長(zhǎng)．

【答案】
【解析】在中， AD=10，AC=14，DC=6，，
，
在中，，，

7．（四川省江油中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且
（1）求角A；
（2）若且求△ABC的面積．
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）整理得：，再由余弦定理可得，問(wèn)題得解．（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．
【解析】（1）由題意，得
，∴；
（2）由正弦定理，得，
，
∴．
8．（山東省2020屆高三新高考模擬猜想卷（三）數(shù)學(xué)試題）某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車(chē)賽道，，，，，為賽道（不考慮寬度），為賽道內(nèi)的一條服務(wù)通道，，，．

（1）求服務(wù)通道的長(zhǎng)度；
（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，才能使折線段賽道最長(zhǎng)？
【答案】（1）5（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）連接BD，在中應(yīng)用余弦定理求得BD，進(jìn)而在應(yīng)用勾股定理求得BE．（2）在中，應(yīng)用余弦定理表達(dá)出AB與AE的等量關(guān)系，再結(jié)合不等式求得的最大值即可．
【解析】（1）連接，在中，由余弦定理得：
，．，
，又，，
在中，．
（2）在中，，．
由余弦定理得，即，
故，從而，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即設(shè)計(jì)為時(shí)，折線段賽道最長(zhǎng)．

9．（江西省南昌市第二中學(xué)2020-2021學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）如圖1，是一款常見(jiàn)的海綿拖把，圖2是其平面示意圖，是拖把把手，是把手的一個(gè)固定點(diǎn)，海綿安裝在兩片活動(dòng)骨架，上，骨架的端點(diǎn)只能在線段上移動(dòng)，當(dāng)海綿完全張開(kāi)時(shí)，，分別與，重合；當(dāng)海綿閉合時(shí)，，與重合．已知直桿，．

（1）若，求的長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）若，求的長(zhǎng)；（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
（3）海綿從完全張開(kāi)到閉合的過(guò)程中，直接寫(xiě)出的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：，，，取3．14）
【答案】（1）cm；（2）15．5cm；（3）15．7cm．
【分析】（1）由題意可得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出即可求解．（2）在中，利用正弦定理即可求解．（3）由題意可得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．
【解析】（1）∵當(dāng)海綿完全張開(kāi)時(shí)，，分別與，重合；
當(dāng)海綿閉合時(shí)，，與FH重合，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
由題意知，，∴也是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴；
（2）∵，，∴，
∴，，
∴；
（3）∵，是的中點(diǎn)，∴始終等于，
所以點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是以為圓心，半徑為、圓心角為圓弧，
∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．
10．（江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期8月開(kāi)學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題．
已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，______________，，，求的面積．
【答案】答案不唯一，具體見(jiàn)解析
【解析】（1）若選擇①：，
由余弦定理，因?yàn)?，所以?br /> 由正弦定理，得，
因?yàn)?，，所以?br /> 所以，
所以．
（2）若選擇②：，則，
因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?br /> 由正弦定理，得，
因?yàn)椋?，所以?br /> 所以，
所以．
（3）若選擇③：，則，所以，
因?yàn)?，所以，所以，所以?br /> 由正弦定理，得，
因?yàn)?，，所以?br /> 所以，
所以．
11．（安徽省蚌埠市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．且．
（1）求；
（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊可得，根據(jù)余弦定理可得，可得；（2）利用三角形的面積公式可得，根據(jù)余弦定理可得，配方可得，進(jìn)而可求得三角形的周長(zhǎng)．
【解析】（1）由正弦定理得：，即，
由余弦定理可得：，∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得，
得，即，∴，∴的周長(zhǎng)為6．
12．（江西省信豐中學(xué)2018-2019學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)（文）試題）已知的角，，所對(duì)的邊分別為，，，設(shè)向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若 ，邊長(zhǎng)，，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積，得到，由正弦定理，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果；（2）先由向量垂直的坐標(biāo)表示，求出，再由余弦定理，求出，進(jìn)而可求出三角形的面積．
【解析】（1）由題意，，
由正弦定理，可得，則，
∴，故；
（2）由得，即，∴．
又，，∴由余弦定理可得，即有．
∴，∴或（舍）；
因此．
13．（江西省南昌二中2020屆高三（6月份）高考數(shù)學(xué)（理科）校測(cè)試題（一））已知，，
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，求邊上的高的最大值．
【答案】（1）的最小正周期為：；函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：；（2）．
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合二倍角的正弦公式、輔助角公式把函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)成余弦型函數(shù)解析式形式，利用余弦型函數(shù)的最小正周期公式和單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）由（1）結(jié)合，求出的大小，再根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合余弦定理和基本不等式進(jìn)行求解即可．
【解析】（1）
，
的最小正周期為：；
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為：；
（2）因?yàn)?，所?br />
設(shè)邊上的高為，所以有，
由余弦定理可知：（當(dāng)用僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)），所以，因此邊上的高的最大值．
14．（四川省自貢市田家炳中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）在中，，，分別為角，，所對(duì)的邊，，，成等差數(shù)列，且．
（1）求的值；
（2）若面積為，求的值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）由，，成等差數(shù)列，得，再結(jié)合，得，然后利用余弦定理可得結(jié)果；（2）先由，求出，然后由面積為，結(jié)合列方程可求出的值
【解析】（1）因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，因?yàn)?，所以?br /> 由余弦定理得，，
（2）因?yàn)?，，所以?br /> 因?yàn)槊娣e為，所以，
所以，解得或（舍去）
15．（吉林省通化市梅河口五中2020屆高三高考數(shù)學(xué)（文科）六模試題）已知，，分別是的內(nèi)角，，的對(duì)邊，，點(diǎn)在邊上，，且．
（1）求角的大??；
（2）若的面積為，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，由正弦定理角化邊，再由余弦定理求得角；（2）先由的面積為，求出邊，解三角形，求得，得到，即求得，再由和角，由余弦定理求得．
【解析】（1）由，由正弦定理，
得，得，又，
又，得．
（2）作示意圖如圖所示：

