§2　充分條件與必要條件1.“a=2”是“直線ax+2y=0平行于直線x+y=1”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:若a=2,則ax+2y=0即x+y=0,與直線x+y=1平行,反之若直線ax+2y=0與x+y=1平行,則-=-1,a=2,故選C.答案:C2.設(shè)甲:ax2+2ax+1>0的解集是實(shí)數(shù)集R,乙:0<a<1,則甲是乙的(　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:ax2+2ax+1>0的解集是實(shí)數(shù)集R,則a=0或所以0≤a<1.所以甲是乙的必要不充分條件.答案:B3.“函數(shù)f(x)=cos x+m-1有零點(diǎn)”是“0≤m≤1”的(　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:令f(x)=0得cosx=-m+1,若函數(shù)有零點(diǎn),則-1≤-m+1≤1,解得0≤m≤2,因此“函數(shù)f(x)=cosx+m-1有零點(diǎn)”是“0≤m≤1”的必要不充分條件.答案:B4.已知直線a,b,平面α,β,且a⊥α,b?β,則“a⊥b”是“α∥β”的(　　)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:a⊥α,若α∥β,則a⊥β.因?yàn)?/span>b?β,所以a⊥b成立.而a⊥b,顯然不能推出α∥β,所以“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分條件.答案:B5.的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:由及不等式的性質(zhì),可得成立.但由不能推出故選A.答案:A6.平面向量a,b都是非零向量,a·b>0是a與b夾角為銳角的　　　　　條件. 解析:若a與b夾角為銳角,則a·b>0,反之當(dāng)a·b>0時(shí),若a,b方向相同,則a與b夾角不是銳角.答案:必要不充分7.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844002下列四個(gè)命題為真命題的是　　　　　(填序號(hào)). ①“a>b”是“2a>2b”的充要條件;②“a=b”是“lg a=lg b”的充分不必要條件;③“函數(shù)f(x)=ax2+bx(x∈R)為奇函數(shù)”的充要條件是“a=0”;④“定義在R上的函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)”的必要條件是“=1”.解析:①真,∵y=2x在R上是增函數(shù),∴a>b?2a>2b;②假,當(dāng)a=b≤0時(shí),lga,lgb無(wú)意義;③真,f(x)是奇函數(shù)?f(-x)+f(x)=0?ax2-bx+ax2+bx=0?ax2=0?a=0;④假,如f(x)=x2-1是偶函數(shù),但f(1)=0,無(wú)意義.答案:①③8.分別指出下列題目中p是q的什么條件.(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:兩個(gè)三角形相似,q:兩個(gè)三角形全等;(3)p:m<-2,q:方程x2-x-m=0無(wú)實(shí)根;(4)p:一個(gè)四邊形是矩形,q:四邊形的對(duì)角線相等.解(1)∵x-2=0?(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0,則x=2或x=3,故不能推出x-2=0,∴p是q的充分不必要條件.(2)∵兩個(gè)三角形相似不能推出兩個(gè)三角形全等,但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似,∴p是q的必要不充分條件.(3)∵m<-2?方程x2-x-m=0無(wú)實(shí)根,而方程x2-x-m=0無(wú)實(shí)根,則Δ=1+4m<0,即m<-,故不能推出m<-2,∴p是q的充分不必要條件.(4)∵矩形的對(duì)角線相等,∴p?q,而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形(如等腰梯形),∴q不能推出p,∴p是q的充分不必要條件.9.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844003已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q(p≠0,且p≠1),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.證明(充分性)當(dāng)q=-1時(shí),a1=p-1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),當(dāng)n=1時(shí)也成立.又p≠0,且p≠1,于是=p,故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(必要性)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=p+q.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).因?yàn)?/span>p≠0,且p≠1,所以=p(n≥2).因?yàn)?/span>{an}為等比數(shù)列,所以=p,即=p,即p-1=p+q,故q=-1.綜上所述,數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1. 

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