【精品試題】2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)創(chuàng)優(yōu)測評卷（新高考專用）測試卷08 立體幾何（解析版）

2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)立體幾何創(chuàng)優(yōu)測評卷(新高考專用) 一、單選題（共60分，每題5分）1．在平面幾何中，有“若的周長，面積為，則內(nèi)切圓半徑”，類比上述結(jié)論，在立體幾何中，有“若四面體的表面積為，體積為，則其內(nèi)切球的半徑（    ）A．    B．    C．    D．【答案】A【解析】將四面體的四個表面積分別記為則四面體的體積從而選A.2．在立體幾何中，以下命題中假命題的個數(shù)為（    ）①若直線，平面，則.②若平面平面，平面平面，，則.③有3個角是直角的四邊形是矩形.④若平面平面，平面，平面，且，則.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】【分析】①由線面的位置關(guān)系可判斷. ②應(yīng)用線面垂直的判斷定理結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可證明兩相交平面都和第三個平面垂直，則它們的交線與第三個平面垂直. ③可舉例在空間四邊形中可以有三個直角. ④當(dāng)平面滿足條件，此時與不一定垂直，可判斷.【詳解】①若直線，平面，則或，所以不正確.②若平面平面，平面平面，,則，正確,證明如下.如圖設(shè)，，在內(nèi)，直線外任取一點(diǎn)，作，交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫?/span>平面,則，所以。作，交點(diǎn)為，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，所以，又,所以．③有3個角是直角的四邊形，如圖可以為空間四邊形，所以不正確.④若平面平面，平面，平面，且，當(dāng)平面滿足條件，此時與不一定垂直，所以不正確.所以假命題的個數(shù)為3個.故選：D3．在立體幾何中，用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形叫截面. 如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則過線段且平行于平面的截面的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】取BC的中點(diǎn)H，連接，證明平面AHGD1∥平面A1EF，得截面圖形，求面積即可【詳解】取BC的中點(diǎn)H，連接，因?yàn)?/span>面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，則平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1的上下底分別為，，腰長為，故梯形的高為，則梯形面積為，故選B．4．如圖（1）（2）（3）（4）為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可知這四個幾何體依次分別為（  ）A．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺 B．三棱柱、正四棱錐、圓錐、圓臺C．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺 D．三棱柱、三棱錐、圓錐、圓臺【答案】B【解析】第一個幾何體是三棱柱,第二個是正四棱錐,第三個是圓錐,第四個是圓臺,故選B.5．已知正方體的棱長為1，平面過正方體的一個頂點(diǎn)，且與正方體每條棱所在直線所成的角相等，則該正方體在平面內(nèi)的正投影面積是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正方體每條棱所在直線與平面所成的角相等,可得該平面的截面.由正方體的棱長及投影形狀,即可求出正投影的面積.【詳解】正方體的棱長為1,平面過正方體的一個頂點(diǎn),且與正方體每條棱所在直線所成的角相等,可得空間幾何體及平面如下圖所示:該正方體在平面內(nèi)的正投影如下圖所示:則即為該正方體在平面內(nèi)的正投影面積,該投影是正六邊形.因?yàn)檎襟w的棱長為1,則 則由正六邊形的性質(zhì)可知 則所以 則故選:B6．α，β是兩個不重合的平面，下面說法中，正確的是(　　)A．平面α內(nèi)有兩條直線a，b都與平面β平行，那么α∥βB．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線平行于平面β，那么α∥βC．若直線a與平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α內(nèi)所有的直線都與平面β平行，那么α∥β【答案】D【解析】對于，與可能相交或平行，錯；對于B，與可能相交或平行，錯；對于C，與可能相交或平行，錯；D符合面面平行的定義，正確，選D.7．在三棱錐中，已知，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．直線直線 B．直線直線C．直線直線 D．直線直線【答案】D【解析】由題意，如圖所示，因?yàn)?/span>，，∴，得，取中點(diǎn)，連接，，則，，又∵，∴平面，則，∵，分別為棱，的中點(diǎn)，∴，則．故選D．8．已知平面平面，交于直線，且直線，直線，則下列命題錯誤的是（　?。?/span>A．若，則或B．若，則且C．若直線都不平行直線，則直線必不平行直線D．若直線都不垂直直線，則直線必不垂直直線【答案】B【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫?/span>平面，交于直線，，所以，而，，所以，又平面平面，交于直線，，所以，同理，故本命題是真命題；選項(xiàng)B：由，如果 ，也可以保證，故本選項(xiàng)是假命題；選項(xiàng)C:本命題的逆否命題是：若直線平行直線，則直線至少有一個平行直線，所以可以由選項(xiàng)A，判斷本選項(xiàng)是真命題；選項(xiàng)D:假設(shè)直線必不垂直直線不成立，則有，因?yàn)橹本€都不垂直直線，所以存在過上一點(diǎn)的直線，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，，而，所以，而，，所以有，平面平面，交于直線，所以有，這與已知直線都不垂直直線相矛盾，故假設(shè)不成立，本命題為真命題，故本題選B.9．以下四個命題中，正確的是（   ）A．若,則三點(diǎn)共線B．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底C．D．為直角三角形的充要條件是【答案】B【解析】因?yàn)?/span>中，所以三點(diǎn)不一定共線，因?yàn)?/span>為空間的一個基底，所以不在同一個平面，因此也不在同一個平面，從而構(gòu)成空間的另一個基底，因?yàn)?/span>,所以不恒成立，因?yàn)?/span>為直角三角形時A角不一定為直角，即不一定成立，所以D錯誤，綜上選B.10．如圖，設(shè)是正方形所在平面外一點(diǎn)，且平面，則平面與平面、平面所在平面的位置關(guān)系是（    ）A．平面與平面平面都垂直B．它們兩兩垂直C．平面與平面垂直，與平面不垂直D．平面與平面、平面都不垂直【答案】A【解析】∵平面，平面，∴.又∵，，∴平面.∵平面，平面平面.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.由已知易得平面與平面不垂直，故選A.11．