由的面積，得，
則，
則，則，
則．即．
16．（廣西南寧二中柳鐵一中2021屆高三9月聯(lián)考數(shù)學(xué)理科）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．
（1）求B；
（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求AD的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)，，在中，再利用余弦定理即可解決．
【解析】（1）由正弦定理及已知得，
結(jié)合，得，
因?yàn)?，所以，由，得?br /> （2）在中，由余弦定得，
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值，此時(shí)．
在中，由余弦定理得
．即．
17．（福建省福州市格致中學(xué)2019-2020學(xué)年高二（下）期末數(shù)學(xué)試題）在中，．
（1）若，求；
（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）根據(jù)已知條件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求出；（2）根據(jù)題意知為等腰三角形，再利用余弦定理得出為等邊三角形可得，從而求出的面積．
【解析】（1）在中，由正弦定理及題設(shè)得，故，
解得， 又，所以．
（2）設(shè)，則．
在中，由余弦定理得，，
即，①
在等腰中，有，②
聯(lián)立①②，解得或（舍去）．所以為等邊三角形，所以，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）設(shè)，則
因?yàn)?，所以?br /> 由余弦定理得，得，所以，解得或（舍去）．
所以為等邊三角形，所以，
所以．
18．（北京市延慶區(qū)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知在中，，，．
（1）求；
（2）若是鈍角三角形，求的面積．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理，簡(jiǎn)單計(jì)算可得結(jié)果．（2）利用余弦定理可得或，然后根據(jù) 是鈍角三角形以及余弦定理進(jìn)行驗(yàn)證可確定，最后使用三角形面積公式，可得結(jié)果．
【解析】（1）在中，根據(jù)正弦定理得，則，
所以.
（2）因?yàn)?，所以?br /> 解得或．當(dāng)時(shí)，
所以為鈍角，所以△的面積
當(dāng)時(shí)，．此時(shí)為銳角，不滿足題意
所以△的面積．
19．（江西省信豐中學(xué)2020屆高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題）在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若．
（1）求角；
（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng)．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理邊化角進(jìn)行化簡(jiǎn)求值即可；（2）利用余弦定理和正弦面積公式最終代換出整體即可
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴，∵是的內(nèi)角，∴．
（2）∵的面積為，∴，由（1）知，∴，
由余弦定理得：，
∴，得：，∴的周長(zhǎng)為．
20．（金太陽(yáng)2020-2021學(xué)年高三第一次檢測(cè)考試數(shù)學(xué)試題）在①，②三角形的面積為，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的周長(zhǎng)；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，______？
【答案】選條件①：存在，；選條件②：存在，；選條件③：不存在，答案見(jiàn)解析．
【解析】方案一：選條件①
因?yàn)?，所以?br /> 即，整理得．
因?yàn)椋?，解得?br /> 又因?yàn)?，所以，即，?br /> 所以，則，得，，所以的周長(zhǎng)為．
方案二：選條件②
因?yàn)椋?br /> 所以，即，因?yàn)?，所以?br /> 又因?yàn)椋?，即，?br /> 所以，則，得，，所以的周長(zhǎng)為．
方案三：選條件③
，則，得，
因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，則問(wèn)題中的三角形不存在．
21．（新高考課改專家2021屆高三數(shù)學(xué)命題卷試題）在中，它的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，求：
（1）角______？
（2）在①若，且邊，②若，且邊這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，求邊的值？
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】（1），，所以，
（2）①若，且邊，
則，所以，
，所以，所以；
②若，且邊，
和，
得代入到中，所以．
22．（廣東省珠海市2021屆高三上學(xué)期第一次摸底數(shù)學(xué)試題）在①，②，③.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．
問(wèn)題：是否存在非直角△，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，________?
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】答案見(jiàn)解析．
【分析】利用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，得到，結(jié)合題設(shè)可知且、，進(jìn)而利用①或②或③求得相關(guān)結(jié)論，判斷是否與題設(shè)矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求的值；
【解析】△中，由，得
∴；∵△不是直角三角形；
∴，則有，即，而，即有；
選①：由，及 得；
由 得不合理，故△不存在．
選②：由得：，故有；
∴為直角，不合題設(shè)，故△不存在．
選③：由 得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形及三角恒等變換等相關(guān)知識(shí)，利用三角恒等變換中兩角和正弦公式化簡(jiǎn)已知函數(shù)式，進(jìn)而得到相關(guān)結(jié)果，再結(jié)合所給條件得到相關(guān)結(jié)論并判斷是否與題設(shè)矛盾.
23．（遼寧省遼寧師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足sin A＋cos A＝2．
（1）求角A的大??；
（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a＝2；②B＝；③c＝b．試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫(xiě)出你的方案并以此為依據(jù)求△ABC的面積．(寫(xiě)出一種方案即可)
【答案】（1）；（2）選擇①②，＋1；選擇①③，；選擇②③，無(wú)法確定△ABC．
【分析】（1）化簡(jiǎn)sin A＋cos A＝2得2sin ＝2，即可求出角A的大?。?br /> （2）選擇①②，先由正弦定理求出，再由sin C＝sin (A＋B)得sin C，即可根據(jù)三角形面積公式求出；選擇①③，由正弦定理可求出，繼而求出即可求出面積；選擇②③，無(wú)法確定△ABC．
【解析】（1）依題意得2sin ＝2，即sin ＝1，
∵0

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