一．選擇題


1．下列說法正確的是（ ）


A．形狀相同的兩個三角形全等


B．面積相等的兩個三角形全等


C．完全重合的兩個三角形全等


D．所有的等邊三角形全等


2．已知△ABC和△A′B′C′，下列條件中，不能保證△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）


A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′


B．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′


C．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′


D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′


3．如圖，直線a、b、c表示三條公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（ ）





A．一處B．兩處C．三處D．四處


4．如圖所示，在下列條件中，不能判斷△ABD≌△BAC的條件是（ ）





A．∠D＝∠C，∠BAD＝∠ABCB．∠BAD＝∠ABC，∠ABD＝∠BAC


C．BD＝AC，∠BAD＝∠ABCD．AD＝BC，BD＝AC


5．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如下，則要說明∠D′O′C′＝∠DOC，需要證明△D′O′C′≌△DOC，則這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）





A．SASB．SSSC．ASAD．AAS


6．如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是（ ）





A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE


7．如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結論中不正確的是（ ）





A．∠ACD＝∠BB．CH＝CE＝EFC．AC＝AFD．CH＝HD


8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（ ）





A．3B．4C．5D．6


9．已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（ ）





A．72°B．60°C．50°D．58°


10．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且DE＝DF，連接BF，CE、下列說法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正確的有（ ）





A．1個B．2個C．3個D．4個


二．填空題


11．如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC長是 ．





12．已知圖中的兩個三角形全等，則∠α的度數(shù)是 ．





13．如圖，已知AB⊥CD，垂足為B，BC＝BE，若直接應用“HL”判定△ABC≌△DBE，則需要添加的一個條件是 ．





14．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，點D為AB的中點，如果點P在線段BC上以2厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．若當△BPD與△CQP全等時，則點Q運動速度可能為 厘米/秒．





15．尺規(guī)作圖中的平分已知角，其根據(jù)是構造兩個三角形全等．由作法知，判定所構造的兩個三角形全等的


依據(jù)是 ．


16．已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長線上的一點，BE＝BA，過E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足，下列結論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝EF＝EC；④BA+BC＝2BF，其中正確的結論有 （填序號）．








三．解答題


17．已知：如圖，點A、D、C、B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF，試說明：


（1）△ACE≌△BDF．


（2）AE∥BF．








18．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝36°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝36°，DE交線段AC于點E．


（1）當∠BDA＝128°時，∠EDC＝ ，∠AED＝ ；


（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE？請說明理由；


（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．








19．在四邊形ABCD中，E為BC邊中點．已知：如圖，若AE平分∠BAD，∠AED＝90°，點F為AD上一點，AF＝AB．


求證：（1）△ABE≌AFE；


（2）AD＝AB+CD；








20．如圖，△ADC中，DB是高，點E是DB上一點，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD上的點，且AM＝DN．


（1）求證：△ABE≌△DBC．


（2）探索BM和BN的關系，并證明你的結論．











21．如圖，△ABC中，DE⊥BC于點E，交∠BAC的平分線AD于點D，過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥AC于點N，且BM＝CN．


求證：點E是BC的中點．








22．如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，連結AD并延長到點E，使DE＝AD，連結CE．


（1）求證：△ABD≌△ECD；


（2）若△ABD的面積為5，求△ACE的面積．











23．如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點E，AF平分∠BAD，交BC于點F，交CD的延長線于點G．