在平面中，與正方形的每條邊所成角都相等的直線與所成角的余弦值為.將此結(jié)論類比到空間中，得到的結(jié)論為:在空間中，與正方體的每條棱所成角都相等的直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長為，與正方體的每條棱所成角都相等的直線為其體對角線所在直線，求此直線與所成角的余弦值即求的余弦值，可知，，，有，故此直線與所成角的余弦值為.故選：B.12．空間點(diǎn)到平面的距離定義如下：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，該點(diǎn)和垂足之間的距離即為該點(diǎn)到平面的距離．平面兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到的距離都是，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，滿足到的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值為（   ）A．       B．         C       D．【答案】D【解析】由，并設(shè),則點(diǎn)到面的距離為,點(diǎn)到的距離是,由題意得：化簡得：求得：，所以的最小值為二、填空題（共20分，每題5分）13．如圖，在下列四個正方體中，、為正方體的兩個頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是________. ①②③④．【答案】②③④【解析】要證明直線與平面平行，需要證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行，①：平面中無法找到與直線平行的直線，所以①錯誤；②：由正方體性質(zhì)可知，又AB不在平面內(nèi)，所以可以證得直線與平面平行；③：由正方體性質(zhì)可知，又AB不在平面內(nèi)，所以可以證得直線與平面平行；④：由正方體性質(zhì)可知，又AB不在平面內(nèi)，所以可以證得直線與平面平行，綜上所述，答案為②③④．14．圖（1）為棱長為1的正方體，若正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體的三個面相切，則兩球半徑之和為________.【答案】.【解析】如圖（2），作出正方體的體對角面，易知球心和在AC上，過點(diǎn)，分別作AD，BC的垂線，垂足分別為E，F.設(shè)球的半徑為r，球的半徑為R，由，，得，，∴，∴.故答案為:15．正方體的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，則使四棱錐的體積小于的概率為__．【答案】【解析】解：正方體的棱長為1，正方體的體積．當(dāng)四棱錐的體積小于時，設(shè)它的高為，則，解之得則點(diǎn)在到平面的距離等于的截面以下時，四棱錐的體積小于，求得使得四棱錐的體積小于的長方體的體積四棱錐的體積小于的概率．故答案為：．16．已知空間向量，，（其中、），如果存在實(shí)數(shù)，使得成立，則_____________.【答案】【解析】，，且，所以，解得，因此，.故答案為：.三、解答題17．（10分）如圖，是由兩個全等的菱形和組成的空間圖形，，∠BAF＝∠ECD＝60°.（1）求證：；（2）如果二面角B－EF－D的平面角為60°，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，.在菱形中，∵，∴是正三角形，∴，同理在菱形，可證，∴平面，∴，又∵，∴.（2）由（1）知，就是二面角的平面角，即，又，所以是正三角形，故有，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又由（1）得，所以，平面，且，又，在直角中，，所以，設(shè)到平面的距離為，則，，所以，故直線與平面所成角正弦值為.18．（12分）如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面截正方體所得截面的面積.【答案】（1）見詳解；（2）.【解析】（1）在取，連，正方體,，，四邊形是平行四邊形，，共面，平面即為平面,平面平面，在中，，在中，，，，平面平面，平面，平面平面，即平面平面；（2）在取，連，正方體，四點(diǎn)共面，平面截正方體所得截面為梯形，，，過做于，，，平面截正方體所得截面的面積為.19．（12分）如圖，在正方體中，是的中心，分別是線段上的動點(diǎn)，且，．（Ⅰ）若直線平面，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，正方體的棱長為2，求平面和平面所成二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連，由直線平面可證得，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，即，得到；（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夾角求解即可．試題解析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，∵是正的中心∴點(diǎn)在上，且，連,∵平面,平面平面,∴ ∴,∴,∴.（Ⅱ）當(dāng)時，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則．設(shè)平面的一個法向量為，由，得 ，令，得．同理可得平面的一個法向量為∴.由圖形知，平面和平面所成二面角為銳角，∴平面和平面所成二面角的余弦值為．20．（12分）已知空間向量（1）求及的值；（2）設(shè)函數(shù)的最小正周期及取得最大值時x的值。【答案】（1）,（2）取得最大值時【解析】（1）∵∴①∴∴②聯(lián)立①，②解得： （2）∴ 當(dāng)此時21．（12分）請用空間向量求解已知正四棱柱中，，， 分別是棱，上的點(diǎn)，且滿足，． 求異面直線，所成角的余弦值；求面與面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以AD，DC，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，又因，，E，F分別是棱，上的點(diǎn)，且滿足，，所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，所以，設(shè)異面直線，所成角為所以，所以異面直線，所成角的余弦值為 ，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，令，所以，平面FAD的一個法向量為，則，所以，令，所以，所以，所以面與面FAD所成的銳二面角的余弦值為22．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，,點(diǎn)在線段上，且,.（1）試用空間向量證明直線與平面不平行；（2）設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長；（3）在（2）的條件下，設(shè)平面平面，求直線與平面的所成角.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】解：依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)，則，，，，，，（1）證明：由平面，知為平面的一個法向量，所以即直線與平面不平行（2）平面的法向量，則取，則，故所以解得（3）在平面內(nèi)，分別延長，交于點(diǎn)，連接，則直線是平面與平面交線，，,,設(shè)直線與平面的所成的角是，則為平面的一個法向量，直線與平面的所成角為．