2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)（人教版）大一輪復(fù)習(xí)（課件+學(xué)案+高效演練分層突破）第06章 第1講　平面向量的概念及線性運算

[基礎(chǔ)題組練]1．(多選)下列命題正確的是(　　)A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點，則“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．若a∥b，b∥c，則a∥c解析：選BC．A不正確，兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同．B正確，由＝得||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且方向相同，且||＝||，因此＝.故“＝”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件．C正確，因為a＝b，所以a，b的長度相等且方向相同；又b＝c，則b，c的長度相等且方向相同，所以a，c的長度相等且方向相同，故a＝c.D不正確，當(dāng)b＝0時不成立．2．向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a－b＝(　　)A．－4e1－2e2  B．－2e1－4e2C．e1－3e2  D．3e1－e2解析：選C．結(jié)合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.3．已知平面內(nèi)一點P及△ABC，若＋＋＝，則點P與△ABC的位置關(guān)系是(　　)A．點P在線段AB上  B．點P在線段BC上C．點P在線段AC上  D．點P在△ABC外部解析：選C．由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故點P在線段AC上．4．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則＝(　　)A．－2  B．－C．－   D．解析：選A．＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.5．(多選)設(shè)a，b是不共線的兩個平面向量，已知＝a＋sin α·b，其中α∈(0，2π)，＝2a－b.若P，Q，R三點共線，則角α的值可以為(　　)A．   B．C．   D．解析：選CD．因為a，b是不共線的兩個平面向量，所以2a－b≠0.即≠0，因為P，Q，R三點共線，所以與共線，所以存在實數(shù)λ，使＝λ，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可為或.6．已知平面內(nèi)四點A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，則λ的值為________．解析：依題意知點A，B，D三點共線，于是有＋λ＝1，λ＝.答案：7．若||＝8，||＝5，則||的取值范圍是________．解析：＝－，當(dāng)，同向時，||＝8－5＝3；當(dāng)，反向時，||＝8＋5＝13；當(dāng)，不共線時，3<||<13.綜上可知3≤||≤13.答案：[3，13]8．已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正確命題的個數(shù)為________．解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①錯；＝＋＝a＋b，故②正確；＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正確；所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正確．所以正確命題的序號為②③④.答案：39.在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點，G為BE上一點，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，.解：＝(＋)＝a＋b；＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.10．如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個三等分點，若＝a，＝b，＝2.(1)用a，b表示；(2)證明：A，M，C三點共線．解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，又E為AD中點，所以＝＝a＋b，因為EF是梯形的中位線，且＝2，所以＝(＋)＝＝a，又M，N是EF的三等分點，所以＝＝a，所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b.(2)證明：由(1)知＝＝a，所以＝＋＝a＋b＝，又與有公共點M，所以A，M，C三點共線．[綜合題組練]1.(一題多解)(2020·廣東六校第一次聯(lián)考)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點，若＝t＋，則實數(shù)t的值為(　　)A．   B．C．   D．解析：選C．通解：因為＝，所以＝.設(shè)＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，　又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故選C．優(yōu)解：因為＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因為B，P，N三點共線，所以t＋＝1，所以t＝，故選C．2.(創(chuàng)新型)如圖，A，B分別是射線OM，ON上的點，給出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若這些向量均以O為起點，則終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(包括邊界)的有(　　)A．①②  B．②④C．①③  D．③⑤解析：選B．在ON上取點C，使得OC＝2OB，以OA，OC為鄰邊作平行四邊形OCDA，則＝＋2，其終點不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除A，C；取OA上一點E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于點F，則EF＝OB，由于EF<OB，所以＋的終點不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除選項D．3．(2020·廣州綜合測試(一))設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且＝2，則△PAB與△PBC的面積的比值是________．解析：因為＝2，所以＝，又△PAB在邊PA上的高與△PBC在邊PC上的高相等，所以＝＝.答案：4．如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝，C為弧AB上的動點，若＝x＋y，則x＋3y的取值范圍是________．解析：＝x＋3y，如圖，作＝，則考慮以向量，為基底．顯然，當(dāng)C在A點時，經(jīng)過m＝1的平行線，當(dāng)C在B點時，經(jīng)過m＝3的平行線，這兩條線分別是最近與最遠(yuǎn)的平行線，所以x＋3y的取值范圍是[1，3]．答案：[1，3]5．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．解：設(shè)＝a，＝b，則＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.由P，G，Q共線得，存在實數(shù)λ使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，則消去λ，得＋＝3.6．已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線；(2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1.證明：(1)若m＋n＝1，則＝m＋(1－m)＝＋m(－)，所以－＝m(－)，即＝m，所以與共線．又因為與有公共點B，所以A，P，B三點共線．(2)若A，P，B三點共線，則存在實數(shù)λ，使＝λ，所以－＝λ(－)．又＝m＋n.故有m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.因為O，A，B不共線，所以，不共線，所以所以m＋n＝1.