（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度數(shù)；


（2）若點F是BC的中點，求證：AB＝AD+CD．








參考答案


一．選擇題


1．解：A、形狀相同的兩個三角形全等，說法錯誤，應該是形狀相同且大小也相同的兩個三角形全等；


B、面積相等的兩個三角形全等，說法錯誤；


C、完全重合的兩個三角形全等，說法正確；


D、所有的等邊三角形全等，說法錯誤；


故選：C．


2．解：A、根據(jù)SSS可以判定兩個三角形確定．本選項不符合題意．


B、根據(jù)AAS可以判定兩個三角形確定．本選項不符合題意．


C、根據(jù)SAS可以判定兩個三角形確定．本選項不符合題意．


D、SSA不可以判定兩個三角形確定．本選項符合題意．


故選：D．


3．解：∵△ABC內角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，


∴△ABC內角平分線的交點滿足條件；


如圖：點P是△ABC兩條外角平分線的交點，


過點P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，


∴PE＝PF，PF＝PD，


∴PE＝PF＝PD，


∴點P到△ABC的三邊的距離相等，


∴△ABC兩條外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點有3個；


綜上，到三條公路的距離相等的點有4個，


∴可供選擇的地址有4個．


故選：D．





4．解：A、符合AAS，能判斷△ABD≌△BAC；


B、符合ASA，能判斷△ABD≌△BAC；


C、不能判斷△ABD≌△BAC；


D、符合SSS，能判斷△ABD≌△BAC．


故選：C．


5．解：在△D′O′C′和△DOC中，


，


∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），


∴∠D′O′C′＝∠DOC．


則全等的依據(jù)為SSS．


故選：B．


6．解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，


∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，


故A、B、C正確；


AD的對應邊是AE而非DE，所以D錯誤．


故選：D．


7．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，


∴∠ACD＝∠B，故正確；


B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD


∴∠AEF＝∠CHE，


∴∠CEH＝∠CHE


∴CH＝CE＝EF，故正確；


C、∵角平分線AE交CD于H，


∴∠CAE＝∠BAE，


又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，


∴△ACE≌△AEF，


∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正確；


D、點H不是CD的中點，故錯誤．


故選：D．


8．解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，


∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，


∴DE＝CD，


∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，


解得DE＝3，


∴CD＝3．


故選：A．





9．解：如圖，由三角形內角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．


∵圖中的兩個三角形全等，


∴∠1＝∠2＝58°．


故選：D．





10．解：∵AD是△ABC的中線，


∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，


∴△BDF≌△CDE，故④正確；


由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正確；


∵AD是△ABC的中線，


∴△ABD和△ACD等底等高，


∴△ABD和△ACD面積相等，故②正確；


由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD


∴BF∥CE，故③正確．


故選：D．


二．填空題（共6小題）


11．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE＝DF，


∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，


解得AC＝3．


故答案為：3．


12．解：∵兩個三角形全等，


∴α＝50°．


故答案為：50°．


13．解：AC＝DE，


理由是：∵AB⊥DC，


∴∠ABC＝∠DBE＝90°，


在Rt△ABC和Rt△DBE中，


，


∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．


故答案為：AC＝DE．


14．解：∵AB＝16cm，BC＝10cm，點D為AB的中點，


∴BD＝×16＝8cm，


設點P、Q的運動時間為t，則BP＝2t，


PC＝（10﹣2t）cm


①當BD＝PC時，10﹣2t＝8，


解得：t＝1，


則BP＝CQ＝2，


故點Q的運動速度為：2÷1＝2（厘米/秒）；


②當BP＝PC時，∵BC＝10cm，


∴BP＝PC＝5cm，


∴t＝5÷2＝2.5（秒）．


故點Q的運動速度為8÷2.5＝3.2（厘米/秒）．


故答案為：2或3.2．


15．解：在尺規(guī)作圖中，平分已知角是通過構建三邊對應相等的全等三角形來證得所作直線平分已知角的，因此由作法知其判定依據(jù)是SSS，即邊邊邊公理．


16．解：①∵BD為△ABC的角平分線，


∴∠ABD＝∠CBD，


在△ABD和△EBC中，


，


∴△ABD≌△EBC（SAS），


∴①正確；


②∵BD為△ABC的角平分線，BD＝BC，BE＝BA，


∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，


∵△ABD≌△EBC，


∴∠BCE＝∠BDA，


∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，


∴②正確；


③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，


∴∠DCE＝∠DAE，


∴△ACE為等腰三角形，


∴AE＝EC，


∵△ABD≌△EBC，


∴AD＝EC，


∴AD＝AE＝EC，


∵BD為△ABC的角平分線，EF⊥AB，而EC不垂直與BC，


∴EF≠EC，


∴③錯誤；


④過E作EG⊥BC于G點，





∵E是BD上的點，∴EF＝EG，


在Rt△BEG和Rt△BEF中，


，


∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），


∴BG＝BF，


在Rt△CEG和Rt△AFE中，


，


∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），


∴AF＝CG，


∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF，


∴④正確．


故答案為：①②④．


三．解答題（共7小題）


17．證明：（1）∵AD＝BC，


∴AC＝BD，


在△ACE與△BDF中


，


∴△ACE≌△BDF（SSS）；


（2）∵△ACE≌△BDF，


∴∠A＝∠B，


∴AE∥BF．


18．解：（1）∵AB＝AC，


∴∠C＝∠B＝36°，


∵∠ADE＝36°，∠BDA＝128°，


∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝16°，


∴∠AED＝∠EDC+∠C＝16°+36°＝52°，


故答案為：16°；52°；


（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，


理由：∵AB＝2，DC＝2，


∴AB＝DC，


∵∠C＝36°，


∴∠DEC+∠EDC＝144°，


∵∠ADE＝36°，


∴∠ADB+∠EDC＝144°，


∴∠ADB＝∠DEC，


在△ABD和△DCE中，


，


∴△ABD≌△DCE（AAS）；


（3）當∠BDA的度數(shù)為108°或72°時，△ADE的形狀是等腰三角形，


①當DA＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝72°，


∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝72°+36°＝108°；


②當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝36°，


∴∠DAE＝108°，


此時，點D與點B重合，不合題意；


③當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝36°，


∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝36°+36°＝72°；


綜上所述，當∠BDA的度數(shù)為108°或72°時，△ADE的形狀是等腰三角形．


19．（1）證明：∵AE平分∠BAD，


∴∠BAE＝∠FAE，


在△ABE和△AFE中，


，


∴△ABE≌△AFE（SAS）；


（2）證明：由（1）知，△ABE≌△AFE，


∴EB＝EF，∠AEB＝∠AEF，


∵∠BEC＝180°，∠AED＝90°，


∴∠AEB+∠DEC＝90°，∠AEF+∠DEF＝90°，


∴∠DEC＝∠DEF，


∵點E為BC的中點，


∴EB＝EC，


∴EF＝EC，


在△ECD和△EFD中，


，


∴△ECD≌△EFD（SAS），


∴DC＝DF，


∵AD＝AF+DF，AB＝AF，


∴AD＝AB+CD．





20．（1）證明：∵DB是高，


∴∠ABE＝∠DBC＝90°．


在△ABE和△DBC中，，


∴△ABE≌△DBC．


（2）解：BM＝BN，MB⊥BN．


證明如下：


∵△ABE≌△DBC，


∴∠BAM＝∠BDN．


在△ABM 和△DBN 中，


∴△ABM≌△DBN（SAS）．


∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN．


∴∠DBN+∠DBM＝∠ABM+∠DBM＝∠ABD＝90°．


∴MB⊥BN．


21．證明：連接BD，CD，





∵DM⊥AB，DN⊥AC，AD平分∠BAC，


∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNC＝90°，


又∵BM＝CN，


∴△BMD≌△CND（SAS），


∴BD＝CD，


∵DE⊥BC，


∴E是 BC的中點．


22．證明：（1）∵D是BC中點，


∴BD＝CD，


在△ABD與△CED中


，


∴△ABD≌△ECD（SAS）；


（2）在△ABC中，D是邊BC的中點，


∴S△ABD＝S△ADC，


∵△ABD≌△ECD，


∴S△ABD＝S△ECD，


∵S△ABD＝5，


∴S△ACE＝S△ACD+S△ECD＝5+5＝10，


答：△ACE的面積為10．


23．證明：（1）∵AB∥CD，


∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．


∵AF平分∠BAD，


∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．


∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．


∵∠G＝29°，


∴∠ADC＝58°；





（2）∵AF平分∠BAD，


∴∠BAG＝∠DAG．


∵∠BAG＝∠G，


∴∠DAG＝∠G．


∴AD＝GD．


∵點F是BC的中點，


∴BF＝CF．


在△ABF和△GCF中，


∵


∴△ABF≌△GCF（AAS），


∴AB＝GC．


∴AB＝GD+CD＝AD+CD．





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